Numeryczne modelowanie korelacji Bosego-Einsteina Czy możemy widzieć obszar produkcji i czy ten obszar mierzymy ? Grzegorz Wilk (współpraca: O.V.Utyuzh i Z.Włodarczyk)

1. Wprowadzenie 2. Modelowanie korelacji BE (funkcji C 2 (Q 2 )) - jak to robiono: (*) modelowanie czasoprzestrzennej struktury źródła (*) modelowanie statystyki Bosego-Einsteina (BE) (*) wymuszanie przyporządkowania cząstkom ładunków odpowiadającego statystyce BE (1) 3. Nowy sposób modelowania korelacji Bosego-Einsteina (2) : (*) wprowadzenie (na przykładzie prostego algorytmu) (*) dotychczasowe (bardzo wstępne) wyniki 4. Podsumowanie (1)O.V.Utyuzh, G.Wilk, Z.Włodarczyk, Phys. Lett. B522 (2001) 273; Acta Phys. Polon. B33 (2002) 2681 (2) O.V.Utyuzh, G.Wilk, Z.Włodarczyk ; hep-ph/

Wprowadzenie: G.Goldhaber et al. PRL 3 (1959) 181; PR 120 (1960) 300 Identyczne mezonylubią pojawiać się obok siebie w przestrzeni fazowej (*) przejaw faktu, że mezony są bozonami i podlegają statystyce Bosego-Einsteina (*) jest to mikroskopowy odpowiednik tzw. efektu HBT (1) (1)R.Hanbury-Brown and R.Q.Twiss, Philos. Mag. 45 (1954) 663; Nature 177 (1956) 27 R.Hanbury-Brown, Contemp. Phys. 12 (1971) 357 Interpretacje: C 2 (p i -p j )= (p i,p j )/[ (p i ) (p j )]

O czym należy pamiętać: (*) BEC służą do uzyskiwania danych o czasoprzestrzennych charakterystykach obszaru hadronizacji: objętości V=V(n,s,A,...) i czasie życia (n,s,A,...) (*) ostatnie wyniki z RHIC-a zdają się przeczyć dotychczasowym oczekiwaniom co do V(s,A) oraz (a,A) - oczekiwania co do BEC nie są prawdziwe ? - oczekiwania co do charakteru hadronizacji są błędne ? -... ?.... Pytanie: w jaki sposób kwarki (o spinie ½ statystyka FD !) w fazie QCD prowadzą do mezonów o spinie całkowitym BEC? (..... pary Copera, nadprzewodnictwo, nadciekłość..... ?.....)

Podejścia stosowane do analizy efektu BEC: (1) (*) pracujemy z funkcjami falowymi układu cząstek w przestrzeni położeń i pędów: k (x k,p k ) (*) reprezentowanymi przez fale płaskie: exp(ix k p k ) (*) które odpowiednio symetryzujemy (*) wprowadzamy pojęcie czaso-przestrzennego źródła emitującego hadrony: (x 1,...,x k,...) (*) zajmujemy się w zasadzie tylko BEC 2-cząstkowymi i zakładamy, że: (x 1,x 2 )= (x 1 ) (x 2 )

x1x1 x2x2 p1p1 x1x1 x2x2 p2p2 no BEC: (x 1,p 1 ) (x 2,p 2 ) BEC: (x 1,p 1 ) (x 2,p 2 ) + (x 1,p 2 ) (x 2,p 1 ) (x 1,x 2 )= (x 1 ) (x 2 ) (1)

czynnik koherencji Transformata Fouriera źródła hadronowego ( 1 < C 2 < 2 ) ( R = promień źródła ? ) czy raczej: (średnia odległość między parami identycznych cząstek?) 0 < < 1 (1)

O czym nie należy zapominać stosując podejście (1): (1) – obie wyselekcjonowane identyczne cząstki powstają w środowisku wielu innych czastek (2) – zaniedbaliśmy wszelkie oddziaływania w stanie końcowym (coulombowskie i silne) (3) – zaniedbaliśmy wszelkie możliwe korelacje w źródle redukując wszystko do rozkładów jednocząstkowych (4) – to co mierzymy to pędy cząstek, o położeniach nic nie wiemy (i nie możemy a priori wiedzieć, mamy tylko nadzieję, że z BEC coś się pośrednio o nich dowiemy...) dowiemy... )

(1)..... dygresja..... jak poprawnie uwzględniać efekt koherencji? (a) C 2 (Q) = 1 + · (q=Q·R); =n (chaos) /n (total) ??? (b) C 2 (Q) = 1 + 2p(1-p)·[ (q)] (1/2) + p 2 · (q); p=n (chaos) /n (total) ??? (a) S.V.Akkelin, R.Lednicky, Yu.M.Sinyukov, Phys. Rev. C65 (2002) (b)I.V.Andreev, M.Plümer, R.M.Weiner, Int.J.Mod.Phys. A8 (1993) G.A.Kozlov, O.V.Utyuzh, G.Wilk, Phys. Rev. C68 (2003) Ukr. J. Phys. 48 (2003) 1313 oba wzory są poprawne! (a)powinno się stosować jeśli istnieją obok siebie niezależne koherentne i chaotyczne źródła produkujące hadrony (lub jeśli cząstki klasyczne współistnieją z kwantowymi) (b)powinno się stosować jeśli koherencja jest wymuszana przez czynnik zewnętrzny, który (częściowo) porządkuje fazy funkcji falowych hadronów produkowanych w danym źródle

Podejścia stosowane do analizy efektu BEC: (2) (*) uważamy BEC za manifestację korelacji fluktuacji istniejących w źródłach produkujących cząstki i pracujemy z celami w przestrzeni pędów i krotnościami n ulokowanych w nich cząstek (*) symetryzacja tendencja do skupiania się identycznych cząstek w takich celach (efekt działania statystyki Bosego-Einsteina) - automatycznie uwzględnione są BEC wszystkich rzędów - związek BEC z intermitencją staje się oczywisty

(2) w tym podejściu: C 2 (Q) jest po prostu miarą korelacji fluktuacji (n) - dyspersja rozkładu krotności P(n) - współczynnik korelacji: (+1) - statystyka BE (-1) - statystyka FD 0 - statystyka Boltzmanna W.A.Zajc, Nucl. Phys. A630 (1998) 511c; M.Stephanov, Phys. Rev. D65 (2002) I K.Fiałkowski, Proc. of XXX ISMD, Tihany (2000) T.Osada, M.Maruyama,F.Takagi, Phys. Rev. D59 (1999)

O czym należy pamiętać stosując podejście (2): (1)– obie wyselekcjonowane cząstki zawsze czują obecność wszystkich innych cząstek (2) – nie bardzo wiadomo jak w tym podejściu traktować oddziaływania w stanie końcowym i rezonanse (3) – uwzględnienie koherencji proste: odpowiada zmianie statystyki (to samo z BEC dla fermionów) (4) – nie wiadomo co teraz z wielkością źródła i jego czasoprzestrzennymi charakterystykami

Do praktycznego opisu procesów produkcji wielocząstkowej powszechnie stosuje się różnego rodzaju generatory przypadków losowych Monte-Carlo: (*) wszystkie one oparte są na pewnym procesie stochastycznym i są opisami jednocząstkowymi (*) wszystkie one pracują z odpowiednio zdefiniowanymi, dodatnio określonymi prawdopodobieństwami (*) żaden nie był pomyślany by opisywać innego rodzaju korelacje niż wynikające np. z produkcji rezonansów lub zasad zachowania (energii-pędu, ładunków itp..) (*) każdy z nich prowadzi do pewnego wyobrażenia jaki jest czasoprzestrzenny rozwój procesu hadronizacji

Numeryczne modelowanie BEC : (*) problem: generatory przypadków typu Monte-Carlo są oparte na klasycznym opisie procesów stochastycznych i opierają się na dodatnio określonych prawdopodobieństwach BEC są ze swojej natury efektem kwantowo- mechanicznym jak generować efekty kwantowe przy pomocy klasycznego modelowania MC? (1) – zmieniać w odpowiedni sposób pędy cząstek otrzymanych z generatora MC (*) (2) – mnożyć każdy przypadek przez wagę zwiększającą w odpowiedni sposób udział przypadków prowadzących do BEC (**) (*) L.Lönblad, T.Sjöstrand, Eur.Phys.J. C2 (1998) 165; (**) K.Fiałkowski,R.Wit,J.Wosiek, Phys.Rev. D57 (1998)

Ad. (1): p1p1 p1p1 p 1 p 2 zgodnie z funkcją wagową f(q=QR); ( Q=|p 1 -p 2 | ) L.Lönblad, T.Sjöstrand, Eur.Phys.J. C2 (1998) 165

Ad. (2): przypadek (i) przypadek (j) waga: W(i) W (q=QR) waga: W(j) nowa statystyka: na jeden przypadek (i) bierzemy teraz W(j)/W(i) >1 przypadków (j) ponieważ są one bliższe oczekiwanemu przypadkowi zawierającemu BEC K.Fiałkowski,R.Wit,J.Wosiek, Phys.Rev. D57 (1998)

Problemy: (1) – wprowadza się niezachowanie energii-pędu, konieczne modyfikacje przywracające pierwotny bilans energetyczny (2) – nie można stosować do pojedynczych przypadków; pierwotny bilans energetyczny zachowany ale pierwotne rozkłady jednocząstkowe zmienione (1 i 2) – pojawia się dowolna funkcja wagowa f(q 1 =QR 1 ) dobierana tak by dostać dobre C 2 (q=QR)... może jednak modelować BEC?... Jeśli tak to jedynie w podejściu (2) czyli z cząstkami w celach ( E, p) T.Osada,M.Maruyama,F.Takagi, Phys.Rev.D59(1999)

Nasza propozycja numerycznego modelowania BEC tego typu: wymuszona zmiana rozkładu ładunków (*) generator MC daje nam w kolejnym przypadku: n=n (+) +n (-) +n (0) cząstek o pędach {p (i) } i położeniach {r (i) }: [{p (i) }; {r (i) }; {Q (i) }] (i=1,...,n) (*) szukany element kwantowo-mechaniczny to, na przykład, wprowadzenie pewnej niepewności pytanie: w czym? (*) jedyna możliwość nie zmieniająca ani czasoprzestrzennej ani pędowej struktury przypadku (ani krotności cząstek) to zmienić aktualne przyporządkowanie ładunków cząstkom w taki sposób aby uzyskać efekt skupiania się ładunków tego samego znaku w przestrzeni fazowej O.V.Utyuzh, G.Wilk, Z.Włodarczyk, Phys. Lett. B522 (2001) 273; APP. B33 (2002) 2681

Wymuszona zmiana początkowego rozkładu ładunków: nie ulegają zmianie początkowe rozkłady czaso-przestrzenne ani też krotności poszczególnych ładunków (+,-,0) Przykład: powiedzmy, że generator daje nam 6 66(18 cząstek) no BECBEC 18 cel jednocząstkowych 3 cele sześciocząstkowe

(*) Proponowany schemat wprowadzania BEC stosuje się na poziomie poszczególnych przypadków (*) Zachowane są: energia, pęd, krotność (+,-,0) i ich rozkłady oraz ładunki Zmianie ulega: pierwotne przyporządkowanie ładunków poszczególnym cząstkom (*) Nowe przyporządkowanie przeprowadza się dobierając do wybranej cząstki o ładunku Q kolejno najbliższe niej cząstki z pewnym prawdopodobieństwem P i czyniąc to do pierwszej porażki ten warunek zapewnia, że cząstki w każdej elementarnej celi będą mieć rozkład geometryczny a średnia liczba obsadzeń będzie wynosić n cell =P/(1-P) {exp[ ( -E)/T] – 1} -1 (*) Zmianie ulegną: rozkłady w rapidity oraz sposób kompensacji ładunku: ładunek jest teraz kompensowany globalnie a nie lokalnie.

Przykład przepływu ładunków w modelu hadronizacji CAS: korelacje BE nie pojawiają się (CAS – model kaskadowy: O.V.Utyuzh, G.Wilk, Z.Włodarczyk, PR D61 (2000) ) M M 1 + M 2 M 1 M 11 + M 12 M 2 M 21 + M 22 M (1,2) =r (1,2) M; r 1 +r 2 <1

Przepływ ładunków po narzuceniu efektu statystyki BE: powstały klastry o |Q|>1

Jak to można sobie wyobrazić w modelu LUND: tworzy się np. taki układ kolorowych dipoli zamiast standartowego układu Q=+1 Q=0... i podobnie będzie też w innych modelach... pojawią się obiekty (klastry?...) o Q>0...

N N

CAS: P(ij)=exp[-(1/2) (x i -x j ) 2 (p i -p j ) 2 ] MaxEnT: P(ij)=exp[-(p i -p j ) 2 /(2mT)] Q=|p i -p j |

(*) Efekt BEC pokazany tutaj zależy wyłącznie od : (i) (średniej) liczby cząstek tego samego ładunku tworzących pojedynczą celę w przestrzeni fazowej (ii) (średniej) liczby takich cel (*) To zależy od parametru P: - mniejsze P mniej cząstek w celi większa liczba cel mniejsze C 2 (Q=0) - stałe P (tyle samo cząstek w celi) energia rośnie więcej cel mniejsze C 2 (Q=0) (*) Wyraźna tendencja: większe wartości parametru P prowadzą do C 2 (Q=0)>2 - dlaczego? - tworzy się wtedy więcej cel zajmowanych przez więcej niż 2 cząstki (inaczej: dają o sobie znać BEC wyższych rzędów!) (*) rozmiar R jest raczej rozmiarem elementarnej celi a nie rozmiarem źródła emitującego hadrony ! (zależy słabo od )

M M1M1 M2M2 M1M1 M2M2 Źródło INDEP Źródło SPLIT Co można jeszcze zrobić? – np. źródło złożone z n l podźródeł cząstki pamiętają z którego cząstki nie pamiętają z którego podźródła pochodzą podżródła pochodzą (*) rozmiar R bez zmian (prawie...) (*)rozmiar R zwiększa się znacznie (*) maleje dramatycznie jak 1/n l (*) pozostaje bez zmian (prawie...) (e + e - W + W - hadrons) ?

split indep

Możliwe do uzyskania wyniki: -dane DELPHI -kod MC: kaskada opisana w Utyuzh et al. Phys. Rev. D61 (2000) i 3 źródła i stałe P

Podsumowanie: (*) zaproponowana metoda wymuszanej zmiany pierwotnego rozkładu ładunków łączy w sobie pewne cechy metody przesuwania pędów oraz metody ważenia przypadków ale nie narusza żadnych praw zachowania i nie zmienia pierwotnych rozkładów krotności (*) stosuje się do każdego przypadku z osobna wybierając dlań takie przyporządkowanie ładunków cząstkom, tzn. parom [x i,p i ], które prowadzi do maksymalnej klastryzacji cząstek o tych samych ładunkach w przestrzeni fazowej (*) zmienia powszechne wyobrażenie dotyczące znaczenia parametrów R i (?) (*) nie jest ona jednak prawdziwym modelowaniem BEC pracuje ona bowiem na wynikach jakiegoś generatora MC i nie ma wpływu na te wyniki a jedynie na modelowany przepływ ładunku (jak dotąd sprawdzono to tylko dla CAS, jest propozycja dla LUND ale nic ponadto, póki co są tylko plany... ); jest to typowy dopalacz (tylko, że ma znacznie lepsze uzasadnienie fizyczne...) (*) pokazuje, że BEC odpowiada za intermitencję (przynajmniej częściowo...) (*) nie ma jasności co robić z rezonansami i odziaływaniami w stanie końcowym (*) na pewno jest to warte dalszej pracy ale może jednak warto zacząć od podstaw

Nasza propozycja numerycznego modelowania BEC (*) zacząć budować generator MC nie od wyobrażeń jak wygląda proces produkcji (modele kaskady, hydro itp.) ale od lokowania poszczególnych identycznych cząstek w tych samych stanach pędowo-energetycznych, czyli od efektów kwantowych (*) na pierwszy plan wysuwa się pojęcie elementarnej celi w przestrzeni fazowej, z której emitowane są obserwowane cząstki (*) jej charakterystyki: krotność, krotność cząstek w celi, rozkład liczby cel P(N (cel) ) oraz ich rozkłady w przestrzeni fazowej dN (cel) /d 3 p będą decydować o kształcie mierzonego C 2 (Q)

Jak to można zrobić ? zobaczmy na przykładzie najprostszego algorytmu, który w sposób naturalny prowadzi do BEC (a po drodze również do szerokich rozkładów krotności oraz intermitencji ) [dla prostoty: E =(m p 2 ) - przypadek 1-wymiarowy...] To, iż coś podobnego może nieźle pracować można sprawdzić w pracy T.Osada,M.Maruyama,F.Takagi, Phys.Rev.D59(1999)

Choose particles one-by-one according to as long as energy allows choose randomly charge (+, -, 0) correct for E, p, and Q conservation - P(N)Poisson-like - C 2 (Q)= 1

as long as energy allows Choose (+, -, 0) pion from f(E) treat it not as independent particle but as a SEED for a cell of particles add to it particles of the same charge and four-momenta with probability P=const or P=P 0 f(E) until first failure correct for E, p, and Q conservation P = P(N cell ) P(n part ) C 2 (Q p 1 - p 2 ) = 1 + (p 1 - p 2 ) Negative-Binominal like

as long as energy allows Choose (+, -, 0) pion from f(E) treat it not as independent particle but as a SEED for a cell of particles add (with probability P until first failure) to it particles of the same charge and four- momenta p according to correct for E, p, and Q conservation P = P(N cell ) P(n part ) Negative-Binominal like C 2 (Q p 1 - p 2 ) = 1 + (p 1 - p 2 ) g

..... dygresja..... Taki sam wynik otrzymano wyprowadzając BEC w ramach formalizmu kwantowej teorii pola (QFT): G.A.Kozlov, O.V.Utyuzh, G.Wilk, Phys. Rev. C68 (2003) Ukr. J. Phys. 48 (2003) 1313 C 2 (Q=|p i -p j |) = 1 + 2p(1-p)·[ (q=RQ)] (1/2) + p 2 · (q=RQ); p=n (chaos) /n (total) gdzie (q) pojawia się w następujący sposób: (*) w QFT cząstki są reprezentowane przez operatory kreacji i anihilacji, które spełniają pewne reguły komutacyjne: [c(p i ),c+(p j )]= (p i -p j ) co odpowiada nieskończonemu źródłu (*) czasoprzestrzenną skończoność źródła wyraża się przez zastąpienie funkcji delta przez funkcję z maksimum dla Q=0 i ostro spadającą dla większych wartości Q: (p i -p j ) [ (q=RQ)] (1/2) (*) kształt (q=RQ) wyznaczają dane z BEC

Warte odnotowania: geometryczny rozkład w celi = prowadzi przy stałej liczbie cel k do rozkładu typu Negative Binomial dla takiego rozkładu liczby cel (K=maksymalna liczba cel) mamy Modified Negative Binomial r 1 =r 2 - /K; r 2 = -1

Wyniki dla różnych wartości temperatury T i wielkości celi C 2 (Q) Q

Przykład czułości na zasady zachowania energii-pędu

Przykłady otrzymywanych rozkładów krotności P(n ch ) i odpowiadających im momentów F q (intermitencji)

Co warto pamiętać: (*) funkcja rozkładu f(E), z której wybieramy cele wcale nie musi mieć postaci termicznej jak w przytoczonych przykładach, w zasadzie może to być dowolna funkcja energii (ona w zasadzie określa rozkłady energetyczne i rozkłady krotności) (*) funkcja wagowa akceptująca cząstki w danej celi musi mieć postać P(E)=P 0exp(-E/T)=exp[-(E- )T] bo tylko wtedy dostaniemy geometryczny rozkład cząstek w celi o =1/{exp[(E- )/T]-1}=P(E)/[1-P(E)] (*) otrzymane w ten sposób rozmiary odpowiadają długości korelacji, aby zacząć czuć rozmiar geometryczny źródła (celi?...) należy włączyć pędy poprzeczne (lub kąty)

k1k1 k2k2 k 1 =(E 1,0,0,p) k 2 =[E+ E,(p+ p)sin cos,(p+ p)sin sin,(p+ p)cos ] Dygresja: rozmiar źródła R i rozmiar korelacji (długość koherencji) L Q 2 = (k 1 -k 2 ) 2 = 2m 2 -2E(E+ E)+2p(p+ p)cos Q 2 ( Q 2 ) + ( Q 2 ) E 1/R 2 + 1/L 2 = 1/R 2 eff 1/R sin E p 1/L (czy raczej celi?)

Przykłady rozkładów w składowych Q – (1) (E=92 GeV; =10)

Przykłady rozkładów w składowych Q – (2)

Podsumowanie(1): BEC mówi nam w zasadzie nie tyle o źródłach co o emitujących celach..... (*) wspólna cecha obu podejść: praca z elementarnymi celami grupującymi cząstki tego samego ładunku podstawowe wielkości dla każdego przypadku: liczba cel: N cel i liczba cząstek w celi (*) obserwowane prawidłowości dla 1-dim: N cel rośnie/maleje ; stałe R stałe; maleje/rośnie N cel stałe ; rośnie/maleje R rośnie/maleje; stałe dla 3-dim: R i zależą głównie od wielkości cel (w przestrzeni pędów) (*) informację o czasoprzestrzennej strukturze przypadku powinny dać się odczytać (?...) z kształtu funkcji f(E) (dla rozkładu cel) i funkcji P(E) (dla rozkładu cząstek w celi)

Podsumowanie(2) - pytania: (*) Jak traktować rezonanse? Czy budować dla nich osobne cele czy też uważać, że cząstki z nich pochodzące nie podlegają statystyce BE (są koherentne...) ? (*) Czy (i jak) uwzględniać oddziaływania w stanie końcowym? Poprzez parametry szerokości cel? (*) Co ze strukturą czasoprzestrzenną hadronizacji, dostępną (o ile w ogóle...) tylko bardzo pośrednio? Co w naszym przypadku właściwie mierzą C 2 (Q) dla Q=Q long, Q side, Q out (i ewentualne inne kombinacje)? Deformacje cel zależne od zewnętrznych warunków hadronizacji?....