ZESPÓŁ SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH DANE INFORMACYJNE Nazwa szkoły: ID grupy: 97/84_MF_G1 Opiekun: MONIKA BUSZ Kompetencja: MATEMATYCZNO-FIZYCZNA Temat projektowy: PARADOKSY NIESKOŃCZONOŚCI Semestr/rok szkolny: PIĄTY 2011/2012 ZESPÓŁ SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH I ZAWODOWYCH W KROBI

NIESKOŃCZONOŚĆ Człowiek jest syntezą nieskończoności i skończoności, doczesności i wieczności, wolności i konieczności, jednym słowem, syntezą.

NIESKOŃCZONOŚĆ Nieskończoność (symbol: ∞) – byt nieograniczony (w sensie wielkości bądź ilości), który przyjęło się oznaczać za pomocą znaku nieskończoności, symbolem podobnym do przewróconej ósemki (lemniskata).

NIESKOŃCZONOŚĆ W matematyce słowem nieskończoność posługujemy się przede wszystkim w znaczeniu liczebności zbioru. W teorii mnogości definiujemy zbiór nieskończony jako ten, który jest równoliczny ze swoim podzbiorem właściwym, co jest równoważne temu, że dla każdego zbioru skończonego (to znaczy: który nie jest nieskończony) zawiera podzbiór z nim równoliczny. Oprócz tego podstawowego użycia, nieskończoność występuje w zestawieniach punkt w nieskończoności, nieskończenie maże otoczenie punktu, z reguły dla podkreślenia, że mamy do czynienia z sytuacją, w której konstrukcja omawianego obiektu wymagałaby nieskończenie wielu, w sensie liczebności, pewnych standardowych kroków. Jednakże, chociaż w matematyce wszystkie znaczenia słowa nieskończoność można sprowadzić do nieskończoności liczbowej, to pierwotne geometryczne intuicje, na przykład nieskończonej rozciągłości płaszczyzny, może nie mają liczbowych źródeł. Można jednak nadać im liczbowe uzasadnienia.

PARADOKSY Paradoks (gr. parádoksos – nieoczekiwany, nieprawdopodobny) – twierdzenie logiczne prowadzące do zaskakujących lub sprzecznych wniosków. Sprzeczność ta może być wynikiem błędów w sformułowaniu twierdzenia, przyjęcia błędnych założeń a może też być sprzecznością pozorną, sprzecznością z tzw. zdrowym rozsądkiem, np. paradoks hydrostatyczny, czy paradoks bliźniąt.

PARADOKSY

PARADOKSY ZENONA Z ELEI ACHILLES I ŻÓŁW Achilles potrafi biegać dwukrotnie szybciej od żółwia, na starcie pozwala mu oddalić się o pół dystansu. Startują w tym samym momencie. Kiedy Achilles dobiega do połowy dystansu żółw jest już dystansu. Gdy Achilles dobiegnie do dystansu, żółw znowu mu ucieknie pokonując Gdy Achilles dotrze w to miejsce, żółw ponownie oddali się o 1/16 dystansu, i tak w nieskończoność. Wniosek - Achilles nigdy nie przegoni żółwia, mimo ze biegnie od niego dwa razy szybciej.

ACHILLES I ŻÓŁW

PARADOKSY ZENONA Z ELEI HOTEL HILBERTA wyobraźmy sobie portiera w Grand Hotelu, w którym jest nieskończona liczba pokoi. Hotel jest pełny, nie ma wolnych miejsc. Przychodzi do hotelu kolejny klient chcący wynająć pokój. Okazuje się, ze sytuacja portiera nie jest bez wyjścia i nie musi odprawić klienta z kwitkiem. Portier wykonuje sprytny trik. Klienta z pokoju numer 1 przenosi do pokoju nr 2, tego z pokoju nr 2 do pokoju nr 3, ogólnie klienta z pokoju o numerze n portier przekwaterowuje do pokoju n + 1. W ten sposób każdy z dotychczasowych gości zostanie przekierowany, a kolejny klient otrzyma wolny juz pokój o numerze 1.

HOTEL HILBERTA

HOTEL HILBERTA

HOTEL HILBERTA

HOTEL HILBERTA

HOTEL HILBERTA

HOTEL HILBERTA

KRZYWA PEANO Niezależnie od siebie, Giuseppe Peano i David Hilbert, w latach 1890-91 rozpatrywali krzywe, które całkowicie wypełniałyby płaszczyznę dwuwymiarową, czyli przechodziłyby przez wszystkie punkty na tej płaszczyźnie. Najpierw opiszę Krzywą Peano. Cała krzywa mieści się w kwadracie, względem pierwotnej prostej, obróconym o 45°. To właśnie ten kwadrat prosta będzie całkowicie wypełniać. Konstrukcja krzywej jest widoczna na rysunku, więc dodatkowy opis jest zbędny. Kwadrat, w którym znajduje się krzywa zaznaczony jest na ciemny odcień szarego. Konstrukcja krzywej w pierwszym kroku zaznaczona jest grubszą czarną linią. W drugim kroku, pierwsza krzywa jest modyfikowana, każdy odcinek jest zamieniany na krzywą (taką jak w kroku pierwszym), w wyniku czego powstaje krzywa, składająca się jednocześnie z grubszych jak i cieńszych linii zaznaczonych na rysunku. Strzałki obrazują kolejność rysowania odcinków w pierwszym kroku. Obrazek w rogu obrazuje nam to w troszkę inny, łatwiejszy do zapamiętania sposób.

KRZYWA PEANO

NIESKOŃCZONOŚĆ Dopóki widać drogę w nieskończoność, dopóty ma ona sens i na konkretnym odcinku.

DZIĘKUJEMY ZA UWAGĘ