DANE INFORMACYJNE Nazwa szkoły: II Liceum Ogólnokształcące im. Cypriana Kamila Norwida w Stargardzie Szczecińskim ID grupy: 97_40_MF_G1 Opiekun: Dorota Zołotar Kompetencja: MAT_FIZ Temat projektowy: Liczby Fibonacciego Semestr/rok szkolny: semestr V 2011/2012

TEMAT PROJEKTOWY: LICZBY FIBONACCIEGO

FIBONACCI Włoski matematyk ur. około 1175 r. –zm. 1250 r. Znany jako: Leonardo Fibonacci, Filius Bonacci  (syn Bonacciego), Leonardo Pisano (z Pizy).

Pierwsze lekcje matematyki pobierał od arabskiego nauczyciela w mieście Boużia. Dużo podróżował odwiedzając i kształcąc się w takich miejscach jak Egipt, Syria, Prowansja, Grecja i Sycylia. W czasie swych podróży po Europie i po krajach Wschodu miał okazję poznać osiągnięcia matematyków arabskich i hinduskich, między innymi dziesiętny system liczbowy.

Historia odkrycia ciągu Fibonacciego Leonardo Fibonacci w swojej książce „Liber Abbaci” wydanej w 1202 r., zajął się zagadnieniem dotyczącym szybkości rozmnażania się stada królików. Przebiega ono w następujący sposób: Na początku mamy F nowo narodzonych królików i o każdej parze królików zakładamy, że: -nowa para staje się płodna po miesiącu życia; -każda płodna para rodzi jedną parę nowych królików w miesiącu; -króliki nigdy nie umierają.

Oryginalne pytanie Fibonacciego brzmiało: ile będzie par królików po upływie roku? Najczęściej pyta się, ile będzie par królików po upływie k miesięcy - oznaczamy tę liczbę przez Fk i nazywamy liczbą Fibonacciego.

Z warunków rozmnażania się królików można wywnioskować, że w kolejnym miesiącu liczba par królików jest równa liczbie par z poprzedniego miesiąca, gdyż króliki nie wymierają, plus liczba par nowo narodzonych królików, a tych jest tyle, ile było par dwa miesiące wcześniej, gdyż tylko te pary mogą rodzić nowe pary królików.

Analogiczny schemat opisuje liczbę przodków pojedynczego trutnia w roju pszczół.

Podstawowy Związek MIĘDZY WYRAZAMI CIĄGU FIBONACCIEGO Ciąg liczb Fibonacciego jest pierwszym znanym ciągem rekurencyjnym. Każda kolejna liczba ciągu jest sumą dwóch poprzednich (z wyjątkiem pierwszej i drugiej). Np..: 1,1,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,… gdzie: kn+2=kn+1+kn k1=1, k2=1…, n=1,2,3

ZWIĄZEK CIĄGU LICZB FIBONACCIEGO ZE ZŁOTĄ LICZBĄ Granica ciągu czyli ilorazów sąsiadujących ze sobą wyrazów ciągu Fibonacciego to tzw. złota liczba lub złota proporcja definiowana jako dodatnie rozwiązanie równania: lub równoważnego

Dowód (zakładający istnienie takiej granicy).

ZWIĄZEK CIĄGU LICZB FIBONACCIEGO Z LICZBAMI LUCASA Ciąg Lucasa jest pewną odmianą ciągu Fibonacciego, definiujemy go :

Zachodzą równości:

WYBRANE TOŻSAMOŚCI CIĄGU FIBONACCIEGO Pierwsza tożsamość Druga tożsamość Tożsamość na podwojenie n

Interpretacja geometryczna ciągu Fibonacciego Dachówka z kwadratów, których długości boków są kolejnymi liczbami Fibonacciego

TRÓJKĄT PASCALA Nazywany także trójkątem arytmetycznym. To trójkątna tablica, której pierwszy wiersz stanowi liczba 1, a każdy powstaje w ten sposób, że pod każdymi dwoma sąsiednimi wyrazami poprzedniego wiersza pisze się ich sumę, a na początku i na końcu każdego nowego wiersza dopisuje się jedynki.

ZWIĄZEK Z TRÓJKĄTEM PASCALA

Bibliografia http://www.surebety.pl/systemy,fibonacci.html http://mst.mimuw.edu.pl/lecture.php?lecture=mbm&part=C h4\ http://pl.wikipedia.org/wiki/Ciąg_Fibonacciego http://translate.google.pl/translate?hl=pl&langpair=en%7C pl&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number