Dane INFORMACYJNE Nazwy szkół: Zespół Szkół Zawodowych im. Prof.. Gerharda Domagka Centrum Edukacji Ogrodniczej ID grup: 97/47_mf_g1 97/38_mf_g1 Opiekunowie: mgr Anna Kwaśnicka, mgr Aleksandra Wierchowicz Kompetencja: Matematyczno - fizyczna Temat projektowy: Konstrukcje geometryczne przy użyciu linijki Semestr/rok szkolny: V/ 2011/2012

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE PRZY UŻYCIU LINIJKI

Spis treści Cel projektu; O konstrukcjach geometrycznych; Dlaczego zainteresowano się konstrukcjami geometrycznymi; Konstrukcje klasyczne – przykłady; Konstrukcje Mohra – Mascheroniego; Konstrukcje niewykonalne; Najbardziej znane konstrukcje; Kwadratura koła; Kwadratura trójkąta; Wyprostowanie okręgu; Podwojenie sześcianu; Trysekcja kata

Operacje przy konstrukcjach klasycznych; Konstrukcje sama linijka; Zasady konstrukcji; Operacje przy konstrukcjach klasycznych; Konstrukcje sama linijka; Tw. Ponceleta – Steinera – dowód; Konstrukcje przy użyciu cyrkla i linijki; Wzajemne położenie prostej i okręgu; Styczna; Sieczna. Konstrukcje steinerowskie; Konstrukcje prostej równoległej do danej prostej; Przechodzącej przez punkt leżący poza prosta; Przechodzącej przez punkt leżący na tej prostej;

Geometria rzutowa; Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność. Zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji; Drugie wielkie tw. Pitagorasa; Konstrukcja liczb niewymiernych; Przekątna kwadratu; Długość odcinka w układzie współrzędnych; Tw. Talesa; Podobieństwo trójkątów; Cechy podobieństwa trójkątów; Jednokładność; Stosowanie w rozwiazywaniu zadań własności izometrii płaszczyzny. Bibliografia

Cel projektu Zadaniem tego projektu jest przypomnienie i rozszerzenie klasycznej wiedzy dotyczącej konstrukcji geometrycznych, a następnie wykorzystanie tej wiedzy do wykonania i opisania różnorodnych konstrukcji tylko przy użyciu linijki

O konstrukcjach geometrycznych Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów konstrukcyjnych. Konstrukcjami klasycznymi są np. Konstrukcja symetralnej odcinka Konstrukcja dwusiecznej kąta Rs. podział kąta na 3 równe części

O konstrukcjach geometrycznych Już starożytni matematycy posługiwali się konstrukcjami geometrycznymi. Brak było urządzeń pomiarowych, jednostki miar obowiązywały tylko lokalnie. Wtedy można było poszczególne punkty przenieść z planu w teren, używając do tego celu prostego narzędzia: liny w rękach dwóch robotników, zapewne niewolników. Łatwo było zakreślić koło (w teorii: cyrkiel) i wyznaczyć odcinek (w teorii: linie proste). Bez konstrukcji geometrycznych nie byłoby wielu słynnych budowli starożytności.

O konstrukcjach geometrycznych Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

O konstrukcjach geometrycznych Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego]. Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda konstrukcji geometrycznych w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni (płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej powierzchni.

Dlaczego zainteresowano się konstrukcjami geometrycznymi i to tak dawno? Jedna z prób wytłumaczenia tego powołuje się na filozofię Platona i pogląd głoszony przez jego szkołę, że prosta i okrąg to najdoskonalsze figury. Wobec tego wszystko, co najważniejsze w matematyce powinno się dać wyrazić przy pomocy tych figur, a więc w konsekwencji przy użyciu cyrkla i linijki. Konstrukcje geometryczne (zwane niekiedy platońskimi) występują już w Elementach Euklidesa. Aby rozwiązać zadanie, np. arytmetyczne, budowano odpowiedni model geometryczny.

Konstrukcje klasyczne - przykłady Symetralna odcinka to prosta prostopadła do tego odcinka i przechodząca przez jego środek. Konstrukcja symetralnej: Niech dany będzie odcinek AB. Aby skonstruować cyrklem i linijką symetralną tego odcinka należy: Zakreślić cyrklem dwa okręgi o środkach w punktach A oraz B o identycznym promieniu większym od połowy długości odcinka . Okręgi te przetną się w dwóch różnych punktach. Poprowadzić prostą przez wyznaczone punkty przecięcia okręgów. A B

Konstrukcje klasyczne - przykłady Dwusieczna kąta jest to półprosta o początku w wierzchołku kąta, która dzieli dany kąt na dwa przystające kąty. Opis konstrukcji: Aby narysować dwusieczną, należy: Z wierzchołka A danego kąta dowolnym promieniem zakreślić łuk, który przetnie ramiona kąta w punktach B, C Z punktów B i C większą rozwartością cyrkla zakreślić łuki, które przetną się w punkcie D Półprosta AD jest dwusieczną

Konstrukcje Mohra-Mascheroniego Twierdzenie Mohra-Mascheroniego - mówi, że jeżeli dana konstrukcja geometryczna jest wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, to jest wykonalna za pomocą samego cyrkla, pod warunkiem, że ograniczymy się do wyznaczania punktów konstrukcji, a pominiemy rysowanie linii. Wynik ten został opublikowany w roku 1672 przez Georga Mohra, był jednak nieznany aż do roku 1928. Niezależnie od Mohra twierdzenie zostało odkryte przez Lorenzo Mascheroniego w roku 1797.

Konstrukcje Mohra-Mascheroniego 1. Narysuj punkty A i B (bok) [Fig. 13.1] 2. Wyznacz obraz punktu A względem punktu B, czyli punkt E [1

Konstrukcje niewykonalne Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki. Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne sformułowane w starożytnej Grecji: Podwojenie sześcianu Trysekcja kąta Kwadratura koła Wyprostowanie okręgu Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać, posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki, że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w. Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła” wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.

Najbardziej znane konstrukcje Szczególnego rozgłosu nabrały cztery: kwadratura koła, wyprostowanie okręgu, podwojenie sześcianu, trysekcja kąta. Rys. podział kąta na 3 równe części

Kwadratura koła To inaczej konstrukcja kwadratu o polu równym polu danego koła

Kwadratura koła Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba p jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach bliskich polu danego koła. Można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta

Kwadratura TRÓJKATA d h b c h ½ a a d - bok kwadratu o polu równym polu trójkąta o bokach długości a,b, c.

Trysekcja kąta To podział danego kąta na trzy równe części

Podwojenie sześcianu To konstrukcyjne wyznaczenie boku sześcianu o objętości dwa razy większej niż sześcian dany

Wyprostowanie okregu Rektyfikacja okręgu czyli wyprostowanie okręgu – zadanie polegające na skonstruowaniu przy użyciu cyrkla i linijki bez podziałki, odcinka , którego długość jest równa obwodowi danego okręgu . Konstrukcja ta jest niewykonalna, co wynika z faktu, iż π jest liczbą przestępną . Znanych jest wiele konstrukcji przybliżonych, jedna z nich została podana w 1685 roku przez nadwornego matematyka króla Jana III Sobieskiego , Adama Adamandego Kochańskiego . Rektyfikacja okręgu jest bezpośrednio związana z kwadraturą koła – gdyby jedna z tych konstrukcji była wykonalna, wykonalna byłaby i druga.

Wyprostowanie okregu Rektyfikacji okręgu dokonać można jednak jeśli mamy daną spiralę Archimedesa . Krzywa ta jest jednak niemożliwa do skonstruowania z użyciem cyrkla i linijki. Można ją natomiast uzyskać konstruując odpowiedni przyrząd mechaniczny. Konstrukcja Kochańskiego

O konstrukcjach geometrycznych Konstrukcje klasyczne, konstrukcje przy użyciu cyrkla i linijki to wspólna nazwa problemów polegających na wyznaczeniu odcinków lub kątów spełniających dane warunki jedynie przy pomocy cyrkla i linijki bez podziałki.

Zasady konstrukcji Obydwa narzędzia są wyidealizowane – cyrkiel może być rozwarty na dowolną szerokość, a linijka jest jednostronna (tj. nie wolno korzystać z drugiej krawędzi) i ma potencjalnie nieskończoną długość. Jedyne dozwolone wykorzystanie cyrkla to kreślenie okręgów o środkach w punktach, które już są dane i promieniach równych odcinkom wyznaczonym przez dane lub już skonstruowane punkty; jedyne dozwolone wykorzystanie linijki to rysowanie (lub przedłużanie) odcinków wyznaczonych przez dane lub już skonstruowane punkty. Poza tym mając dane: dwie proste prostą i okrąg dwa okręgi można znaleźć ich punkty wspólne lub stwierdzić że ich nie ma. Inne czynności są niedozwolone.

Możliwe operacje przy konstrukcjach klasycznych

Konstrukcje samą linijką Jeśli dana konstrukcja jest wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, to jest ona wykonalna za pomocą samej linijki, o ile dany jest na płaszczyźnie pewien okrąg wraz ze środkiem. Mówi o tym twierdzenie Ponceleta – Steinera.

Twierdzenie Ponceleta-Steinera Twierdzenie Ponceleta - Steinera - mówi, że jeśli dana konstrukcja jest wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, to jest ona wykonalna za pomocą samej linijki, o ile dany jest na płaszczyźnie pewien okrąg wraz ze środkiem. Jest to najsilniejszy rezultat tego typu, przy pomocy samej linijki nie da się wyciągać pierwiastków kwadratowych.

Schemat dowodu Steiner udowodnił, że jeśli na płaszczyźnie dany jest pewien okrąg wraz ze środkiem (tzw. okrąg wspomagający), to można za pomocą jedynie linijki rozwiązać osiem następujących zadań : I. Poprowadzić przez dowolny punkt prostą równoległą do danej prostej, gdy: a) dana prosta przechodzi przez środek okręgu wspomagającego, b) dana prosta przecina okrąg wspomagający, ale nie przechodzi przez jego środek, c) dana prosta jest położona dowolnie. II. Na prostej jest dany pewien odcinek. Należy: a) znaleźć odcinek będący dowolną krotnością pierwszego, b) podzielić ten odcinek na dowolną liczbę części, c) znaleźć odcinek, którego stosunek do danego jest daną liczbą wymierną. III. Przez dany punkt poprowadzić prostą prostopadłą do danej prostej.

Schemat dowodu c.d. IV. Przez dany punkt poprowadzić prostą, która z daną prostą tworzyłaby kąt równy danemu kątowi. V. a) Dany kąt podzielić na połowy, albo b) wziąć dowolną krotność danego kąta. VI. Od danego punktu odłożyć odcinek równy danemu pod względem wielkości i położenia. VII. Znaleźć punkty przecięcia danej prostej i okręgu o danej wielkości i położeniu. VIII. Znaleźć punkty przecięcia dwóch danych okręgów.

Konstrukcje geometryczne przy użyciu cyrkla i linijki Celem ścisłego opisania konstrukcji przy pomocy cyrkla i linijki należy sformułować odpowiedzi na trzy pytania: Co chcemy skonstruować? Jakie mamy dane? Z czego możemy korzystać?

Wzajemne położenie prostej i okręgu Prosta i okrąg mogą znajdować się w różnych położeniach względem siebie: 1) prosta i okrąg mają tylko jeden punkt wspólny (prosta ta nazywana jest styczną do okręgu); 2) prosta i okrąg mają dwa punkty wspólne ( prosta ta nazywana jest sieczną); 3) prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych.

Wzajemne położenie prostej i okręgu - styczna Twierdzenie Prostą nazwiemy styczną do okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy promień poprowadzony do punktu wspólnego okręgu i prostej jest do tej prostej prostopadły.

Wzajemne położenie prostej i okręgu - sieczna Twierdzenie Prostą nazwiemy sieczną okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy długość promienia okręgu jest większa niż odległość środka okręgu od tej prostej.

Wzajemne położenie prostej i okręgu Twierdzenie O prostej powiemy, że jest rozłączna z okręgiem wtedy i tylko wtedy, gdy długość promienia okręgu jest mniejsza niż odległość środka okręgu od tej prostej.

Konstrukcje steinerowskie Konstrukcje steinerowskie to konstrukcje bez użycia cyrkla. Twórcą jest Jakub Steiner, który w matematyce zasłynął z uzasadnienia, że każdą konstrukcję można wykonać przy użyciu wyłącznie linijki, jeżeli wcześniej na płaszczyźnie wybrane jest pewne koło. Jakub Steiner

Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej

Opis konstrukcji Narysuj dowolną prostą a i zaznacz punkt A poza tą prostą i punkt B na tej prostej. Narysuj okrąg o środku w punkcie B, który przechodzi przez punkt A Punkt przecięcia tego okregu z prostą oznacz literą C. Narysuj dwa okręgi: jeden o środku w punkcie C, który przechodzi przez punkt B, a drugi o środku A przechodzący przez punkt B - punkt przecięcia okręgów oznacz literą D. Narysuj prostą b przechodzącą przez punkty A i D - jest to prosta równoległa do prostej a.

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej przechodzącej przez punkt leżący poza prostą

Opis konstrukcji Narysuj dowolną prostą a i zaznacz punkt A, który leży poza tą prostą. Narysuj okrąg, którego środkiem jest punkt A i który przetnie prostą a w dwóch punktach B i C. Narysuj dwa okręgi: jeden o środku w punkcie B, który przechodzi przez punkt A, a drugi o środku C przechodzący przez punkt A. Przez punkty przecięcia tych okręgów (punkt D) narysuj prostą b – jest to prosta prostopadła do prostej a.

Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej przechodzącej przez punkt leżący na tej prostej

Opis konstrukcji Narysuj dowolną prostą a i zaznacz na niej punkt A Narysuj okrąg o dowolnym promieniu, którego środkiem jest punkt A. Punkty przecięcia okręgu z prostą oznacz literami B i C. Narysuj dwa okręgi: jeden o środku w punkcie B, który przechodzi przez punkt C, a drugi o środku C przechodzący przez punkt B. Przez punkty przecięcia tych okręgów narysuj prostą b – jest to prosta prostopadła do prostej a.

geometria rzutowa Geometria rzutowa to dział matematyki zajmujący się badaniem własności figur geometrycznych, które nie zmieniają się przy przekształceniach rzutowych. Do najważniejszych pojęć geometrii rzutowej należą: prosta, płaszczyzna oraz dwustosunek czwórki punktów. Twórcą geometrii rzutowej był francuski matematyk Jean-Victor Poncelet, który jej podstawy podał w 1822

Twórcą geometrii rzutowej był francuski matematyk Jean-Victor Poncelet, który jej podstawy podał w 1822

TWIERDZENIE PITAGORASA Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność ZASTOSOWANIE W WYKONYWANIU KONSTRUKCJI TWIERDZENIE PITAGORASA Wersja geometryczna: Jeżeli trójkąt jest prostokątny, t o suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. Wersja algebraiczna: Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma  kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej

Twierdzenie Pitagorasa w innej postaci znali już starożytni Babilończycy, którzy około w 2000 lat przed naszą erą obliczali przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego ze wzoru c=a+b22a. Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa jest również prawdziwe i brzmi: jeżeli suma kwadratów długości dwóch boków trójkąta, jest równa kwadratowi długości trzeciego boku trójkąta, to trójkąt ten jest prostokątny.

Na podstawie źródeł historycznych udało się ustalić, iż Pitagoras urodził się około 572 r. na wyspie Samos zmarł około 497 r.p.n.e. w Metaponcie. Ów grecki matematyk, filozof, półlegendarny założyciel słynnej szkoły pitagorejskiej był także twórcą kierunku filozoficznego (pitagoreizmu), inicjatorem nurtu o orientacji religijnej w starożytnej filozofii greckiej. Około 532 roku p.n.e. Pitagoras opuścił wyspę Samos i wyemigrował do kolonii jońskich w Italii. Osiedlił się w Krotonie, gdzie właśnie założył związek pitagorejski. Tam także rozwinął żywą działalność naukową, filozoficzną i polityczną. Po spaleniu szkoły filozof zamieszkał w Metaponcie, gdzie przebywał aż do śmierci. Tradycja przypisuje Pitagorasowi zapoczątkowanie zarówno idei religijno-etycznych oraz politycznych, jak i naukowego kierunku szkoły, Przyjął się także pogląd, iż Pitagoras przeszczepił na grunt grecki geometryczne i astronomiczne umiejętności Egipcjan i Babilończyków oraz że zainicjował badania naukowe, uwieńczone szeregiem znakomitych osiągnięć. Do osiągnięć tych należy między innymi stworzenie początków teorii liczb,sformułowanie twierdzenie Pitagorasa oraz koncepcja harmonijności kosmosu. Prąd filozoficzny, którego inicjatorem był Pitagoras, trwał ponad dwa wieki, a jego relikty dają się zauważyć jeszcze w pierwszym wieku naszej ery.

DRUGIE WIELKIE TWIERDZENIE PITAGORASA Suma kątów w trójkącie jest równa sumie dwóch kątów prostych. TWIERDZENIE TO MOŻNA UDOWODNIĆ NA 2 SPOSOBY Prostopadła opuszczona z wierzchołka dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne. Należy je uzupełnić do dwóch prostokątów. Przeprowadzając prostą przez wierzchołek trójkąta prostopadle do podstawy

KONSTRUKCJA LICZB NIEWYMIERNYCH ŚLIMAK PITAGOREJSKI Ślimak to konstrukcja złożona z trójkątów prostokątnych, w których jedna z przyprostokątnych ma długość 1, a druga jest równa długości przeciwprostokątnej poprzedniego trójkąta. I tak kolejne przeciwprostokątne mają następujące długości: √ 2, √ 3, √ 4=2, √ 5, √ 6, √ 7, √ 8, √ 9=3…

Przekątna kwadratu Korzystając z twierdzenia Pitagorasa można obliczyć przekątną kwadratu Przekątna kwadratu:

Długość odcinka układu współrzędnych

Twierdzenie talesa Twierdzenie Talesa to jedno z najważniejszych twierdzeń geometrii euklidesowej. Tradycja przypisuje jego sformułowanie Talesowi z Miletu. Treść twierdzenia Jeżeli ramiona kąta przecięte są prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta, są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta.

Twierdzenie talesa

Podobieństwo trójkątów DEFINICJA Dwa trójkąty są podobne, gdy ich odpowiednie boki są parami proporcjonalnymi.

Twierdzenia o podobieństwie trójkątów Trójkąty są podobne jeśli zachowane są: Cecha bbb (bok-bok-bok) - stosunki długości odpowiednich par boków (z definicji). Cecha bkb (bok-kąt-bok) - stosunki długości dwóch par boków i miary kątów między tymi bokami Cecha kkk (kąt-kąt-kąt) - zachowane są miary odpowiednich kątów (tu wystarczy równość dwóch par kątów czyli cecha kk bo ostatnia para kątów też musi być równa, bowiem suma ich miar jest równa 180°).

Cechy podobieństwa trójkątów I cecha podobieństwa trójkątów Jeżeli boki jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne. k - skala podobieństwa ΔABC ~ ΔA'B'C'

Cechy podobieństwa trójkątów II cecha podobieństwa trójkątów Jeżeli miary dwóch kątów jednego trójkąta są równe miarom odpowiednich dwóch kątów drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne. α = α' β = β' ΔABC ~ ΔA'B'C'

Cechy podobieństwa trójkątów III cecha podobieństwa trójkątów Jeżeli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta, a kąty między nimi zawarte są przystające, to trójkąty są podobne. α= α´ ΔABC ~ ΔA'B'C'

Jednokładność Jednokładność, homotetia (gr. homo+thetos=położony) o środku r i niezerowej skali k - odwzorowanie geometryczne prostej, płaszczyzny lub przestrzeni określone następująco:

Przekształcenie geometryczne na płaszczyźnie (lub w przestrzeni) posiadające wyróżniony punkt O i określoną skalę s, takie, że każdemu punktowi P płaszczyzny (przestrzeni) przyporządkowuje punkt P' leżący na półprostej OP, przy czym odległość OP'=s· OP. Jeżeli skala jednokładności s>0 mamy do czynienia z jednokładnością dodatnią (punkty P i P' leżą po tej samej stronie punktu O), jeżeli s<0 to jednokładnośc ujemna (punkty P i P' leżą po przeciwnych stronach punktu O). Dla s=1 odwzorowanie tożsamościowe, dla s=-1 symetria środkowa o środku w punkcie O. Każda jednokładność o skali s jest podobieństwem o skali s, a wiec różnowartościowym przekształceniem afinicznym.

Z definicji w szczególności wynika, że: Liczba nazywana jest także stosunkiem jednokładności. Obraz trójkąta w jednokładności o środku i skali 5/3

Cechy jednokładności O ŚRODKU O jednokładność o skali k=1 jest przekształceniem tożsamościowym (to znaczy, że obrazem figury w takim przekształceniu jest ta sama figura) jednokładność o skali k=-1 jest symetrią środkową przekształcenie odwrotne do jednokładności o skali k jest jednokładność o skali 1/k złożenie dwóch jednokładności o skalach k1, k2 jest jednokładnością o skali k1k2, to oznacza, że złożenie jednokładności nie zależy od kolejności przekształceń jednokładność nie jest przekształceniem izometrycznym (jest izometrią tylko w przypadku, gdy k=1 lub k=-1) obrazem wektora w jednokładności o skali k jest wektor równy wektorowi jednokładność zachowuje współliniowość i uporządkowanie punktów jednokładność zachowuje równoległość prostych jednokładność przekształca kąt w kąt przystający do danego kąta i kąt skierowany w równy mu kąt skierowany jednokładność zachowuje stosunek odcinków obrazem środka odcinka w jednokładności jest środek odcinka obrazem okręgu w jednokładności jest okrąg

Przykład jednokładności . Kwadrat o wierzchołkach przekształcono w jednokładności o skali ujemnej i trzymano kwadrat o wierzchołkach

Przykład jednokładności . Jednokładność figury f w skali k=1/2

stosowanie w rozwiązywaniu zadań własności izometrii płaszczyzny. Przekształcenia afiniczne płaszczyzny (przestrzeni) w siebie obejmują m.in. izometrie: przesunięcia równoległe, obroty, symetrie środkowe, symetrie osiowe, symetrie płaszczyznowe, symetrie z obrotem (symetrie spiralne), symetrie z poślizgiem, podobieństwa: jednokładności (homotetie lub skalowania), dylatacje, powinowactwa osiowe, powinowactwa prostokątne, symetrie skośne, obroty eliptyczne, obroty hiperboliczne.

stosowanie w rozwiązywaniu zadań własności izometrii płaszczyzny. Wszystkie powyższe przekształcenia są liniowe, przy czym w szczególności przekształcenie afiniczne może być złożeniem dowolnej liczby powyższych odwzorowań. Ponieważ złożenie przekształceń afinicznych jest afiniczne, a jako bijekcje (wzajemnie jednoznaczne) są one odwracalne, to zbiór wszystkich przekształceń wraz ze składaniem przekształceń jest grupą.

stosowanie w rozwiązywaniu zadań własności izometrii płaszczyzny. Niezmienniki określające jednoznacznie grupę przekształceń afinicznych: prosta, odcinek, wektor współliniowość punktów (nie dotyczy prostej), równoległość prostych, wypukłość figur, trójkąt, równoległobok, równość wektorów, stosunek długości równoległych odcinków, stosunek pól figur (na płaszczyźnie), stosunek pól figur na płaszczyznach równoległych (w przestrzeni), elipsa, parabola, hiperbola.

bibliografia http://pl.wikibooks.org/wiki/Matematyka_dla_liceum http://megamatma.com/uczniowie/szkola-srednia/planimetria http://megamatma.com/uczniowie/szkola- srednia/trygonometria http://matematyka.pisz.pl/ http://pl.wikibooks.org/wiki/Twierdzenie_Ponceleta-Steinera http://pl.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Skarbnica_Wikipedii/Prz egląd_zagadnieo_z_zakresu_matematyki http://pl.wikipedia.org/wiki/Konstrukcje_klasyczne http://www.interklasa.pl/portal/dokumenty/pabich/styczne_c.h tm Program Geo Gebrahttp: www.szkolnictwo.pl