Prognozowanie i symulacje

Ramowy plan wykładu Wprowadzenie w przedmiot Trafność, dopuszczalność i błąd prognozy Prognozowanie na podstawie szeregów czasowych Prognozowanie na podstawie modelu ekonometrycznego Heurystyczne modele prognostyczne Symulacje

Wybrana literatura Prognozowanie gospodarcze. Metody i zastosowanie, red. M. Cieślak, PWN, Warszawa 2001 Zeliaś A., Pawełek B., Wanat S., Prognozowanie ekonomiczne. Teoria, przykłady, zadania, PWN, Warszawa 2003 Gajda J., Prognozowanie i symulacja a decyzje gospodarcze, Wyd. C.H. Beck, Warszawa 2001 Prognozowanie gospodarcze, red. E. Nowak, AW Placet, Warszawa 1998 Prognozowanie i symulacja, red. W. Milo, Wyd. UŁ, Łódź 2002

Przewidywanie przyszłości Nieracjonalne Racjonalne Zdroworozsądkowe Naukowe PROGNOZOWANIE to przewidywanie przyszłości w sposób racjonalny z wykorzystaniem metod naukowych PREDYKCJA to prognozowanie na podstawie modelu ekonometrycznego

Prognoza jako wynik prognozowania PROGNOZA to sąd sformułowany z wykorzystaniem dorobku nauki odnoszący się do określonej przyszłości, weryfikowalny empirycznie, niepewny (ale akceptowalny) Etapy prognozowania: Sformułowanie zadania prognostycznego Podanie przesłanek prognostycznych Wybór metody prognozowania Ocena dokładności lub dopuszczalności prognozy Weryfikacja prognozy

Funkcje prognoz Wyróżnia się trzy podstawowe funkcje prognoz: PREPARACYJNA (do podejmowania decyzji, stwarza dodatkowe przesłanki do podejmowania racjonalnych decyzji) AKTYWIZUJĄCA (pobudzenie do działań sprzyjających realizacji korzystnej prognozy, przeciwdziałających prognozie niekorzystnej) INFORMACYJNA (dostarcza informacji o badanym zjawisku)

Metoda prognozowania METODA PROGNOZOWANIA to sposób przetworzenia danych z przeszłości wraz ze sposobem przejścia od przetworzonych danych do prognozy. Istnieją więc dwie fazy: faza diagnozowania przeszłości - odbywa się przez budowę modelu formalnego (model ekonometryczny) lub myślowego (w umyśle eksperta) faza określania przyszłości – polega na zastosowaniu odpowiedniej reguły prognozy

Reguły prognozy reguła podstawowa – prognoza postawiona na podstawie modelu, przy założeniu, że będzie on aktualny w prognozowanym okresie reguła podstawowe z poprawką – prognoza postawiona na podstawie modelu z poprawką uwzględniającą, że ostatnio zaobserwowane odchylenia od modelu utrzymają się w przyszłości reguła największego prawdopodobieństwa (dla zmiennych losowych, których rozkład prawdopodobieństwa jest znany) – prognozą jest wartość zmiennej, której odpowiada największe prawdopodobieństwo dla zmiennych skokowych lub maksymalna wartość funkcji gęstości prawdopodobieństwa dla zmiennych ciągłych reguła minimalnej straty – przyjmuje się, że wielkość straty jest funkcją błędu prognozy i poszukuje się minimum tej funkcji. Prognozą jest wartość dla której ta funkcja przyjmuje minimum.

Metody prognozowania Metody prognozowania Metody niematematyczne Metody matematyczno-statystyczne Metody oparte na modelach ekonometrycznych Metody oparte na modelach deterministycznych Metody ankietowe Metody intuicyjne Metody kolejnych przybliżeń Metoda ekspertyz Metoda delficka Metoda refleksji Metody analogowe Inne Modele wielorównaniowe: prosty rekurencyjny o równaniach współzależnych Modele jednorównaniowe Klasyczne modele trendu Adaptacyjne modele trendu Modele przyczynowo-opisowe Modele autoregresyjne

Metody prognozowania Prognozowanie na podstawie modelu matematyczno-statystycznego to prognozowanie ilościowe Prognozowanie na podstawie modeli niematematycznych, to zwykle prognozowanie jakościowe Prognozy ilościowe dzielimy na: punktowe, gdzie dla zmiennej prognozowanej wyznacza się jedną wartość dla T>n, przedziałowe, w których wyznacza się przedział, w którym znajdzie się rzeczywista wartość zmiennej prognozowanej w prognozowanym okresie T>n.

Prognozowanie Bazą danych do modelu zmiennej prognozowanej (1) yt=F(t,et) lub (2) yt=F(x1t, x2t,...,xkt,et) jest szereg czasowy w postaci: t yt 1 y1 2 y2 ... n yn t yt x1t x2t ... xkt 1 y1 x11 x21 xk1 2 y2 x12 x22 xk2 n yn x1n x2n xkn Prognozy zmiennej prognozowanej yt wyznaczamy na okres T > n Prognozę na okres T będziemy oznaczać YT*

Horyzont czasowy prognoz Prognoza krótkookresowa to prognoza na taki przedział czasowy, w którym zakłada się istnienie tylko zmian ilościowych. Prognozy takie wyznacza się przez ekstrapolację dotychczasowych związków (na podstawie modeli ekonometrycznych lub trendów) Prognoza średniookresowa dotyczy okresów czasu, w których oczekuje się zmian ilościowych oraz ewentualnie niewielkich zmian jakościowych. Prognoza musi uwzględniać oba typy zmian, musi przynajmniej umiarkowanie odchodzić od ekstrapolacji Prognoza długookresowa dotyczy przedziału czasu, w którym mogą występować zmiany ilościowe oraz znaczące zmiany jakościowe

Modele ilościowe Prognozę na okres T > n można postawić wykorzystując model F (1) lub(2) jeśli spełnione są następujące założenia: funkcja F wyraża pewną prawidłowość ekonomiczną, która jest stabilna w czasie (nie spodziewamy się żadnych zmian jakościowych), składnik losowy et jest stabilny, w przypadku modelu ekonometrycznego znane są wartości zmiennych objaśniających w okresie T > n, czyli znane są wartości prognoz X1T*,X2T*,...,XkT*, dopuszczalna jest ekstrapolacja modelu poza próbę, czyli poza obszar zmienności zmiennych objaśniających, jak i zmiennej (zmiennych) objaśnianej.

Analiza danych w szeregu czasowym Analiza danych polega na: Wyodrębnieniu obserwacji odstających Stwierdzeniu braku lub istnienia trendu A Y t

Obserwacje odstające Po wyodrębnieniu obserwacji odstających należy ustalić: Czy dana obserwacja pojawiła się w skutek błędu rejestracji danych, Czy obserwacja pojawiła się w skutek jednokrotnego zjawiska zewnętrznego wpływu (np. realizacja pewnego dużego jednokrotnego zamówienia, o którym wiemy, że nie nastąpi już w przyszłości), Czy obserwacja pojawiła się jako normalne wahanie losowe (przypadkowe) w próbie. W przypadku 1. oraz 2. obserwację A można pominąć, a brakującą wartość uzupełnić średnią arytmetyczną z obserwacji poprzedniej i następnej. W przypadku 3. obserwacja powinna pozostać w bazie danych statystycznych.

Wyróżniamy dwa typy mierników: Błąd prognozy Po wyborze modelu prognostycznego F można wyznaczyć prognozy dla T>n: YT* =F(T) lub (2) YT*=F(x1T*, x2T*,...,xkT*) wraz z prognozą YT* należy wyznaczyć miernik dokładności prognozy Przy wyborze modelu prognostycznego należy dążyć do osiągnięcia zadowalającego poziomu miernika dokładności Wyróżniamy dwa typy mierników: błąd ex post błąd ex ante Błąd prognozy można zapisać jako Bt = yt – Yt* gdzie Yt* to wartość prognozy zmiennej Y na okres t, wyznaczona na podstawie modelu F, a yt to rzeczywista wartość zmiennej prognozowanej w okresie t.

Dopuszczalność prognozy: błąd ex ante Błąd ex ante wyznacza się dla modeli liniowych, których parametry oszacowano Metodą Najmniejszych Kwadratów (MNK). Niech model ma postać: dla t = 1, 2, …n. to po oszacowaniu MNK jego parametrów model teoretyczny przyjmuje postać: w zapisie macierzowym:

Dopuszczalność prognozy (2) Gdzie w zapisie macierzowym: oraz

Dopuszczalność prognozy (3) Prognozę na okres T > n można wyznaczyć ze wzoru: gdzie: X*1T, X*2T,…X*kT to prognozy zmiennych objaśniających X1, X2,…Xk w okresie T>n co w zapisie macierzowym: gdzie:

Błąd ex ante Błąd ex ante to odchylenie standardowe błędu BT prognozy Y*T na okres T. Błąd ex ante oznacza się przez V*T: gdzie Se to odchylenie standardowe reszt modelu liniowego. Względny błąd ex ante prognozy Y*T: który informuje jaką część prognozy stanowi błąd ex ante

Trafność prognozy – błąd ex post (1) Błąd ex post może być wyznaczony dla wszystkich modeli ilościowych. Jeśli t będzie okresem, na który postawiono prognozę Y*t i okres ten już minął, to znana jest wartość rzeczywista Yt zmiennej prognozowanej. Taką prognozę Y*t nazywać będziemy prognozą wygasłą. Dla prognoz wygasłych można wyznaczyć błąd ex post. Rozróżniamy: względny błąd prognozy (procentowy): absolutny błąd prognozy: względny absolutny błąd prognozy (procentowy): kwadratowy błąd prognozy: względny kwadratowy błąd prognozy:

Trafność prognozy – błąd ex post (2) Do oceny trafności prognoz wygasłych (a a więc dopasowania modelu prognostycznego F do danych o zmiennej prognozowanej Y można wykorzystać następujące błędy: średni absolutny błąd ex post prognoz wygasłych średni względny absolutny błąd ex post prognoz wygasłych średni błąd ex post prognoz wygasłych średni względny błąd ex post prognoz wygasłych średni kwadratowy błąd ex post prognoz wygasłych pierwiastek średniego kwadratowego błędu ex post prognoz wygasłych współczynnik Theila Do badania aktualności modelu prognostycznego – możemy użyć współczynnika Janusowego

Oznaczmy przez M zbiór numerów okresów/momentów, w których weryfikujemy trafność prognoz wygasłych wyznaczonych za pomocą modelu card M – liczebność zbioru M.

Średni absolutny błąd ex post prognoz wygasłych MAE

Średni względny absolutny błąd ex post prognoz wygasłych MAPE(procentowy)

Średni błąd ex post prognoz wygasłych ME

Średni względny błąd ex post prognoz wygasłych MPE

Średni kwadratowy błąd ex post prognoz wygasłych MSE

Pierwiastek średniego kwadratowego błędu ex post prognoz wygasłych RMSE

Współczynnik Theila (1)

Współczynnik Theila (2) Wyraża wielkość błędu z powodu nieodgadnięcia średniej wartości zmiennej prognozowanej (nieobciążoności prognozy). Wartości średnie wyznaczane są dla wartości yt takich, że ,

Współczynnik Theila (3) Wyraża wielkość błędu z powodu nieodgadnięcia wahań zmiennej prognozowanej (niedostatecznej elastyczności)

Współczynnik Theila (4) Wyraża wielkość błędu z powodu nieodgadnięcia kierunku tendencji rozwojowej zmiennej prognozowanej (niedostatecznej zgodności prognoz z rzeczywistym kierunkiem zmian zmiennej prognozowanej) to współczynnik korelacji pomiędzy wartościami yt i Yt* dla

Współczynnik Janusowy P – zbiór numerów okresów/momentów, dla których postawiono prognozy za pomocą modelu i stały się one prognozami wygasłymi, card P – liczebność zbioru P, K to zbiór numerów okresów/momentów dla których zbudowano model i wyznaczono prognozy wygasłe, Card K – liczebność zbioru K Jeżeli J2 ≤ 1, to model jest nadal aktualny i może być użyty do prognozowania na następne okresy.

Prognozowanie na podstawie szeregów czasowych Składowa systematyczna: Składowe szeregu czasowego: Składowa systematyczna Składowa przypadkowa Składowa systematyczna: Trend (tendencja rozwojowa) – długookresowa skłonność do jednokierunkowych zmian wartości badanej zmiennej, Stały przeciętny poziom prognozowanej zmiennej – wartości oscylują wokół stałego poziomu, Wahania cykliczne – długookresowe, powtarzające się rytmicznie w przedziałach czasu dłuższych niż rok, wahania wartości zmiennej wokół trendu lub stałego poziomu, Wahania sezonowe – wahania wartości zmiennej wokół trendu lub stałego poziomu w przedziałach czasu nie przekraczających roku.

Dekompozycja szeregu czasowego Proces wyodrębniania poszczególnych składowych szeregu czasowego Ocena wzrokowa sporządzonego wykresu Identyfikacja poszczególnych składowych szeregu czasowego na podstawie wykresów szeregu czasowego Analiza autokorelacji Oblicza się wartości współczynników korelacji między yt oraz yt-i (dla i=1,2,...,k), czyli współczynniki autokorelacji różnych rzędów. Bada się statystyczną istotność tych współczynników. Jeśli współczynniki dla kilku pierwszych rzędów są duże i statystycznie istotne, to wskazuje to na występowanie trendu. Jeśli występuje statystycznie istotny współczynnik autokorelacji rzędu równego liczbie faz cyklu sezonowego, to wskazuje to na występowanie wahań sezonowych.

Ocena wzrokowa (1)

Ocena wzrokowa (2)

Ocena wzrokowa (3)

Ocena wzrokowa (4)

Metoda średniej ruchomej ważonej k-elementowej Modele szeregów czasowych ze stałym poziomem zmiennej prognozowanej bez wahań okresowych (1) Metoda naiwna metodę można stosować w przypadku niskiej zmienności zmiennej prognozowanej – zazwyczaj, w sytuacjach, gdy współczynnik zmienności nie przekracza 10% Metoda średniej ruchomej ważonej k-elementowej Stałą wygładzania k ustala się na podstawie najmniejszego błędu prognoz wygasłych, wagi wi ustala prognosta na podstawie wiedzy o zmiennej prognozowanej Y. Jeśli przyjmie się to metodę nazywamy metodą średniej ruchomej k-elementowej.

Prosty model wygładzania wykładniczego Modele szeregów czasowych ze stałym poziomem zmiennej prognozowanej (2) Prosty model wygładzania wykładniczego dla t =2, 3,…n. model można stosować jeśli szereg nie cechuje zbyt silna zmienność (wahania przypadkowe nie są zbyt duże). Stałą wygładzania a wyznacza się eksperymentalnie na podstawie wybranego kryterium, jakie powinny spełniać prognozy wygasłe. Do wyboru modelu prognostycznego (prognozy) można wykorzystać analizę błędów ex post prognoz wygasłych

Modele szeregów czasowych z tendencją rozwojową zmiennej prognozowanej bez wahań okresowych(1) Modele analityczne stosuje się do prognozowana zjawisk, które charakteryzowały się w przeszłości regularnymi zmianami, które można opisać za pomocą funkcji czasu i wobec których zakłada się niezmienność kierunku trendu. Wybór postaci analitycznej modelu dokonuje się na podstawie: przesłanek teoretycznych dotyczących mechanizmu rozwojowego prognozowanego zjawiska, oceny wzrokowej wykresu przeszłych wartości zmiennej, dopasowania modelu do wartości rzeczywistych zmiennej prognozowanej.

Modele szeregów czasowych z tendencją rozwojową zmiennej prognozowanej (2) Do oceny dopasowania modelu liniowego, którego parametry oszacowano MNK, do wartości empirycznych można się posłużyć: a) współczynnikiem determinacji: b) standardowym błędem szacunku modelu (odchyleniem standardowym reszt): gdzie: k– oznacza liczbę zmiennych objaśniających w modelu

Modele szeregów czasowych z tendencją rozwojową zmiennej prognozowanej (3) Model trendu liniowego (lub zlinearyzowanego) przedstawia się w następujący sposób: Parametry strukturalne modelu można oszacować metodą najmniejszych kwadratów : Prognozę na okres T>n wyznacza się z wzoru:

Do oceny dopuszczalności zbudowanych prognoz używa się błędów ex ante: Modele szeregów czasowych z tendencją rozwojową zmiennej prognozowanej (4) Do oceny dopuszczalności zbudowanych prognoz używa się błędów ex ante: a) dla modelu liniowego: b) dla modeli nieliniowych sprowadzalnych do liniowych poprzez transformację g: – zmienna określona transformacją liniową = g(y), to błąd ex ante prognozy zmiennej na okres T, a pochodna jest liczona w punkcie y*T

Model trendu wielomianowego: Modele szeregów czasowych z tendencją rozwojową zmiennej prognozowanej (5) Model trendu wielomianowego: Przekształcenie do postaci liniowej: podstawienie: Prognoza:

Model trendu wykładniczego: Modele szeregów czasowych z tendencją rozwojową zmiennej prognozowanej (6) Model trendu wykładniczego: Przekształcenie do postaci liniowej:

Model trendu potęgowego: Modele szeregów czasowych z tendencją rozwojową zmiennej prognozowanej (7) Model trendu potęgowego: Przekształcenie do postaci liniowej:

Model trendu logarytmicznego: Modele szeregów czasowych z tendencją rozwojową zmiennej prognozowanej (8) Model trendu logarytmicznego: Przekształcenie do postaci liniowej:

Model trendu hiperbolicznego: Modele szeregów czasowych z tendencją rozwojową zmiennej prognozowanej (9) Model trendu hiperbolicznego: Przekształcenie do postaci liniowej:

Przykład obliczeniowy (1) Wielkość sprzedaży rowerów stacjonarnych firmy Wettler u przedstawiciela na Górny Śląsk w ostatnich kwartałach przedstawiała się następująco [w szt.]: Przyjmując, że czynniki kształtujące sprzedaż nie ulegną zmianie: postawić prognozę sprzedaży na kolejny kwartał (T=13) 105 109 115 118 120 121 123 124 125 126 128

Przykład obliczeniowy (trend liniowy) (2)

Przykład obliczeniowy (trend logarytmiczny) (3)

Przykład obliczeniowy (4) t yt ln t Yt*=9,641648 ln t + 104,1075 1 105 0,0000 104 2 109 0,6931 111 3 115 1,0986 4 118 1,3863 117 5 120 1,6094 6 121 1,7918 7 123 1,9459 8 124 2,0794 9 125 2,1972 10 126 2,3026 11 128 2,3979 127 12 2,4849 13   2,5649 129 W kolejnym kwartale prognozowana sprzedaż wynosi 129 sztuk rowerów.

Przykład obliczeniowy (błąd ex ante) (5) b) przyjmując, że błąd prognozy nie może stanowić więcej niż 1% jej wartości zbadaj dopuszczalność prognozy t yt ln t Yt*=9,641648 ln t + 104,1075 (yt-Yt*)2 1 105 0,0000 104 0,7965 2 109 0,6931 111 3,2063 3 115 1,0986 0,0900 4 118 1,3863 117 0,2770 5 120 1,6094 0,1405 6 121 1,7918 0,1467 7 123 1,9459 0,0171 8 124 2,0794 0,0246 9 125 2,1972 0,0855 10 126 2,3026 0,0950 11 128 2,3979 127 0,5972 12 2,4849 0,0044 13   2,5649 129 5,4808

Przykład obliczeniowy (błąd ex ante) (6)   1 0,0000 0,6931 1,0986 1,3863 1,6094 1,7918 1,9459 2,0794 2,1972 2,3026 2,3979 2,4849

Przykład obliczeniowy (błąd ex ante) (7) Prognozę na kolejny kwartał (T=13) można uznać za dopuszczalną.

Przykład obliczeniowy (8) c) postaw prognozy na następne dwa kwartały (14 i 15) oraz oceń ich dopuszczalność t yt ln t Yt*=9,641648 ln t + 104,1075 1 105 0,0000 104 2 109 0,6931 111 3 115 1,0986 4 118 1,3863 117 5 120 1,6094 6 121 1,7918 7 123 1,9459 8 124 2,0794 9 125 2,1972 10 126 2,3026 11 128 2,3979 127 12 2,4849 13   2,5649 129 14 2,6391 130 15 2,7081

Przykład obliczeniowy (9) Obie prognozy (na kwartał 14 oraz 15) można uznać za dopuszczalne.

Modele szeregów czasowych z tendencją rozwojową zmiennej prognozowanej (10) Jeżeli zaobserwuje się odchodzenie wartości zmiennej prognozowanej od dotychczasowej tendencji rozwojowej (spowodowane zmianą jakościową), to można wykorzystać prognozę w formie reguły podstawowej z poprawką:

Modele szeregów czasowych z tendencją rozwojową zmiennej prognozowanej (11) Prognozę przedziałową dla z góry zadanej wiarygodności p (dla z góry zadanego prawdopodobieństwa, że wartość rzeczywista zmiennej prognozowanej w okresie T>n znajdzie się w danym przedziale) konstruuje się w następujący sposób: u – współczynnik związany z wiarygodnością prognozy p, rozkładem reszt modelu oraz długością szeregu czasowego. Jeśli rozkład reszt modelu nie jest zgodny z rozkładem normalnym lub hipoteza o normalności nie była weryfikowana, to u zależy wyłącznie od wiarygodności prognozy, a obliczając u korzysta się z nierówności Czebyszewa: Jeśli rozkład reszt modelu jest zgodny z rozkładem normalnym, to u odczytuje się z tablic rozkładu normalnego dla dużej próby dla prawdopodobieństwa lub z tablic rozkładu t-Studenta dla małej próby (n<30) dla prawdopodobieństwa (1-p) oraz n-k-1 stopni swobody.

Przykład obliczeniowy (1) Wielkość sprzedaży rowerów stacjonarnych firmy Wettler u przedstawiciela na Górny Śląsk w ostatnich kwartałach przedstawiała się następująco [w szt.]: Przyjmując, że czynniki kształtujące sprzedaż nie ulegną zmianie, postawić prognozę przedziałową na kolejny kwartał na poziomie wiarygodności 0,95. 105 109 115 118 120 121 123 124 125 126 128 rozkład reszt modelu nie jest badany lub nie jest zgodny z rozkładem normalnym jeśli rozkład reszt jest zgodny z rozkładem normalnym, to

Przykład obliczeniowy (2) rozkład reszt modelu nie jest badany lub nie jest zgodny z rozkładem normalnym wtedy jeśli rozkład reszt jest zgodny z rozkładem normalnym, to z prawdopodobieństwem p=0.95.

Modele szeregów czasowych z tendencją rozwojową zmiennej prognozowanej (12) Model liniowy Holta gdzie dla t=2, 3,…,n. Parametry wygładzania a i b dobiera się eksperymentalnie na podstawie wybranego kryterium, które powinny spełniać prognozy wygasłe. Ponadto a i b należą do przedziału [0;1]. Model wymaga wartości początkowych F1 oraz S1 .Można przyjąć:

Przykład obliczeniowy (1) Wielkość sprzedaży pralek automatycznych firmy „Kolar” u jednego z przedstawicieli w ostatnich miesiącach przedstawiała się następująco [w szt.]: Przyjmując, że czynniki kształtujące sprzedaż nie ulegną zmianie: a) postaw prognozę na następny miesiąc 37 41 40 45 48 53 58 67 79 85 88 90

Przykład obliczeniowy (2) Początkowe rozwiązanie dla a=0,5 oraz b=0,5

Przykład obliczeniowy (3) a=0,981598763552985 oraz b=0,702640116555618

Przykład obliczeniowy (4) a=1 oraz b=0,701813393637758

Przykład obliczeniowy (5) a=0,820035105981983 oraz b=0 F1=a0 oraz S1=a1 na podstawie wszystkich obserwacji

Przykład obliczeniowy (6) a=1 oraz b=0,596147803853797 F1=a0 oraz S1=a1 na podstawie 3 pierwszych obserwacji

Przykład obliczeniowy (7) a=1 oraz b=0,951541620905999 F1 oraz S1 na podstawie najmniejszego błędu prognoz wygasłych

Model trendu pełzającego z wagami harmonicznymi Procedura metody jest następująca: Ustalenie stałej wygładzania k < n; Oszacowanie na podstawie kolejnych fragmentów szeregu o długości k liniowych funkcji trendu Obliczenie wartości teoretycznych wynikających z poszczególnych funkcji trendu; Obliczenie wartości trendu pełzającego dla każdego okresu t (średnia arytmetyczna z wartości teoretycznych adekwatnych funkcji trendu dla danego okresu); Obliczenie przyrostów funkcji trendu: Nadanie wag poszczególnym przyrostom: Określenie średniego przyrostu trendu jako średniej ważonej wszystkich obliczonych przyrostów Wyznaczenie prognozy punktowej na okres T:

Przykład obliczeniowy (1) Na podstawie danych z poprzedniego przykładu (sprzedaż pralek firmy „Wolar”) postaw prognozę na następny miesiąc przy zastosowaniu modelu trendu pełzającego z wagami harmonicznymi. Niech k=3, im wyższa wartość stałej k, tym większe wygładzenie szeregu i tym słabsze reagowanie na zmiany zachodzące w szeregu czasowym

Przykład obliczeniowy (2) Wartości teoretyczne

Przykład obliczeniowy (3) Wartości wygładzone- trend pełzający

Przykład obliczeniowy (4) Przyrosty funkcji trendu pełzającego

Przykład obliczeniowy (5) Nadanie wag przyrostom Wagi realizują postulat postarzania informacji – najnowsze przyrosty mają największe znaczenia. Suma wag wynosi 1.

Przykład obliczeniowy (6)

Modele szeregów czasowych z wahaniami okresowymi zmiennej prognozowanej (1) Metoda wskaźników gdy występują wahania sezonowe wraz z tendencją rozwojową lub stałym przeciętnym poziomem prognozę wyznacza się na podstawie wartości funkcji trendu skorygowanej o wskaźnik sezonowości przy wahaniach bezwzględnie stałych (gdy amplitudy wahań, w analogicznych okresach są stałe) może być model addytywny: przy wahaniach względnie stałych (wielkości amplitud zmieniają się mniej więcej w tym samym stosunku) może być model multiplikatywny: gdzie to wielkość prognozy wyznaczona z funkcji trendu lub stałego przeciętnego poziomu

Modele szeregów czasowych z wahaniami okresowymi zmiennej prognozowanej (2) Oblicza się następujące wartości (eliminacja trendu): Oblicza się „surowe wskaźniki sezonowości” (eliminacja oddziaływania składnika losowego): k – liczba jednoimiennych faz w szeregu; r – liczba faz w cyklu Wyznacza się „czyste wskaźniki sezonowości” (informują o natężeniu wahań sezonowych): Wyznacza się wartość prognozy:

Przykład obliczeniowy (1) Firma „Czarny diament” prowadzi sprzedaż paliwa opałowego klientom indywidualnym. Dochody firmy zależą praktycznie od wielkości sprzedaży miału opałowego. Dane dotyczące kwartalnej wielkości sprzedaży miału [t] z ostatnich lat przedstawiono w poniższej tabeli. Należy wyznaczyć prognozę na kolejne kwartały. 450 550 400 310 560 660 480 360 590 700 520 410 770

Przykład obliczeniowy (2) Analiza amplitud wahań dopuszcza stosowanie modelu addytywnego, jak i multiplikatywnego.

Przykład obliczeniowy (3) Model addytywny yt-y^t 1 450 2 550 461 89 3 400 471 -71 4 310 482 -172 5 560 493 67 6 660 504 156 7 480 514 -34 8 360 525 -165 9 590 536 54 10 700 547 153 11 520 558 -38 12 410 568 -158 13 579 81 14 770 180 15 601 -11 16 611 -131

Przykład obliczeniowy (4) Model multiplikatywny yt y^t yt/y^t 1 450 1,00049 2 550 461 1,194201 3 400 471 0,848647 4 310 482 0,642997 5 560 493 1,13614 6 660 504 1,310365 7 480 514 0,933025 8 360 525 0,685407 9 590 536 1,100716 10 700 547 1,280189 11 520 558 0,932612 12 410 568 0,721383 13 579 1,139636 14 770 1,30528 15 601 0,982202 16 611 0,784993

Metoda trendów jednoimiennych okresów Modele szeregów czasowych z wahaniami okresowymi zmiennej prognozowanej (3) Metoda trendów jednoimiennych okresów gdy występują wahania sezonowe wraz z tendencją rozwojową lub stałym przeciętnym poziomem polega na szacowaniu parametrów analitycznej funkcji trendu oddzielnie dla poszczególnych faz cyklu prognozę stawia się przez ekstrapolację odpowiedniej funkcji trendu

Przykład obliczeniowy Należy wyznaczyć prognozę sprzedaży miału przez firmę „Czarny diament” na kolejne kwartały metodą trendów jednoimiennych okresów.

Modele szeregów czasowych z wahaniami okresowymi zmiennej prognozowanej (4) Model Wintersa gdy występują wahania sezonowe wraz z tendencją rozwojową lub stałym przeciętnym poziomem jest modelem z trzema równaniami może być multiplikatywny, wtedy prognoza wynosi: może być addytywny, wtedy prognoza wynosi:

Model Wintersa multiplikatywny Modele szeregów czasowych z wahaniami okresowymi zmiennej prognozowanej (5) Model Wintersa multiplikatywny

Model Wintersa addytywny Modele szeregów czasowych z wahaniami okresowymi zmiennej prognozowanej (6) Model Wintersa addytywny

Propozycje wartości początkowych Modele szeregów czasowych z wahaniami okresowymi zmiennej prognozowanej (7) Propozycje wartości początkowych F2 S2 C1 (w pierwszym cyklu) I Wartość zmiennej z pierwszej fazy drugiego cyklu Różnica średnich wartości z drugiego i pierwszego cyklu Ilorazy wartości rzeczywistych do wartości średniej (w pierwszym cyklu) II Średnia wartość zmiennej prognozowanej z pierwszego cyklu 1 Dowolne kombinacje

Przykład obliczeniowy (1) Firma „Save Lock” prowadzi sprzedaż wkładek bębenkowych wysokiej klasy bezpieczeństwa. Dane dotyczące miesięcznej wielkości sprzedaży [j.p.] z ostatnich lat przedstawiono w poniższej tabeli. Należy wyznaczyć prognozę na kolejne kwartały. 480 610 490 430 710 840 690 600 860 940 730 590 810 890 680 540

Przykład obliczeniowy (2)

Przykład obliczeniowy (3) szereg cechuje sezonowość ostatnie obserwacje wskazują na zmianę tendencji najlepiej wykorzystać model adaptacyjny można wykorzystać model Wintersa Zostanie wykorzystany multiplikatywny model Wintersa

Przykład obliczeniowy (4) Rozwiązanie początkowe dla a=b=g=0,5

Przykład obliczeniowy (5)

Przykład obliczeniowy (6) a=0,82; b=0,53; g=1,00

Przykład obliczeniowy (7)

Modele szeregów czasowych z wahaniami okresowymi zmiennej prognozowanej (8) Analiza harmoniczna gdy występują wahania sezonowe wraz z tendencją rozwojową lub stałym przeciętnym poziomem model buduje się w postaci sumy tzw. harmonik – funkcji sinusoidalnych lub cosinusoidalnych o danym okresie pierwsza harmonika ma okres równy n, druga n/2, trzecia n/3, itd.. liczba wszystkich harmonik wynosi n/2 prognozę stawia się na podstawie modelu:

Modele szeregów czasowych z wahaniami okresowymi zmiennej prognozowanej (9) Jeśli występuje trend, to oblicza się następujące wartości (eliminacja trendu): Szacuje się parametry a0, ai, bi modelu: korzystając z zależności:

Modele szeregów czasowych z wahaniami okresowymi zmiennej prognozowanej (10) Z modelu można wyeliminować harmoniki, których udział w wyjaśnianiu wariancji rozpatrywanej zmiennej jest najmniejszy. Udział w wariancji zmiennej prognozowanej dla wszystkich oprócz ostatniej harmoniki wynosi: natomiast dla ostatniej: gdzie: s2 jest szacunkiem wariancji zmiennej prognozowanej

Przykład obliczeniowy (1) Firma „Save Lock” prowadzi sprzedaż wkładek bębenkowych wysokiej klasy bezpieczeństwa. Dane dotyczące miesięcznej wielkości sprzedaży [j.p.] z ostatnich lat przedstawiono w poniższej tabeli. Należy wyznaczyć prognozę na kolejne kwartały za pomocą analizy harmonicznej. 480 610 490 430 710 840 690 600 860 940 730 590 810 890 680 540

Przykład obliczeniowy (2) Występuje trend wielomianowy

Przykład obliczeniowy (3) eliminacja trendu

Przykład obliczeniowy (4) Szacowanie wartości parametrów a0, a1, b1

Przykład obliczeniowy (5) Szacowanie wartości parametrów a2, b2

Przykład obliczeniowy (6) Szacowanie wartości parametrów a3, b3

Przykład obliczeniowy (7) Szacowanie wartości parametrów a4, b4

Przykład obliczeniowy (8) Szacowanie wartości parametrów a5, b5

Przykład obliczeniowy (9) Szacowanie wartości parametrów a6, b6

Przykład obliczeniowy (10) Szacowanie wartości parametrów a7, b7

Przykład obliczeniowy (11) Szacowanie wartości parametrów a8, b8

Przykład obliczeniowy (12) Udział harmonik w wariancji Ponieważ harmonika 4 wyjaśnia prawie 94% zmienności zmiennej prognozowanej, to do prognozowania wykorzystany będzie model tylko z tą harmoniką

Przykład obliczeniowy (13) Model prognostyczny Postać analityczna funkcji trendu Postać modelu

Przykład obliczeniowy (14) Prognoza