KONTRAKTY FORWARD Cena terminowa kontraktu forward sprawiedliwa cena wykonania kontraktu forward na aktywa nie generujące przepływów finansowych Cena terminowa kontraktu forward Wartość kontraktu terminowego kupna

Kontrakty forward Kontraktem terminowym typu forward jest umowa między dwoma podmiotami, dotycząca dostawy określonej ilości towaru (waloru) w ustalonej chwili w przyszłości po ustalonej cenie (jedna strona zobowiązuje się do sprzedania towaru zaś druga do kupienia)

Typowe instrumenty bazowe dla kontraktów forward Metale Surowce energetyczne Zboża, kawa, cukier, soja Stopy procentowe Kursy wymiany walut Papiery wartościowe

Elementy kontraktu forward Cena jednostkowa dostawy (realizacji kontraktu) – delivery price Aktualna cena terminowa kontraktu – forward price Ilość towaru Jakość Miejsce dostawy Data rozliczenia

Cena jednostkowa dostawy - K Cena jednostkowa dostawy (np. cena baryłki ropy naftowej, tony miedzi, uncji złota) Cena ta jest rezultatem analizy popytu i podaży w dniu zawierania kontraktu nie preferuje żadnej ze stron kontraktu (wartość kontraktu dla każdej strony w dniu zawierania kontraktu jest równa zeru) nie zmienia się w czasie trwania kontraktu Cena dostawy będzie oznaczona literą K

Aktualna cena terminowa kontraktu – forward price (cena terminowa - F ) Aktualna cena terminowa kontraktu forward – cena dostawy, która zostałaby wynegocjowana przez strony kontraktu, gdyby negocjacje odbywały się w chwili bieżącej. (Cena terminowa danego kontraktu jest określona przez cenę dostawy, dla której wartość kontraktu wynosi zero) W chwili zawierania kontraktu cena terminowa jest równa cenie dostawy, później cena terminowa podlega zmianom w zależności od ceny waloru będącego przedmiotem kontraktu

Po co zawierane są kontrakty ? Zabezpieczenie przed ryzykiem wzrostu cen surowców (kontrakty towarowe) spadku cen surowców (kontrakty towarowe) Zabezpieczenie przed wahaniami kursów walutowych (kontrakty na kursy walutowe) Zabezpieczenie przed wzrostem kosztu kredytu (kontrakty na stopę procentową) Osiągnięcie zysku Osłona innych inwestycji

Charakterystyka kontraktów forward Obrót pozagiełdowy (brak wartości giełdowej) Warunki negocjowane między stronami kontraktu Brak standaryzacji Ceny nie są podawane do publicznej wiadomości Strony kontraktu znają się nawzajem Brak ograniczeń czasowych na handel kontraktami Możliwe trudności w zamknięciu pozycji Dostawa fizyczna towaru będącego przedmiotem kontraktu Każda ze stron ponosi ryzyko niewywiązania się z kontraktu drugiej strony

Dwie strony kontraktu forward Każdy inwestor może otworzyć jedną z dwóch pozycji odpowiadających stronom w kontrakcie, w zależności od roli, jaką mają w umowie Pozycję długą („nabycie kontraktu” – w konsekwencji kupno towaru będącego przedmiotem transakcji) Pozycję krótką („wystawienie kontraktu” - w konsekwencji sprzedaż towaru będącego przedmiotem transakcji)

Założenia o rynku oprocentowanie depozytów i kredytów bankowych jest jednakowe i stałe w czasie wysokość zaciąganych kredytów nie jest ograniczona zapewniona jest płynność obrotu wszystkimi aktywami nie ma żadnych kosztów związanych z zawieraniem transakcji wszystkie aktywa są doskonale podzielne dopuszczalna jest krótka sprzedaż aktywów ciągła kapitalizacja odsetek brak możliwości arbitrażu

Arbitraż Możliwość uzyskania zysku ponad stopę wolną od ryzyka, bez ryzyka ponoszenia strat Możliwość wykorzystania „niedopasowań” rynkowych, pozwalająca na osiąganie dodatkowego zysku bez ponoszenia ryzyka (finansowe perpetuum mobile) Możliwość uzyskania zysku z różnicy cen, gdy walorem handluje się na dwóch rynkach

Notacja K- cena jednostkowa dostawy w kontrakcie forward T- okres (w latach) pozostający do dostawy S – cena instrumentu bazowego, będącego przedmiotem kontraktu F – cena terminowa kontraktu forward f – wartość długiej pozycji w kontrakcie forward r – wolna od ryzyka roczna stopa procentowa (przy ciągłej kapitalizacji) dla inwestycji kończącej się w dniu dostawy Litery S, F, f mogą wystąpić ze wskaźnikami wyznaczającymi punkt na osi czasu z przedziału [0; T] np. S0, St, ST, (F0= K)

Określenie sprawiedliwej ceny wykonania kontraktu forward na aktywa nie generujące przepływów finansowych Rozważmy w chwili t = 0 kontrakt forward na jeden walor, którego przechowanie nic nie kosztuje oraz nie przynosi do chwili t = T żadnych dochodów oraz możliwa jest krótka sprzedaż waloru. (Przykłady takich walorów to akcje nie przynoszące dywidendy, obligacje zerokuponowe) Stwierdzenie 1. Przy poczynionych założeniach o rynku sprawiedliwa cena wykonania K (=F0) kontraktu na walor nie generujący przepływów finansowych, dana jest wzorem (1) K= F0 = S0 erT Termin realizacji T - wyrażony jest w latach, S0 – cena waloru w chwili t = 0 (Cena terminowa w chwili t=0 jest więc wartością przyszłą bieżącej ceny waloru)

Określenie ceny wykonania kontraktu terminowego Uzasadnienie ( punkt widzenia właściciela waloru będącego przedmiotem kontraktu) Podmiot posiadający walor (sprzedający) może w chwili t = 0 sprzedać walor za cenę S0 i uzyskany przychód zdeponować – uzyskując w chwili t = T kwotę S0 erT . Zatem F nie może być mniejsze niż S0 erT

Określenie ceny wykonania kontraktu terminowego (punkt widzenia inwestora nie posiadającego waloru będącego przedmiotem kontraktu ani pieniędzy) Gdyby F0 > S0 erT , wówczas w chwili t = 0 można wykonać następujące operacje pożyczyć w banku kwotę S0 zakupić walor na rynku za S0 zawrzeć kontrakt sprzedaży z ceną F0 zaś w chwili t = T : zrealizować kontrakt z ceną F0 zwrócić pożyczkę z odsetkami – w kwocie S0 erT Różnica F0 - S0 erT jest zyskiem arbitrażowym, zatem taka sytuacja jest niemożliwa z założenia

Określenie ceny wykonania kontraktu terminowego Przypuśćmy, że F0 < S0 erT w chwili t = 0 można wykonać następujące operacje: pożyczyć walor i sprzedać go za kwotę S0 (krótka sprzedaż waloru) kwotę S0 zdeponować w banku zawrzeć kontrakt kupna z ceną F0 w chwili t = T należy: wycofać z banku depozyt w kwocie S0 erT zrealizować kontrakt kupna z ceną F oddać walor zamykając krótką sprzedaż Różnica S0 erT - F0 jest zyskiem arbitrażowym, zatem taka sytuacja jest niemożliwa z założenia

Przykład 1. Cena wykonania 3 – miesięcznego kontraktu forward na akcję pewnej spółki wynosi 43 zł. Wolna od ryzyka roczna stopa procentowa w tym czasie wynosi 5%. Cena akcji – 40 zł. (nie jest spodziewana wypłata dywidendy) Cena wykonania kontraktu jest za wysoka, możliwy jest arbitraż: t=0 Zaciągamy pożyczkę 40 zł, kupujemy akcję Zajmujemy krótką pozycję na kontrakcie t=T Sprzedajemy akcję w ramach realizacji kontraktu za 43 zł Spłacamy pożyczkę w kwocie 40e0,05* 0,25 = 40,5 Uzyskujemy zysk arbitrażowy w kwocie 2,50 zł

Przykład 2. Cena wykonania 3 – miesięcznego kontraktu forward na akcję pewnej spółki wynosi 40,40 zł. Wolna od ryzyka roczna stopa procentowa w tym czasie wynosi 5%. Aktualna cena akcji – 40 zł. (nie spodziewana jest wypłata dywidendy) Cena wykonania kontraktu jest za niska, możliwy jest arbitraż: t=0 Dokonujemy krótkiej sprzedaży akcji, Uzyskaną kwotę lokujemy na koncie bankowym Zajmujemy długą pozycję na kontrakcie t=T Wypłacamy kwotę 40e0,05* 0,25 = 40,50 Kupujemy akcję w ramach realizacji kontraktu za 40,40 zł Oddajemy akcję (rozliczenie krótkiej sprzedaży) Uzyskujemy zysk arbitrażowy w kwocie 0,10 zł

Interpretacja wzoru F0 = S0 erT Po elementarnych przekształceniach: - S0 + F0/ erT = 0 W strategii : kupno waloru, krótka pozycja na kontrakcie, sprzedaż waloru w ramach realizacji kontraktu: S0 jest wydatkiem w chwili t = 0, F0 jest wpływem uzyskanym w chwili t =T. UWAGA 1. Równanie (2) stwierdza, że strumień zdyskontowanych na moment t = 0 przepływów finansowych w tej strategii jest równy zeru.

Interpretacja wzoru F0 = S0 erT Wzór (1) jest równoważny wzorowi (3) - S0 + (ST)/erT = - F0/ erT + (ST)/erT gdzie ST oznacza cenę waloru w chwili t = T Lewa strona jest sumą zdyskontowanych przepływów pieniężnych w strategii: kupno waloru za S0 w chwili t=0, sprzedaż waloru za ST w chwili t = T, Prawa strona jest sumą zdyskontowanych przepływów pieniężnych w strategii: długa pozycja w kontrakcie z ceną wykonania F0, lokata w banku kwoty F0 / e rT w chwili t = 0, Wycofanie lokaty, realizacja kontraktu – kupno waloru za F0 , sprzedaż waloru za ST w chwili t=T UWAGA 2. Strategie wymienione wyżej są równoważne

Cena terminowa kontraktu forward Niech – jak poprzednio – S0 oznacza cenę waloru w chwili t = 0. Niech Ft - oznacza cenę terminową kontraktu forward zawieranego w chwili t z przedziału [0; T] oraz terminie realizacji T na walor o aktualnej cenie St . WNIOSEK 1. Z definicji ceny terminowej oraz z rozważań analogicznych do tych ze stwierdzenia 1 wynika, że cena ta wynosi (4) Ft = St er (T - t) ponadto przy przyjętych oznaczeniach: F0 = S0 erT, FT = ST

Wartość kontraktu terminowego kupna definicja Kontrakt terminowy zawarty w chwili t = 0 z ceną wykonania F0 w chwili T, może być przedmiotem obrotu. Zasadne jest więc pytanie o jego wartość w chwili t z przedziału [0; T]. DEF. Wartość długiej pozycji ft kontraktu w chwili t definiuje wzór (5) ft = St - e-r(T-t) F0 Wartość kontraktu kupna w chwili t jest różnicą miedzy ceną rynkową waloru St a zdyskontowaną na moment t ceną wykonania tego kontraktu

Wartość kontraktu terminowego kupna Przykład 1 Przykład. Przed trzema miesiącami został zawarty 9 miesięczny kontrakt na akcję spółki. Cena terminowa kontraktu wynosiła wtedy 26,50 zł. Aktualna cena akcji tej spółki wynosi 25,50 zł. Jaka jest wartość pozycji długiej w tym kontrakcie, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 6% ? Stosujemy wzór ft = St - e-r(T-t) F0 w którym St=25,50; F0 = 26,50; r=0,06; T = 0,75; t = 0,25 ft = 25,50 – e-0,06*0,526,50 = - 0,21681 wartość pozycji długiej w tym kontrakcie wynosi (-0,22 zł)

ft = e-r(T- t) Ft - e-r(T- t) F0 (6) ft = e-r(T- t) (Ft - F0 ) Wartość kontraktu terminowego kupna Interpretacje wzoru ft = St - e-r(T-t) F0 Uwzględniając wzór (4) na cenę Ft , wzór na wartość kontraktu przyjmuje postać ft = e-r(T- t) Ft - e-r(T- t) F0 (6) ft = e-r(T- t) (Ft - F0 ) Wartość kontraktu kupna (długiej pozycji) w chwili t jest równa zdyskontowanej różnicy miedzy ceną terminową Ft a ceną wykonania F0 lub inaczej – zdyskontowanej różnicy miedzy cenami wykonania kontraktów zawieranych w chwilach t=0 oraz t=t i tym samym terminem realizacji T Wartość kontraktu kupna zależy od zmiennej ceny waloru St, może więc przyjmować różne znaki. Jeżeli St > S0 , to wartość pozycji długiej na kontrakcie jest dodatnia, w przeciwnej sytuacji (St < S0 ) – ujemna. Ponadto f0 = S0 - F0 / erT = 0 fT = ST - F0

Wartość kontraktu terminowego kupna Przykład 2 Przykład. Przed trzema miesiącami został zawarty 9 miesięczny kontrakt na akcję spółki. Cena terminowa kontraktu wynosiła wtedy 26,50 zł. Aktualna cena terminowa kontraktu wynosi 26,00 zł. Jaka jest wartość pozycji długiej w tym kontrakcie, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 6% ? Zastosujemy wersję wzoru na wartość kontraktu ft = e-r(T- t) (Ft - F0 ) F0= 26,50; t = 0,25; T = 0,75; Ft= 26,00; r = 0,06 ft = e-0,06*0,5 = 0,970446 (27,00 – 26,50) = 0,485223 wartość pozycji długiej w tym kontrakcie wynosi 0,49 zł

Wartość kontraktu terminowego kupna c. d. Uwzględniając we wzorze ft = St - e-r(T-t) F0 fakt, że F0 = S0 erT otrzymujemy ft = St - e-r(T- t) S0 erT = St - S0 ert , zatem (7) ft = St - S0 ert Uzyskana równość dostarcza kolejną interpretację wartości kontraktu kupna: jest to różnica między ceną waloru w chwili t, a aktualizacją jego ceny z chwili 0 na moment t

Wartość kontraktu terminowego kupna Przykład 3 Przed trzema miesiącami został zawarty 9 miesięczny kontrakt na akcję spółki, której cena wynosiła wówczas 25 zł. Aktualna cena akcji tej spółki wynosi 24 zł. Jaka jest wartość pozycji długiej w tym kontrakcie, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 6% ? Zastosujemy ostatnią postać wzoru na wartość pozycji długiej: ft = St - S0 ert St = 24, S0= 25, t = 0,25; r = 0,06 ft = 24 - 25* 1,015113 = -1,38

Wartość kontraktu terminowego kupna przy danej cenie dostawy K Zastępując we wzorach (5) i (6) literę F0 - ceną dostawy kontraktu zawartego w chwili t=0, literą K, otrzymujemy wersje (5’) i (6’) wzorów na wartość pozycji długiej w kontrakcie w chwili t (z przedziału [0; T] ) (5’) ft = St - e-r(T-t) K (6’) ft = e-r(T- t) (Ft - K ) lub jeszcze inaczej: (8) f = S - e-rT K (9) f = e-rT (F- K ) S- aktualna cena waloru, T- czas do terminu realizacji, F – cena terminowa kontraktu

Wartość kontraktu terminowego kupna przy danej cenie wykonania Przykład. Aktualna cena akcji pewnej spółki wynosi 25 zł. Jaka jest wartość pozycji długiej w 6-miesięcznym a kontrakcie na akcję tej spółki, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 6%, a cena dostawy wynosi 24 zł Zastosujemy wzór f = S - e-rT K gdzie S=25, K=24, r=0,06, T=0,5 F=25 - 0,970446*24 = 25 - 23,29069 = 1,709307 Wartość kontraktu wynosi 1,71 zł

Wartość kontraktu terminowego sprzedaży Wartość kontraktu sprzedaży jest równa wartości przeciwnej „sprzężonego” z nim kontraktu kupna tego samego waloru, zawartego w tym samym momencie z tym samym czasem wykonania. Zatem w chwili t wartość kontraktu sprzedaży to (10) ft = e-r(T-t) F0 - St Dla krańców przedziału czasowego otrzymujemy f0= e-rT F0 - S0 = 0 fT = F0 - ST

Wartość kontraktu terminowego sprzedaży Analogicznie do wartości kontraktu kupna, wartość kontraktu sprzedaży ft = e-r(T-t) F0 - St może przyjąć postać z uwzględnieniem ceny terminowej (11) ft = e-r(T- t) (F0 - Ft) lub opierać się na tylko cenie instrumentu bazowego (12) ft = S0 ert - St Przy danej cenie wykonania K, cenie terminowej F wartość kontraktu na T przed terminem realizacji: (13) f = e-rT (K - F)

Literatura Instrumenty pochodne – sympozjum matematyki finansowej. Kraków UJ 1997 Inwestycje K. Jajuga, T. Jajuga PWN 2008 Rynkowe instrumenty finansowe A. Sopoćko PWN 2005 Kontrakty terminowe i opcje. Wprowadzenie J. Hull Warszawa 1997 Inżynieria finansowa A. Weron, R. Weron Warszawa 1998