1

DANE INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Zespół Szkół Przyrodniczo-Politechnicznych w Marszewie Zespół Szkół nr 1 w Pyrzycach ID grupy: 97/88_MF_G1 i 97/30_MF_G1 Opiekun: Dobromira Zdunek i Agnieszka Wójcicka Kompetencja: matematyczno-fizyczna Temat projektowy: ,, Równania diofantyczne” Semestr/rok szkolny: semestr III / rok szkolny 2010/2011 2

Równania diofantyczne Nasza prezentacja ma na celu utrwalenie wiadomości z algebry, teorii liczb, podzielności. 3

Diofantos z Aleksandrii jako pierwszy systematycznie zajął się algebrą, czyli teorią rozwiązywania równań. Diofantos narzucał na rozpatrywane równania takie warunki, aby rozwiązanie zawsze mieściło się w zbiorze liczb dodatnich i wymiernych. Rozważał co prawda zadanie sprowadzające się do równania 4x + 20 = 0, ale twierdził, że to równanie daje absurdalne rozwiązanie, liczby ujemne uważał za niedopuszczalne i je odrzucał. Rozwiązywał za to równania kwadratowe, układy równań kwadratowych, pisał o liczbach trójkątnych i kwadratowych oraz ustalał zależności między nimi. 

ILE LAT ŻYŁ DIOFANTOS?

W XIV wieku grecki mnich Maksymus Planudes umieścił w swojej  antologii wiersz „Epitafium Diofanta”. Jego treść jest jednocześnie zadaniem tekstowym: Pod tym nagrobkiem spoczywa Diofant – a dzięki przedziwnej Sztuce zmarłego i wiek zdradzi ci ten głaz: Chłopcem przez szóstą część życia pozostać bóg mu pozwolił, Lica pokwitły mu zaś, kiedy dwunasta znów część Życia minęła; a znowu żywota gdy przebył część siódmą, Młodą małżonkę w dom dobry wprowadził mu bóg, Która, gdy pięć lat minęło, małego powiła mu synka, Ale okrutny chciał los, że kiedy syn ledwie wiek Ojca w połowie osiągnął, ponury zabrał go Hades. Kojąc ogromny swój ból, szukał Diofant wśród liczb Jeszcze przez cztery lata pociechy, aż rozstał się z życiem.

ROZWIĄZANIE: x – czas życia Diofantosa 1/6x – jego dzieciństwo 1/12x – okres młodości 1/7x – czas między wiekiem młodzieńczym a ślubem 5 – lata oczekiwania na syna 1/2x – czas życia syna 4 – czas, jaki Diofantos żył po śmierci syna Rozwiązanie zadania polega na ułożeniu prostego równania z jedną niewiadomą: 1/6x + 1/12x + 1/7x + 5 + 1/2x + 4 = x Stąd po wykonaniu prostych działań otrzymujemy x = 84, czyli Diofantos żył 84 lata. 

ZADANIA DIOFANTOSA

Graficznie liczby trójkątne można przedstawić następująco: Liczba trójkątna to każda  taka liczba o numerze n, będąca na przykład liczbą kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć trójkąt równoboczny o boku zbudowanym z n kół.

Graficznie liczby kwadratowe można przedstawić następująco: Liczba kwadratowa natomiast to każda taka liczba numerze n, będąca na przykład  liczbą kół jednakowej wielkości, których można ułożyć kwadrat o boku zbudowanym z n kół.

Twierdzenie Diofantosa, że ośmiokrotnie wzięta liczba powiększona o jedność jest zawsze kwadratem, pokazuje poniższy rysunek:

RÓWNANIA DIOFANTYCZNE Równaniem diofantycznym nazywamy równanie o dwóch lub więcej niewiadomych, którego rozwiązań szukamy w zbiorze liczb całkowitych lub liczb naturalnych. Nazwa tego typu równań pochodzi od imienia Diofantosa. Badając dane równanie diofantyczne staramy się przede wszystkim odpowiedzieć na następujące pytania: * Czy ma ono rozwiązania? * Jeśli tak, to ile ich jest (skończenie, czy nieskończenie wiele)? * Czy istnieje algorytm na ich wyznaczanie?

NWD Twierdzenie Jeśli a oraz b są liczbami całkowitymi, nie równocześnie równymi zero, to istnieją liczby całkowite x oraz y spełniające równanie diofantyczne NWD(a, b) = xa + by.

NWD(309,186) Stosujemy algorytm Euklidesa do obliczenia NWD(309,186) 11-5-31 NWD(309,186) Stosujemy algorytm Euklidesa do obliczenia NWD(309,186) 309 = 1 · 186 + 123 186 = 1 · 123 + 63 123 = 1 · 63 + 60 63 = 1 · 60 + 3 60 = 20 · 3 + 0 Wtedy mamy NWD(309, 186) = 3 oraz 3 = 63 − 1 · 60 = = 63 − 1 · (123 − 1 · 63) = 2 · 63 − 1 · 123 = = 2 · (186 − 1 · 123) − 1 · 123 = 2 · 186 − 3 · 123 = = 2 · 186 − 3 · (309 − 1 · 186) = = −3 · 309 + 5 · 186 Zatem 3 = −3 · 309 + 5 · 186 i rozwiązanie naszego równania diofantycznego jest postać x = −3, y = 5.

Równanie ax + by = c Twierdzenie 11-5-31 Równanie diofantyczne ax+by = c posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a, b) dzieli c. Jeśli para liczb całkowitych x0, y0 jest rozwiązaniem równania ax + by = c to wszystkie rozwiązania dane są wzorami: x = x0 + · t , y = y0 − · t gdzie t jest dowolną liczbą całkowitą. Zatem nasze wcześniejsze równanie diofantyczne 309x + 186y = 3 ma nieskończenie wiele rozwiązań i są one postaci x = −3 + 62 · t, y = 5 − 103 · t, gdzie t jest dowolną liczbą całkowitą.

Przykłady równań diofantycznych 11-5-31 Przykłady równań diofantycznych Równanie 2x+1=y2 ma w liczbach naturalnych jedno rozwiązanie: (3,3) xy=yx ma w liczbach naturalnych dwa rozwiązania, gdy x=2, y=4 oraz x=4, y=2

Rozwiąż w liczbach całkowitych równanie: 1001x + 35y = 49 Rozwiązanie 11-5-31 Zadanie 1. Rozwiąż w liczbach całkowitych równanie: 1001x + 35y = 49 Rozwiązanie Obliczmy NWD(1001, 35) stosując algorytm Euklidesa. 1001 = 28 · 35 + 21 2 · (1001 − 28 · 35) − 1 · 35 =2 · 1001 − 57 · 35 35 = 1 · 21 + 14 21 − 1 · (35 − 1 · 21) = 2 · 21 − 1 · 35 =21 − 1 · 14 =7 21 = 1 · 14 + 7 14 = 21 · 7 + 0 Stad 2 · 1001 − 57 · 35 = 7 i mnożąc obie strony przez 7 mamy 14 · 1001 + (−399) · 35 = 49 Para x0 = 14, y0 = −399 jest rozwiązaniem. Zatem wszystkie rozwiązania naszego równania są postaci: x =x0 + · t = 14 + 5 · t y =y0 − · t = −399 − 143 · t t − liczba całkowita.

Jeśli x jest liczba biletów po 3 zł, a y jest liczba biletów po 5 zł, 11-5-31 Zadanie 2 Ile biletów po 3 zł i po 5 zł można kupić za 149 zł, jeśli należy wydąć wszystkie pieniądze? Znajdź wszystkie możliwe sposoby zakupu. Rozwiązanie Jeśli x jest liczba biletów po 3 zł, a y jest liczba biletów po 5 zł, to 3x + 5y = 149. Otrzymujemy: x = 298 + 5 · t y = −149 − 3 · t, t − liczba całkowita Liczby biletów muszą być liczbami nieujemnymi. Należy zatem dobrać takie t, aby x = 298 + 5 · t ≥ 0, y = −149 − 3 · t ≥ 0. Po prostych przekształceniach tych nierówności mamy y = −149 − 3 · t, −59 ≤ t ≤ −50.

Odpowiedź Bilety można zakupić na 10 różnych sposobów t −59 −58 −57 11-5-31 Odpowiedź Bilety można zakupić na 10 różnych sposobów t −59 −58 −57 −56 −55 −54 −53 −52 −51 −50 x 3 8 13 18 23 28 33 38 43 48 y 25 22 19 16 10 7 4 1

A oto kilka zadań, które rozwiązaliśmy na tablicy 11-5-31 A oto kilka zadań, które rozwiązaliśmy na tablicy

11-5-31

11-5-31

11-5-31

11-5-31

Równanie diofantyczne posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy 11-5-31 Równanie a1x1 + ... + anxn = b Twierdzenie Równanie diofantyczne a1x1 + ... + anxn = b posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a1, ..., an)|b.

11-5-31 Jak rozwiązać równanie a1x1 + ... + anxn = b, gdy NWD(a1, ..., an) dzieli b?

Zadanie Rozwiąż równanie diofantyczne 12x + 15y + 7z = 11. Rozwiązanie 11-5-31 Zadanie Rozwiąż równanie diofantyczne 12x + 15y + 7z = 11. Rozwiązanie Ponieważ NWD(12, 15) = 3, więc 12x + 15y = 3(4x + 5y) = 3w. Zatem nasze równanie możemy zastąpić układem równań 12x + 15y = 3w 3w + 7z = 11 . Najpierw rozwiązujemy drugie równanie znanym nam sposobem otrzymując rozwiązanie z = 11 − 3 · u, w = −22 + 7 · u. Teraz wstawiamy wyliczone w do pierwszego równania Otrzymując 12x + 15y = 3(−22 + 7u).

11-5-31 cd. rozwiązania Po podzieleniu obu stron przez 3 mamy 4x + 5y = −22 + 7u. Ponieważ NWD(4, 5) = 1, wiec najpierw szukamy konkretnego rozwiązania równania 4x + 5y = 1. 4 · (−1) + 5 · 1 = 1. wiec 4 · (22 − 7u) + 5 · (−22 + 7u) = −22 + 7u. Odpowiedź: Rozwiązaniem naszego wyjściowego równania jest trójka liczb postaci x = 22 − 7u + 5t y = −22 + 7u − 4t z = 11 − 3u gdzie t oraz u są dowolnymi liczbami całkowitymi.

11-5-31 Równanie Pitagorasa Istnieje trójkąt prostokątny, którego boki maja długości 3, 4 oraz 5. Jakie inne trójkąty prostokątne, których boki są liczbami naturalnymi, można skonstruować? Prowadzi to do wyznaczenia rozwiązań równania diofantycznego x2 + y2 = z2 zwanego równaniem Pitagorasa. Trójka x0, y0, z0 jest rozwiązaniem równania Pitagorasa wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby całkowitej d trójka dx0, dy0, dz0 tez jest rozwiązaniem tego równania, bo (dx0)2 + (dy0)2 = (dz0)2 ↔ x20+ y20 = z20

Rozwiązywanie równania Pitagorasa 11-5-31 Rozwiązywanie równania Pitagorasa Definicja Rozwiązanie x0, y0, z0 równania Pitagorasa nazywamy właściwym, jeśli NWD(x0, y0, z0 ) = 1. Uwagi 1. Każde rozwiązanie równania Pitagorasa jest postaci dx0, dy0, dz0 , gdzie x0, y0, z0 jest właściwym rozwiązaniem tego równania. Zatem, aby znaleźć wszystkie rozwiązania równania Pitagorasa wystarczy znaleźć jego rozwiązania właściwe. 2. Jeżeli x0, y0, z0 jest właściwym rozwiązaniem równania Pitagorasa, to dokładnie jedna z liczb x0, lub y0 jest parzysta.

Twierdzenie Każde właściwe rozwiązanie x0, y0, z0 równania 11-5-31 Twierdzenie Każde właściwe rozwiązanie x0, y0, z0 równania x2 + y2 = z2, dla którego y0 jest liczbą parzystą jest prosta x0 = m2 − n2, y0 = 2mn, z0 = m2 + n2 , gdzie m, n są dowolnymi liczbami naturalnymi takimi, że m > n , NWD(m, n) = 1 oraz dokładnie jedna z nich jest parzysta. Przykład m 2 3 4 5 n 1 x 15 21 9 y 12 6 20 40 z 13 17 29 41

Wielkie Twierdzenie Fermata 11-5-31 Wielkie Twierdzenie Fermata Równanie: x n + y n = z n dla n=2 obrazuje zależność między długościami boków w trójkącie prostokątnym. dla n>2 równanie to nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych

Równanie Pella Równanie x2 – ny2=1 gdzie n>0 11-5-31 Równanie Pella Równanie x2 – ny2=1 gdzie n>0 zwane równaniem Pella (od nazwiska angielskiego matematyka Johna Pella) nie ma rozwiązań, jeżeli n jest kwadratem liczby naturalnej, ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeżeli n nie jest kwadratem liczby naturalnej. Rozwiązania te się tablicuje w zależności od n.

Wnioski Bardzo częstym zadaniem na konkursach matematycznych, w których członkowie naszych grup biorą udział- jest zagadnienie rozwiązywania równań lub układów równań w liczbach całkowitych lub naturalnych. Ale dopiero przygotowując prezentację dowiedzieliśmy się ,że są to równania diofantyczne, a ich rozwiązania często związane są z bardzo pomysłowymi rozumowaniami.

Bibliografia W.Sierpiński ,, Czym zajmuje się teoria liczb” W. Sierpiński ,, O rozwiązywaniu równań w liczbach całkowitych” A.P. Juszkiewicz ,, Historia Matematyki” Z. Bobiński,P. Jarek, A. Świątek, M. Uscki ,,O liczbach i równaniach” Z. Bobiński,P. Jarek, A. Świątek, M. Uscki ,, Miniatury matematyczne” Zasoby internetowe

36