Wyrównywanie szeregów czasowych dr Małgorzata Radziukiewicz

Metody wyznaczania trendu Zadanie wyznaczenia trendu – funkcji f(t) – jest nazywane wygładzaniem (wyrównywaniem) szeregu czasowego. Możemy tego dokonać stosując jedną z dwóch metod: metodę analityczną (modelowanie rozwoju zjawiska z uwzględnieniem analizy regresji – określamy postać funkcji charakteryzującą tendencję rozwojową szeregu i wyznaczamy jej parametry – zob. slajdy pt. „Analiza szeregów czasowych”); metodę mechaniczną.

Wyrównywanie szeregów czasowych Szeregi ze znacznym udziałem wahań okresowych i przypadkowych poddaje się zwykle wyrównywaniu, czego rezultatem jest nowy szereg eksponujący trend rozwojowy zjawiska. Metoda mechaniczna sprowadza się do dokonania przekształcenia liniowego szeregu czasowego polegającego na wyeliminowaniu zmienności losowej (czynnika przypadkowego) i wahań periodycznych o okresie 12-miesięcznym i okresach krótszych.

Metoda mechaniczna wyznaczania trendu Najprostszą metodą eliminacji wahań z szeregu czasowego jest obliczenie tzw. średnich ruchomych i zastąpienie nimi pierwotnych wyrazów szeregu czasowego. Czynność szacowania trendu można porównać do przepuszczenia szeregu yt przez urządzenie, które umownie możemy nazwać filtrem, ponieważ zatrzymuje (eliminuje) zmienność przypadkową (składnik losowy) i zmienność regularną (sezonowość) dając na wyjściu (przepuszczając) składnik o największej stabilności (trend). Rolę takiego filtru spełniają średnie ruchome.

Średnie ruchome Średnia ruchoma jest to średnia arytmetyczna kolejnych wyrazów danego szeregu. Średnie ruchome oblicza się z nieparzystej (zwykłe) lub parzystej (scentrowane) liczby sąsiadujących ze sobą wyrazów szeregu. Wybór rodzaju średnich ruchomych zależy od celu badania. Można tak dobrać długość średniej ruchomej, że będzie ona całkowicie tłumiła wahania sezonowe i prawie całkowicie wahania przypadkowe. Najlepiej więc, by liczba obserwacji szeregu czasowego wchodzącego w skład średniej ruchomej była równa okresowi wahań periodycznych, które mają być stłumione.

Średnie ruchome Zatem, wahania periodyczne szeregu czasowego mogą być wyeliminowane za pomocą średniej ruchomej o długości równej okresowi wahań szeregu, albo wielokrotności tego okresu. Mówimy, że wahania danego szeregu (lub składnika wyrazów danego szeregu) są periodyczne, jeżeli powtarzają się w identyczny sposób w określonym czasie. Np. szereg chronologiczny o wyrazach: 3, 1, 7, 5, 4 , 3, 1, 7, 5, 4, 3, 1, 7, 5, 4; jest szeregiem periodycznym, gdyż po upływie określonego czasu wyrazy tego szeregu powtarzają się stale z tymi samymi wartościami. Czas, po upływie którego wyrazy szeregu powtarzają się w tych samych wartościach nazywamy okresem (w podanym przykładzie okres składa się z 5 wyrazów). Największą różnicę między wyrazami takiego szeregu nazywamy amplitudą wahań (amplituda wynosi 7-1=6).

Średnie ruchome Średnie ruchome zwykłe (np. 3-okresowe) obliczamy następująco: i przyporządkowujemy dla 2-go okresu szeregu czasowego i przyporządkowujemy dla 3-go okresu szeregu czasowego i przyporządkowujemy dla n-1 okresu szeregu czasowego.

Wykonana modyfikacja określana jest jako centrowanie średniej. Średnie ruchome Załóżmy, że y1, y2,.....yn oznaczają kolejne wyrazy szeregu czasowego (kwartalne), przy czym y1 oznacza dane dla I kwartału, a następne wyrazy kolejno dla następnych kwartałów, wówczas w celu wyeliminowania zmienności losowej (czynnika przypadkowego) i wahań periodycznych o okresie kwartalnym zastosujemy średnią 4-wyrazową. 4-wyrazowe średnie ruchome wygodnie jest liczyć według następującego sposobu: odpowiada trzeciemu okresowi szeregu czasowego odpowiada czwartemu okresowi szeregu czasowego, itd.. Wykonana modyfikacja określana jest jako centrowanie średniej.

- dla miesiąca sierpnia: Średnie ruchome Jeżeli mamy szereg czasowy (surowy) o danych miesięcznych zastosujemy średnią 12-wyrazową. Oznaczając y1 dane dla miesiąca stycznia, a następne wyrazy y2, y3, y4,…kolejno dla następnych miesięcy, wówczas scentrowana 12-miesięczna średnia ruchoma będzie równa: - dla miesiąca lipca: - dla miesiąca sierpnia: itd..

Średnie ruchome Zaletą mechanicznej metody wyodrębniania tendencji rozwojowej jest prostota obliczeń. Wadą jest natomiast skracanie wyrównanego szeregu czasowego. Np. średnia 4-wyrazowa skraca szereg na początku o p=2 i q=2; średnia 3-wyrazowa o p=1 i q=1. Najczęściej używana "scentrowana" 12-wyrazowa średnia ruchoma skraca szereg na początku o p=6 i na końcu o q=6. Po scentrowaniu wagi przyporządkowane poszczególnym wyrazom szeregu czasowego wchodzącego w skład tej średniej nie są jednakowe – wartość pierwsza i ostatnia mają wagi 1/24 a pozostałym wartościom przyporządkowane są wagi 1/12.  Prawidłowością jest, że im dłuższa średnia, tym lepiej tłumi sezonowość i składnik sezonowy, nie zniekształcając trendu.

Oszacowania trendu są więc nieporównywalne z danymi oryginalnymi. Średnie ruchome Wynikiem zastosowania średniej ruchomej jest nowy szereg, który jest wyrównaną (wygładzoną) wersją szeregu surowego. Oszacowania trendu są więc nieporównywalne z danymi oryginalnymi. Wahania sezonowe i przypadkowe w wyrównanym szeregu czasowym są mniejsze niż w szeregu yt.

Zastosowanie średnich ruchomych

Zastosowanie średnich ruchomych

Dekompozycja szeregu czasowego metodą mechaniczną wygładzanie szeregu za pomocą 4-okresowych średnich ruchomych Sprzedaż dobra A w pewnym sklepie w poszczególnych kwartałach lat 1999 – 2003 przedstawia tabela obok. Przykład 1. Wyznaczyć prognozę metodą średniej ruchomej. okres t kwartał/rok sprzedaż (szt.) 1 1999 I 809 2 II 1363 3 III 2053 4 IV 1729 5 2000 I 935 6 1355 7 2435 8 1843 9 2001 I 1118 10 1758 11 2802 12 2354 13 2002 I 1283 14 2242 15 3272 16 2578 17 2003 I 1441 18 2220 19 3558 20 2863

Dekompozycja szeregu czasowego metodą mechaniczną Obliczenia: itd. okres t kwartał/rok sprzedaż (szt.) średnia ruchoma 1 1999 I 809 - 2 II 1363 3 III 2053 1504,25 4 IV 1729 1519 5 2000 I 935 1565,75 6 1355 1627,75 7 2435 1664,88 8 1843 1738,13 9 2001 I 1118 1834,38 10 1758 1944,13 11 2802 2028,63 12 2354 2109,75 13 2002 I 1283 2229 14 2242 2315,75 15 3272 2363,5 16 2578 2380,5 17 2003 I 1441 2413,5 18 2220 2484,88 19 3558 20 2863

Dekompozycja szeregu czasowego metodą mechaniczną

gdzie: k – stała wygładzania Konstrukcja prognozy Metoda średniej ruchomej umożliwia obliczenie prognozy zgodnie z następującym wzorem: gdzie: k – stała wygładzania Sprzedaż dobra A w I kwartale 2004 roku wyniesie 2520,5 sztuk.

Wnioski Metodę średniej ruchomej stosuje się do prognozowania krótkookresowego, na ogół na jeden okres naprzód, czyli T=n+1. Brane są pod uwagę przede wszystkim szeregi czasowe, w których nie występuje składnik periodyczny. Sprzedaż dobra A - przykład 1- jest szeregiem, w którym występuje wyraźny składnik sezonowy. Z tego powodu prognoza uzyskana metodą średniej ruchomej będzie zawsze niedokładna. Metodę średniej ruchomej stosuje się wówczas, gdy zaobserwowany w analizowanym okresie poziom wartości zmiennej prognozowanej jest względnie stały (stacjonarny), z pewnymi niewielkimi odchyleniami przypadkowymi. Przykład 1 może służyć jedynie jako ilustracja obliczania średnich ruchomych scentrowanych.