Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: I Liceum Ogólnokształcące im. Adama Asnyka w Kaliszu ID grupy: 97_60_MF_G2 Opiekun grupy 2 : mgr inż. Zygmunt Bartolik Kompetencja: Matematyczno –Fizyczna Temat projektowy: AS_TP114_Arytmetyka i algebra przez geometrię Rok szkolny: 2010/2011 (sem. III)

Co to jest liczba? Liczba jest pojęciem abstrakcyjnym, jednym z najczęściej używanych w matematyce. Pierwotnie liczby służyły do porównywania wielkości zbiorów przedmiotów (liczby naturalne), później także wielkości ciągłych (miary i wagi), obecnie w matematyce są rozważane jako twory abstrakcyjne, w oderwaniu od ewentualnych fizycznych zastosowań.

Liczby trójkątne Gdy wpiszemy w kolejnych wierszach liczby (począwszy od jeden) o wzrastających długościach o jeden to otrzymamy ciąg liczb trójkątnych zgodnie ze wzorem.

Liczby trójkątne wizualizacja drugiej liczby trójkątnej

Liczby trójkątne wizualizacja trzeciej liczby trójkątnej

Liczby trójkątne wizualizacja czwartej liczby trójkątnej

Liczby trójkątne Piąta liczba trójkątna

Liczby trójkątne możemy przedstawić w postaci tabelki Nr liczby 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 … Wartość liczby trójkątnej 15 21 28 36 45 55 66 78

Liczby czworokątne Liczby kwadratowe (czworokątne) są szczególnymi przypadkami liczb wielokątnych. Liczba kwadratowa wyraża ilość jednostek, za pomocą których możemy wypełnić kwadrat. Wzór na kolejne liczby kwadratowe ma postać kn = n2 = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1), gdzie n jest liczbą naturalną. Patrząc na wzór widzimy, że liczby kwadratowe są kwadratami kolejnych liczb naturalnych.

Liczby czworokątne wizualizacja drugiej liczby czworokątnej

Liczby czworokątne wizualizacja trzeciej liczby czworokątnej

Liczby czworokątne wizualizacja czwartej liczby czworokątnej

Liczby kwadratowe możemy przedstawić w postaci tabelki Nr liczby 1 2 3 5 6 7 8 …. Wartość liczby czworokątnej 4 9 25 36 49 64

Liczby pięciokątne

Liczby pięciokątne Liczby pięciokątne odpowiadają liczbie jednakowych kul, z których można ułożyć pięciokąt foremny z wnętrzem. Wzór na kolejne liczby pięciokątne mają postać: Pn = 1+2+3+....+(n-1)+n2 gdzie n jest liczbą naturalną

Liczby pięciokątne możemy przedstawić w postaci tabelki Nr liczby 1 2 3 4 5 6 7 ….. Wartość liczby pięciokątnej 12 22 35 51 70

Przypomnienie pojęcia ciągu Temat „Arytmetyka i algebra przez geometrię” stał się pretekstem do przypomnienia pojęcia ciągu (w tym także ciągu arytmetycznego i geometrycznego) oraz rozwiązywania zadań z ciągów. W początkowym okresie wyznaczaliśmy kolejne liczby trójkątne następnie przeszliśmy do wyznaczania sumy i różnicy kolejnych liczb trójkątnych Następnie policzyliśmy trochę zadań z ciągów arytmetycznych i geometrycznych

Suma i różnica kolejnych liczb trójkątnych Wzór na różnicę kolejnych liczb trójkątnych: tn+1 – tn = n+1 gdzie n jest liczbą naturalną. ………………………………………………………………………………………………………………………………. Wzór na sumę kolejnych liczb trójkątnych: tn+1 + tn = (n+1) 2

Każdy pretekst jest dobry, aby rozwiązywać zadania z ciągów

Liczby Czworościenne Liczby czworościenne to liczby naturalne n, dla których możliwe jest skonstruowanie czworościanu foremnego z n kul, tak jak to pokazano na zdjęciu na stronie 22, 23 i 24. Liczby czworościenne są szczególnym przypadkiem liczb piramidalnych. Przykładowe liczby piramidalne o podstawie kwadratu przedstawia zdjęcie na stronie 25 i 26.

Liczby czworościenne Wizualizacja drugiej liczby czworościennej

Liczby czworościenne Wizualizacja trzeciej liczby czworościennej

Liczby czworościenne Wizualizacja czwartej liczby czworościennej

Liczby piramidalne Wizualizacja drugiej liczby piramidalnej o podstawie kwadratu.

Liczby piramidalne Wizualizacja trzeciej liczby piramidalnej o podstawie kwadratu

Wzory kolejnych liczb piramidalnych Liczby piramidalne są to liczby naturalne takie, że z k kul daje się zbudować ostrosłup, którego podstawą jest wielokąt foremny. Wzór na liczby czworościenne: Wzór na liczby piramidalne o podstawie kwadratu: Wzór na liczby piramidalne o podstawie p-kąta foremnego:

Temat „Arytmetyka i algebra przez geometrię” stał się również pretekstem do przypomnienia wiedzy z wielokątów foremnych. Po poznaniu wzorów na liczby piramidalne (także czworościenne) mieliśmy pretekst, aby pobawić się badaniem monotoniczności ciągów utworzonych z liczb trójkątnych, czworokątnych, pięciokątnych i piramidalnych (sprawa oczywista, ale każdy pretekst do liczenia zadań jest dobry).

Badanie monotoniczności ciągu liczb czworościennych :) (na tablicy brak założenia n > 1)

Ciągi liczb trójkątnych, czworokątnych, pięciokątnych i piramidalnych posłużyły także do sprawdzania, czy są one ciągami geometrycznymi czy arytmetycznymi.

Badanie czy liczby trójkątne tworzą ciąg geometryczny 

Badanie czy liczby trójkątne tworzą ciąg geometryczny  Sprzeczność rozwiązania wskazuje, że ciąg nie jest ciągiem geometrycznym

Liczby ośmiościenne Liczby ośmiościenne to podwójne (kolejne) liczby piramidalne o podstawie kwadratowej połączone podstawami. Liczba kulek potrzebna do zrealizowania liczby ośmiościennej przedstawiona jest wzorem:

Liczby ośmiościenne – badanie monotoniczności 

Ciąg liczb ośmiościennych jest ciągiem rosnącym 

Dzięki tematowi: „AS_TP114_Arytmetyka i algebra przez geometrię” grupa 97_60_MF G2 poznała ciekawe właściwości liczb i działań matematycznych. Zabawa liczbami przedstawianymi w sposób geometryczny pozwoliła na doskonalenie wiedzy z ciągów, geometrii i innych dziedzin matematyki, a także na rozwijanie wyobraźni przestrzennej