ALGEBRA ZBIORÓW

Zbiór Przykłady: zbiór studentów 1go roku zbiór książek w bibliotece zbiór liczb naturalnych (ozn. N) zbiór liczb rzeczywistych (ozn. R) zbiór słów nad alfabetem A (ozn. A*) Zamiast mówić, że 5 jest liczbą naturalną, mówimy, że 5 należy do zbioru liczb naturalnych i piszemy 5N. Symbol  nazywamy relacją należenia. Jeśli element nie należy do zbioru, np. -2.5 nie jest liczbą naturalną, tzn. -2.5 nie należy do zbioru N, tzn. -2.5N. Dział matematyki, którego zadaniem jest badanie ogólnych własności zbiorów, nazywamy Teorią Mnogości. (George Cantor).

Definiowanie zbiorów A = {a,b,c,d,e,f,g} przez wymienienie ich elementów przez podanie własności, które muszą spełniać elementy przez podanie sposobu wyliczania elementów B = {x : xN oraz x<6} C = {x2 + 1 : xN} Jeśli zbiór nie posiada żadnych elementów, to powiemy, że jest pusty. Zbiór pusty oznaczamy przez . Zbiór A nie jest pusty, bo należy do niego element a. A, bo aA. Nie ma takiego obiektu, który należałby do zbioru pustego!

Równość zbiorów Definicja Powiemy, że dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają dokładnie te same elementy. A=B  (wttw) dla dowolnego x, jeżeli xA, to xB i odwrotnie jeżeli xB, to xA . AB wttw istnieje taki element zbioru A, który nie należy do B lub istnieje taki element zbioru B, który nie należy do A. Uwaga: Jeżeli A=B i B=C , to A=C. Przykład: A = {5,50,500,5000} = {5*10x: 0x<4 i xN} A = {5000,5,50,500}

Relacja zawierania inkluzja Definicja Powiemy, że zbiór A zawiera się w zbiorze B, ozn. A B wttw dla dowolnego obiektu x, jeśli xA, to xB. UWAGA: Jeśli A=B, to również AB. Jeśli AB i AB, to mówimy, że A jest właściwym podzbiorem zbioru B, ozn. AB. Przykłady: NR, QR, ZR {d, a}{a,b,c,d,e,f}

O zbiorze A mówimy, że jest podzbiorem zbioru B. A jest zawarty w zbiorze B Zbiór B zawiera zbiór A O zbiorze A mówimy, że jest podzbiorem zbioru B. O zbiorze B mówimy, że jest nadzbiorem zbioru A.

Jeżeli zbiór A nie zawiera się w zbiorze B, tzn Jeżeli zbiór A nie zawiera się w zbiorze B, tzn. nie jest prawdą, że zbiór A jest zawarty w zbiorze B, to musi istnieć taki obiekt (element), który należy do zbioru A i jednocześnie nie należy do zbioru B. A A B B AB wttw istnieje takie x, że xA i xB. Przykład. Zbiór liczb podzielnych przez 2 nie jest podzbiorem zbioru liczb podzielnych przez 5, bo np. 4 jest podzielne przez 2, a nie jest podzielne przez 5.

Własności inkluzji Twierdzenie Dla dowolnych zbiorów A,B,C : A AA Jeśli AB oraz BC, to AC. Jeśli AB oraz BA, to A=B. Uwaga: Jeśli xA, to {x}A.

Zbiór potęgowy Definicja Zbiór, który składa się z wszystkich podzbiorów pewnego zbioru A, nazywa się zbiorem potęgowym ozn. P(A) Przykład: A={1,2,3}, wtedy P(A) = {, {1},{2}, {3},{1,2},{2,3},{1,3}, {1,2,3}} UWAGA: P() = {}

Suma zbiorów Definicja Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór, którego elementami są wszystkie elementy zbioru A i wszystkie elementy zbioru B. Sumę zbiorów A i B oznaczamy przez AB . xAB wttw xA lub xB A B Uwaga: xAB wttw xA i xB Przykład: A={3k: kN}, B= {2k : kN}. AB = {n: n jest liczbą, która dzieli się przez 2 lub przez 3}.

Własności sumy Twierdzenie Dla dowolnych zbiorów A,B,C :   A = A A  A = A A  B = B  A (A  B)  C = A  (B  C) przemienność łączność Uwaga: Powyższe równości można udowodnić wykazując, że jeśli element należy do lewej strony równości, to należy do prawej strony i odwrotnie.

Inkluzja a suma Twierdzenie Dla dowolnych zbiorów A, B, C: A  A  B oraz B  A  B Jeśli A  C i B  C , to A  B  C Jeśli A  B i C  D , to A  C  B  D A  B wttw A  B = B

Dowód własności: A  B wttw A  B = B  Zakładamy, że A  B Dowodzimy, że A  B= B (czyli A  B  B i B  A  B) i) Po pierwsze A, B B  A  B ii) Jeśli x  A  B to x  A lub x  B. Jeśli x  A to na mocy założenia A  B, x  B. Powyższe rozumowanie jest poprawne dla dowolnego x (wzięliśmy dowolne x), więc udowodniliśmy, że jeśli A  B to A  B  B.  Odwrotnie, zakładamy, że A  B = B. Jeżeli x  A wtedy x  A  B, a ponieważ zbiory A  B i B są równe więc x B. Czyli A  B.

Iloczyn zbiorów Definicja Iloczynem(przecięciem) zbiorów A i B nazywamy zbiór, którego elementami są te elementy zbioru A , które są równocześnie elementami zbioru B. x A B wttw x  A i x  B A B UWAGA: x A B wttw x  A lub x  B Przykład: Niech iN{0} A={2i : i<16}, B={3i : i<11} A B={0,6,12,18,24,30}= {6i : i < 6}

Własności iloczynu Twierdzenie Dla dowolnych zbiorów A,B,C :   A =  A  A = A A  B = B  A (A  B)  C = A  (B  C) przemienność łączność

Dla dowolnych zbiorów A,B,C: A  (A  B) = A (A  B)  B = B Twierdzenie Dla dowolnych zbiorów A,B,C: A  (A  B) = A (A  B)  B = B A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) Prawa absorpcji Prawa rozdzielności

Diagramy Venna A B C =

Różnica symetryczna Definicja Różnicą symetryczną zbiorów A, B nazywamy zbiór A B taki, że: xA lub xB ale x nie należy do obu zbiorów równocześnie. Przykład: Niech iN{0} A= {2i : i<6}, B= {3i : i<6} A  B = {2,3,4,8,9,10,12,15}

Różnica zbiorów Definicja Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór , którego elementami są te obiekty zbioru A, które nie są równocześnie elementami zbioru B. Różnicę zbiorów oznaczamy przez A\B. xA\B wttw xA i xB A B UWAGA: x  A\ B wttw x  A lub x  B . Przykład: A= {1,2,3,4,5,6} B={ 2i+1: i<5 i iN {0}} A\B = {2,4,6} B\A = {7,9}

Własności różnicy Twierdzenie Dla dowolnych zbiorów A,B,C : A\B  A A B wttw A\B =  Jeśli A  B, to C\B  C\A A \(B C)= (A\B)\C. Prawa de Morgana A\(B C) = (A\B)  (A\C) A\(B C) = (A\B)  (A\C)

Dopełnienie zbioru Definicja Dopełnieniem (Uzupełnieniem) zbioru A w przestrzeni U nazywamy zbiór -A, którego elementami są wszystkie elementy przestrzeni U nie należące do zbioru A, tzn. dla dowolnego x U i dowolnego podzbioru A przestrzeni U: x- A wttw x  A U A UWAGA: U\A = -A Przykład: Niech uniwersum U=N oraz A={2i: i  N}. Wtedy -A jest zbiorem wszystkich liczb nieparzystych.

Własności dopełnień Twierdzenie Dla dowolnych zbiorów A,B pewnego uniwersum U : - = U -U =  -(-A ) = A Jeśli A  B, to - B  -A. Prawa de Morgana -(A  B) = -A  -B -(A  B) = -A  -B

Działania nieskończone Definicja Niech będzie rodzina zbiorów A= {Ai : iI}. Sumą nieskończonej rodziny zbiorów nazywamy zbiór Ai taki, że xAi wttw istnieje takie iI, że xAi . Iloczynem (lub przecięciem) nieskończonej rodziny zbiorów nazywamy zbiór  Ai taki, że x   Ai wttw dla wszystkich i  I, x  Ai Przykład: Ai = {x  R : x<i} dla iN{0}  Ai = R  Ai = {x  R : x<0}

Para uporządkowana Postulaty jakie musi spełniać para uporządkowana: Można ją utworzyć dla dowolnych dwóch elementów <x,y>=<z,w> wttw x=z i y=w Definicja (K. Kuratowski) <x,y>={{x},{x,y}} UWAGA: trójka uporządkowana <x,y,z>=<<x,y>,z> n-ka uporządkowana <x1,x2,..,xn>=<< ..<x1,x2>...>,xn-1>,xn> UWAGA: Jeśli xy to <x,y> <y,x>

Iloczyn (produkt) kartezjański Definicja Iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B (ozn. AB) nazywamy zbiór par uporządkowanych definiowany następująco: AB={<x,y> : xA i y B} UWAGA: A B C={<x,y,z> : x A i y B i z C} X Y Ilustracja graficzna iloczynu kartezjańskiego

Własności iloczynu kartezjańskiego Twierdzenie Dla dowolnych zbiorów X,A,B: X  Y = Y  X wttw X = Y X   =  X  (A  B) = (X  A)  (X  B) X  (A  B) = (X  A)  (X  B) X  (A\B) = (X  A) \ (X  B) A B i C  D wttw AC  B  D A  (B  C)  (A  B)  C Stwierdzenie Jeżeli X jest zbiorem n-elementowym, a Y zbiorem m-elementowym, to produkt X Y ma n*m elementów.