Zitterbewegung tajemniczy efekt równania Diraca Andrzej Horzela Zakład Astrofizyki Teoretycznej Instytut Fizyki Jądrowej im. Henryka Niewodniczańskiego Polskiej Akademii Nauk w Krakowie Seminarium IFJ PAN, 5 stycznia 2006

Zitterbewegung (w skrócie zbw) zittern - drżeć, drgać, trząść się ( także ze strachu, bądź z zimna) Bewegung – ruch Wersja anglojęzyczna - trembling motion – znaczenie jak wyżej, nie przyjęło się E. Schrödinger; Sitzungsb.Preuss.Akad. Wiss.Phys.Math.Kl.24(1930)418, Kl.3(1931)1 Wersja rodzima - drgawki, lub drżączka Schrödingera - też się nie przyjęło

Relatywistyczne równanie falowe cząstki o spinie 1/2 P.A.M. Dirac; Proc.Roy.Soc.Lond. A117 (1928) 610, A118 (1928) 351 Odkrycie Pierwsza udana próba pogodzenia idei mechaniki kwantowej i szczególnej teorii względności Wyjaśnienie spinu elektronu i, w konsekwencji, struktury subtelnej widma atomu wodoru. Poprawki przyniosła dopiero elektrodynamika kwantowa. Sformułowanie, na gruncie czystej spekulacji teoretycznej, hipotezy istnienia antycząstek – odkrycie pozytonu nastąpi w roku 1932 Obecnie Podstawa wszystkich modeli relatywistycznej kwantowej teorii pola – znane (i większość domniemanych) pola materii są polami fermionowymi o spinie ½, czyli polami podlegającymi równaniu Diraca.

STW i fizyka kwantowa – nierozłączne od 1905 „W swoim życiu sto razy więcej myślałem o fizyce kwantowej niż o teorii względności”

Cudowny rok Alberta Einsteina i 5 (a może 4, bądź 6) prac, które wstrząsnęły światem… 17 marca – „Heurystyczny punkt widzenia w odniesieniu do wytwarzania i transformacji światła”, opublikowana w Annalen der Physik 9 czerwca 30 kwietnia - „Nowe określenie rozmiarów molekuł”, przyjęta jako rozprawa doktorska przez Uniwersytet w Zurichu, promocja doktorska ma miejsce 15 stycznia 1906 11 maja – „O ruchu drobnych cząstek zawieszonych w cieczach stacjonarnych w świetle wymagań kinetycznej teorii ciepła”, opublikowana w Annalen der Physik 18 czerwca 30 czerwca – „O elektrodynamice ciał w ruchu”, opublikowana w Annalen der Physik 26 września 27 września – „Czy bezwładność ciała zależy od ilości zawartej w nim energii?”, opublikowana w Annalen der Physik 21 listopada 19 grudnia – „Ku teorii ruchów Browna”, opublikowana w Annalen der Physik w lutym 1906

20 lat później – Getynga i Cambridge Koniec czerwca 1925: „O kwantowo-teoretycznej reinterpretacji relacji kinematycznych i mechanicznych” W tej pracy - zwanej nieraz bardziej traktatem filozoficznym niż pracą z fizyki - Werner Heisenberg sformułował podstawy mechaniki kwantowej jako teorii w której używać należy wyłącznie pojęć odpowiadających wielkościom fizycznie mierzalnym i dla których należy zastąpić przemienne prawo mnożenia (klasycznych) funkcji zmiennych dynamicznych przez inne, nieprzemienne, prawo mnożenia – znaczy to, że algebra leżąca u podstaw fizyki kwantowej jest różna od algebry znanej z fizyki klasycznej.

Lipiec – wrzesień 1925: M. Born i P Lipiec – wrzesień 1925: M. Born i P. Jordan; „O mechanice kwantowej” – mnożenie Heisenberga to mnożenie macierzy, a wielkości fizycznie mierzalne to elementy macierzy hermitowskich. 25 lipca 1925 – Cambridge – referat Heisenberga zatytułowany „Termzoologie und Zeemanbotanik” w Klubie Kapicy, w rozmowach prywatnych Heisenberg opowiada o swojej nowej teorii, m.in. Robertowi Fowlerowi Początek września 1925 – Fowler otrzymuje od Heisenberga „szczotkę” jego pracy, doktorant Fowlera - Paul A. M. Dirac - dostaje ją jako lekturę.

Październik-listopad (16 Październik-listopad (16.11)1925 – powstaje „Dreimännerarbeit” – praca trzech: M. Born, W. Heisenberg, P. Jordan; „O mechanice kwantowej II” zawiera pełne sformułowanie tzw. mechaniki macierzowej Listopad (7.11) 1925 – „Podstawowe równania mechaniki kwantowej” – Dirac wyprowadza równania mechaniki macierzowej zastępując w równaniach klasycznego formalizmu kanonicznego nawiasy Poissona komutatorami i w ten sposób realizuje nowe prawo mnożenia zaproponowane przez Heisenberga. Dirac wprowadza rozróżnienie na przemienne c-liczby i nieprzemienne q-liczby.

Szwajcaria po raz drugi – okres Świąteczno-Noworoczny 1925/1926 Styczeń 1926 - Erwin Schrödinger; mechanika atomu to mechanika falowa oparta o koncepcję dualizmu korpuskularno-falowego de Broglie’a, zaś równania nowej mechaniki to równania różniczkowe typu równań własnych. Równanie Schrödingera daje wzór Balmera, ale - jak skonstruować jego relatywistyczne uogólnienie? - jak otrzymać widmo atomu wodoru opisujące strukturę subtelną?

Nieudane podejście – równanie Kleina-Gordona mechanika klasyczna mechanika relatywistyczna

Brak interpretacji jednocząstkowej - „czasowa”składowa prądu nie jest dodatnio określona w przeciwieństwie do „czasowej” składowej prądu z równania Schrödingera

Odkrycie Diraca Aby otrzymać równanie w którym występuje tylko pierwsza pochodna po czasie „zlinearyzujmy” relację bądź równanie Kleina-Gordona w taki sposób, aby otrzymać równanie pierwszego rzędu

co okazuje się być możliwe jeżeli wielkości nie są zwykłymi liczbami, lecz operatorami działającymi na funkcję i spełniającymi relacje oraz przemiennymi z p i E. Można je zrealizować jako 4-ro wymiarowe macierze zbudowane z macierzy Pauliego oraz macierzy jednostkowej Równanie to jest więc równaniem macierzowym, funkcja ma 4 składowe i w oczywisty sposób pojawia się pytanie jakie stopnie swobody opisują jego 4 liniowo niezależne rozwiązania .

Spin, antycząstki i coś jeszcze P.A.M. Dirac - Teoria elektronów i pozytonów, wykład noblowski, 12 grudnia 1933 Nowe zmienne które musieliśmy wprowadzić aby otrzymać relatywi- styczne równanie falowe liniowe w E prowadzą do spinu elektronu. Z ogólnych zasad mechaniki kwantowej łatwo jest wywnioskować, że nadają one elektronowi spinowy moment pędu równy połowie kwantu oraz moment magnetyczny równy jednemu magnetonowi Bohra i o kierunku przeciwnym do kierunku momentu pędu… …Jest jeszcze jedna cecha tych równań, którą chciałbym przedysku- tować, cecha prowadząca do przewidywania istnienia pozytonów… Równania te bowiem dopuszczają, aby energia kinetyczna E była wielkością dodatnią wiekszą od , bądź wielkością ujemną, mniejszą od … …Dopuszczając istnienie stanów o ujemnej energii teoria prowadzi do czegoś co wydaje się nie odpowiadać czemukolwiek znanemu z doświadczenia, ale czemuś czego nie możemy prosto odrzucić przyjmując nowe założenia. Musimy znaleźć jakieś znaczenie dla tych stanów… …Każdy niezajęty stan o ujemnej energii jest obserwowalny i jest to właśnie pozyton…

….Zmienne prowadzą także do innego, niespodzie- wanego zjawiska dotyczącego ruchu elektronu. Zagadnienie to zostało w całości rozpracowane przez Schrödingera. Okazuje się, że elektron, który wydaje się nam poruszać powoli, musi jednocześnie wykonywać drgania o wielkiej częstości i małej amplitudzie, nakładające się na regularny ruch, który obserwujemy. W rezultacie takich oscylacji prędkość elektronu w każdej chwili równa jest prędkości światła. Przewidywania tego nie możemy bezpośrednio sprawdzić doświadczalnie ponieważ częstość drgań jest bardzo wysoka, zaś amplituda bardzo mała. Ale musimy wierzyć w tę konsekwencję teorii, gdyż wszystkie inne jej konsekwencje, nierozłącznie z tą ostatnią związane, takie jak prawo rozpraszania światła przez elektron, są potwierdzone doświadczalnie… Owo niespodziewane zjawisko to właśnie Zitterbewegung!

Rok wcześniej – Schrödinger po raz drugi Równania ruchu obrazie Heisenberga zastosowane do operatora położenia ewolującego zgodnie z hamiltonianem Diraca dają prędkość oraz „przyśpieszenie”

Ponieważ wartości własne macierzy są równe więc w konsekwencji możliwe wartości prędkości muszą wynosić a na dodatek poruszający się bez oddziaływania elektron odczuwa przyśpieszenie! Równanie ewolucji dla operatora położenia daje się scałkować przy czym Ewolucja czasowa operatora położenia zawiera 3 człony – pierwsze dwa odpowiadają ruchowi jednostajnemu, podczas gdy trzeci opisuje drgania o amplitudzie , równej połowie długości fali Comptona elektronu oraz o charakterystycznej częstości

Jak to wszystko wytłumaczyć? Czy efekt Zitterbewegung jest wynikiem błędnej interpretacji wyniku bądź niezrozumienia treści przeprowadzonego rachunku, czy też – zgodnie ze słowami Diraca – musi on nieść jakąś głębszą treść zawartą w relatywistycznym równaniu falowym dla cząstki o spinie ½, równaniu w którym udało się połączyć podstawowe idee teorii względności i fizyki kwantowej?

Standardowa odpowiedź: Mówienie o relatywistycznej lokalizacji, czy też o relatywistycznym odpowiedniku nierelatywistycznego operatora położenia, nie ma sensu. Jakakolwiek próba lokalizacji cząstki w coraz to mniejszym obszarze przestrzennym generuje, z uwagi na zasadę Heisenberga, coraz to większą nieznaczoność pędu prowadzącą do nieoznaczoności energii wystarczają cej, aby zaczęły tworzyć się pary. Oznacza to, że załamuje się język opisu jednocząstkowego i musimy przejść do opisu w języku teorii pola, a tam problemu po prostu nie ma.

Czy w tak mocno brzmiącą odpowiedź można wątpić? A jeżeli można, to czy istnieje odpowiedź niestandardowa?

Czym jest w równaniu Diraca? Interpretacja jako „położenia ładunku” wydaje się nam logicznie nieunikniona, chyba, że przyjmiemy zasadę minimalnego sprzężenia jako wyłącznie narzędzie matematyczne, pozbawione jakiegokolwiek znaczenia fizycznego. Co więcej, to trójwektor położenia tworzy wraz z czasem 4-ro wektor o podstawowym znaczeniu w teorii relatywistycznej. Czy powinniśmy przypuścić, że współrzędne czasoprzestrzenne w języku których sformułowane jest równanie Diraca nie są, lub nie mogą być, bezpośrednio związane z wielkościami obserwowalnymi. Przecież gdyby tak było to dlaczego mielibyśmy przywiązywać znaczenie do transformacji Lorentza wiążących te wielkości? A.O. Barut, A.J. Bracken; 1981

Jakie są podstawowe cechy efektu Zitterbewegung? - identycznie tak samo, jak operatora położenia efekt ten dotyczy orbitalnego i spinowego momentu pędu. To z uwagi na Zitterbewegung żaden z tych krętów, charakteryzujących ruch elektronu, nie jest z osobna zachowany. Zachowany jest całkowity moment pędu ponieważ znak Zitterbewegung jest przeciwny dla krętu orbitalnego i spinu - efekt jest konsekwencją istnienia i uwzględnienia w rachunkach rozwiązań równania Diraca zawierających rozwiązania odpowiadające dwóm znakom energii – znika, gdy ograniczymy się do pakietów falowych o jednym znaku energii, ale takie pakiety falowe łamią zasadę przyczynowości – w początkowej chwili zlokalizowane rozpływają się z nieskończoną prędkością (efekt Hegerfeldta, 1974) - geometria tej części ruchu elektronu, która opisuje Zitterbewegung jest geometria nieprzemienną – traci w niej sens konwencjonalne pojęcie lokalizacji zaś własności operatora położenia są znacznie bliższe własnościom operatora momentu pędu niż własnościom standardowego operatora położenia

Równanie Diraca jest równaniem ewolucji w czasie, ale: - generator tej ewolucji, hamiltonian Diraca (choć bezpośrednio związany z energią) to przecież nie jest tożsamy z operatorem energii - operator pędu, będący generatorem translacji przestrzennych, czyli pędem kanonicznym, nawet w przypadku ruchu swobodnego nie może być zidentyfikowany z pędem mechanicznym wyrażonym przez prędkość - nie wiemy jakie są własności operatora położenia i dlatego powinniśmy zachować ostrożność przyjmując jakiekolwiek założenia

Alternatywne sformułowania hamiltonowskie mechaniki klasycznej Pytanie: Jaka ogólna postać hamiltonianu spełniającego równania współistnieje z równaniami Newtona postaci Odpowiedź: Taka, która spełnia równanie Co znaczy, jeżeli znajdziemy hamiltonian, który nie jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej???

Odwrotny problem rachunku wariacyjnego Czy, mając układ równań różniczkowych drugiego rzędu potrafimy znaleźc lagranzjan dla którego równania wariacyjne są równoważne równaniom Newtona? Jeżeli tak, to czy wybór lagranżjanu jest jednoznaczny? Jeżeli nie jest jednoznaczny, to jaka rodzina lagranżjanów prowadzi do tych samych równań Newtona ?

Ważne pytania Czy fakt istnienia różnych opisów lagranżowskich tego samego układu jest tylko matematyczną osobliwością (bądź niczemu nie służącym dziwactwem) czy też może mieć poważniejsze znaczenia dla naszego zrozumienia rzeczywistości? W szczególności: Jakie jest znaczenie twierdzenia Noether w przypadku, gdy mamy wiele lagranżjanów? W jaki sposób istotnie różne lagranżjany prowadzą do istotnie różnych sformułowań hamiltonowskich tego samego problemu? W jaki sposób ten sam klasyczny opis układu fizycznego może, poprzez różne opisy lagranżowskie, prowadzić do różnych opisów kwantowych?

Energia i hamiltonian Prawo zachowania energii danej przez wymaga, by Jest to warunek spójności dla spełniającego też przy czym jest funkcją hamiltonianu spełniającą Stąd:

Niestandardowe nawiasy Poissona Wybór zmienia relację pomiędzy energią i hamiltonianem postać nawiasów Poissona Nowe nawiasy Poissona to Standardowe i nowe nawiasy Poissona generują strukturę bihamiltonowską

Tropem Wignera Zapomnijmy o klasycznym hamiltonianie i pójdźmy za sugestią Wignera (E.P. Wigner, Phys. Rev. 77 (1950) 711) to avoid using Hamiltonian theory aby znaleźć możliwe ogólne kwantowo-mechaniczne relacje przemienności, które coexist with the equations of motion (and symmetry principles).

Rozważamy punkt materialny o masie m, na który działa siła f i którego równania ewolucji Heisenberga mają postać Z powyższego otrzymujemy Para kanoniczna p, x oraz siła typu siły Lorenza spełniają te równania. Istnieje wszakże inne rozwiązanie...

Podstawowe reguły przemienności mogą zależeć od dynamiki Tożsamość Jacobiego dla trójki daje Niekanoniczności są ze sobą powiązane – czy jest to cień nieprzemienności współrzędnych???

Niekanoniczny oscylator – czy istnieje? Przykład z rozwiązaniem – opis niekanonicznego oscylatora kwantowego Możemy zrealizować jako reprezentację algebry so(2,1) – te bowiem strukturę ma zbiór złożony z równań ruchu oraz niekanonicznej reguły przemienności współrzędnej i prędkości W tzw. reprezentacji Baruta – Girardello algebry so(2,1) można coś policzyć:

Opis algebraiczny trójwymiarowego nierelatywistycznego niekanonicznego oscylatora harmonicznego jest dla współrzędnej ruchu względnego identyczny z opisem algebraicznym efektu Zitterbewegung – utrzymanie struktury algebry Liego wymaga przy tym, aby opis algebraiczny ruchu środka masy był kanoniczny, co w konsekwencji prowadzi do nieprzemienności zarówno składowych operatora położenia, jak i operatora prędkości.

Stworzona przez Alain Connes’a nieprzemienna geometria jest zbiorem narzędzi i metod, które umożliwiają klasyfikację i analizę szerokiej klasy obiektów pozostających dotychczas poza zasięgiem metod klasycznych… Mogą one być użyte we wielu działach matematyki, kwantowania oraz teorii cząstek elementarnych i pól…

Czy trzeba przyzwyczaić się do myślenia o nieprzemienności składowych operatora położenia? Jeżeli niekanoniczne kwantowe relacje przemienności mają znaczenia dla fizyki to: nieprzemienność ta pojawia się, w różnych postaciach, we wszystkich rozważanych dotychczas podejściach do niekanonicznego kwantowania: deformacjach opisywanych algebrami Lie bądź grupami kwantowymi oraz w tzw. parastatystykach. nieprzemienności składowych operatora położenia nie należy traktować jako niczym nieuzasadnionej komplikacji pięknego i efektywnego kanonicznego formalizmu fizyki kwantowej – bez wątpienia jest to istotna komplikacja, tak koncepcyjna, jak i rachunkowa, jednakowoż pojawiająca się jako alternatywne rozwiązanie problemów standardowych, zgodne z zasadami podstawowymi nieprzemienność składowych operatora położenia pojawiająca się w efekcie Zitterbewegung i w nierelatywistycznym niekanonicznym oscylatorze harmonicznym skwantowanym w duchu idei Wignera może sugerować, że podstawą tego efektu i problemów z pojęciem relatywistycznej lokalizacji nie są efekty szczególnej teorii względności, lecz odejście od formalizmu kanonicznego fizyki kwantowej

Czy sądzicie, że mogę to wytłumaczyć tak, abyście zrozumieli Czy sądzicie, że mogę to wytłumaczyć tak, abyście zrozumieli? Nie, nie zdołacie zrozumieć. Po cóż zatem moje próby? Po cóż tu siedzicie, skoro nie ma szans, abyście zrozumieli. Zadaniem moim będzie przekonać Was, abyście nie rezygnowali ze słuchania, mimo, że nie rozumiecie. Nie rozumieją tego moi studenci fizyki. Sam tego nie rozumiem. Nikt tego nie rozumie. (R.P.Feynman,QED,1985)