Jak mierzyć asymetrię zjawiska? Wykład 5

Miary jednej cechy  Miary poziomu  Miary dyspersji (zmienności, zróżnicowania, rozproszenia)  Miary asymetrii (skośności)

Szereg symetryczny ● to szereg, w którym liczba jednostek rozłożona jest równomiernie po obu stronach wartości dominującej ● w szeregu takim miary tendencji centralnej, a więc średnia arytmetyczna, mediana i dominanta mają jednakową wartość, czyli: x

Wykres rozkładu normalnego Kształt tego rozkładu może być różny w zależności od 2-óch parametrów: od średniej i wariancji S2 (względnie odchylenia standardowego S). Zawsze jednak jest to krzywa symetryczna względem swojej wartości średniej z charakterystycznym kształtem „dzwonu” oraz o mniejszym lub większym spłaszczeniu zależnie od odchylenia standardowego.

● Krzywa N1 ma ustaloną wartość średnią i odchylenie standardowe s ● Krzywa N1 ma ustaloną wartość średnią i odchylenie standardowe s. ● Krzywa N2 różni się od niej tym, że przy tej samej wartości średniej ma mniejsze odchylenie standardowe (krzywa staje się bardziej wysmukła). ●Krzywa N3 różni się od N1 tym, że przy tym samym odchyleniu standardowym ma większą wartość średnią, czyli jest przesunięta w prawo. N2 N1 N3

Dla zbiorów w większości symetrycznych lub umiarkowanie symetrycznych rozkłady empiryczne przyjmują kształt „dzwonu” wszystkie wartości w zbiorze są rozproszone („rozrzucone”) wokół średniej w celu określenia „rozpiętości” wokół średniej możemy użyć w bardzo precyzyjny sposób odchylenia standardowego.

Dla zbiorów danych o rozkładach mających kształt „dzwonu” empiryczna reguła określa jak blisko dane wartości są do średniej 1. W przybliżeniu 68% liczebności populacji znajduje się w przedziale zmienności równym wartości 1-go odchylenia standardowego od średniej 2. Prawie 95% liczebności populacji znajduje się w przedziale zmienności równym wartości 2-óch odchyleń standardowych od średniej. 3. Prawie 99.7% liczebności populacji znajduje się w przedziale zmienności równym wartości 3-ch odchyleń standardowych od średniej.

Empiryczna zasada 68% 95% 99,7%

Szeregi asymetryczne Rozkład prawostronny Rozkład lewostronny

Miary asymetrii (skośności) wskaźnik asymetrii (skośności): wartość wskaźnika asymetrii większa od zera informuje o dodatnim (prawostronnym) kierunku asymetrii rozkładu Ws równy zero oznacza rozkład symetryczny Ws mniejsze od zera wskazuje asymetrię ujemną (lewostronną)

Miary asymetrii (skośności) współczynnik asymetrii (skośności) informuje jaka część odchylenia standardowego stanowi różnica między średnią arytmetyczną a dominantą znak współczynnika określa kierunek a moduł siłę asymetrii As zawarty w granicach wskazuje na umiarkowaną asymetrię w przypadku asymetrii prawostronnej As przyjmuje wartości dodatnie, w przypadku asymetrii lewostronnej As przyjmuje wartości ujemne.

Miary asymetrii (skośności) Jeżeli dany szereg wymaga użycia miar pozycyjnych (np. otwarte przedziały klasowe, nierówne rozpiętości przedziałów), do opisania asymetrii rozkładu należy użyć pozycyjnej miary asymetrii opartej na kwartylach: lub określa kierunek i siłę asymetrii jednostek znajdujących się w 2-iej i 3-ej ćwiartce obszaru zmienności

Miary asymetrii (skośności) Momenty definiuje się jako średnie arytmetyczne odchyleń wartości cechy (zmiennej) od liczby a podniesione do potęgi r: gdzie: - wykładnik potęgi r określa rząd momentu, a więc gdy r = 1 mówimy o momencie rzędu pierwszego, gdy r = 2 o momencie rzędu drugiego itd., - liczba a określa rodzaje momentów, gdy a = 0 mówimy o momentach zwykłych (zerowych) oraz gdy o momentach centralnych.

Miary asymetrii (skośności) Momenty zwykłe (oznaczamy symbolem m):

Miary asymetrii (skośności) Momenty centralne (oznaczamy symbolem e):

Miary asymetrii (skośności) Do określenia asymetrii rozkładu stosuje się moment centralny trzeci e3, informujący o kierunku skośności. - jeśli rozkład jest symetryczny to e3 = 0, - w przypadku asymetrii prawostronnej e3 > 0; - w przypadku asymetrii lewostronnej e3 < 0. Siłę zjawiska przedstawia moment centralny trzeci wyrażony w jednostkach odchylenia standardowego: Jako miarę względną kurtozy stosuje się współczynnik: