Metody wnioskowania na podstawie podprób Maria Czogała

METODA BOOTSTRAP

Załóżmy, że badamy populację ze względu na zmienną losową X o nieznanym rozkładzie F. Niech będzie próbą prostą wylosowaną z tej zbiorowości - realizacją próby x, oraz - pewną statystyką określoną na przestrzeni prób. - niech będzie estymatorem tego parametru.

Definicja: Próbą bootstrapową nazywamy wektor losowy taki, że dla są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie F oraz m jest ustaloną liczbą naturalną.

W celu otrzymania realizacji próby bootstrap dokonuje się n-krotnego losowania ze zwracaniem spośród elementów oryginalnej próby. Ponieważ cała operacja przeprowadzana jest w oparciu związana jest jedynie z losowymi wyborami pewnego w każdym z n ciągnięć. o ustalone wartości więc losowość w próbie elementu spośród Zaobserwowaną realizację traktujemy jako populację, z której czerpiemy proste próby losowe.

Definicja: Bootstrapowym estymatorem parametru zmiennej losowej X jest statystyka postaci: rozkładu gdzie: N- pewna ustalona liczba naturalna dla , przy czym to k-ta próba bootstrapowa.

Metody bootstrapowe umożliwiają również estymację przedziałową nieznanego parametru Znanych i wykorzystywanych jest wiele podejść do tego zagadnienia. W tej pracy zaprezentuję metodę wyznaczania przedziałów ufności dla parametru z wykorzystaniem metody percentyli. rozkładu zmiennej losowej X

Jeżeli to bootstrapową aproksymacją rozkładu statystyki jest estymatorem parametru stanowi rozkład statystyki postaci: gdzie: jest próbą bootstrapową odpowiadającą próbie losowej Rozkład ten jest wykorzystywany do budowy przedziału ufności dla parametru

Wyznaczamy percentyle rozkładu empirycznego zmiennej losowej otrzymanego w wyniku generowania N razy n-elementowych ciągów. Percentylem rzędu uporządkowanych niemalejąco, pod warunkiem, że , gdzie , jest wartość zajmująca pozycję o numerze w ciągu wartości jest liczbą całkowitą.

Jeżeli albo nie jest liczbą całkowitą, to percentylem jest wartość występująca na pozycji o numerze Przedziałem ufności dla parametru percentyli przy wiarygodności jest przedział postaci: otrzymanym metodą gdzie: są percentylami rzędu, odpowiednio rozkładu empirycznego statystyki wyznaczonego na podstawie wygenerowanych wartości.

METODA JACKKNIFE

Niech S będzie próbą n- elementową oraz niech estymatorem parametru Metoda Jackknife pozwala oszacować wariancję tego estymatora oraz podaje konstrukcję estymatora redukującego obciążenie wyjściowego estymatora rzędu

Próbę S dzielimy losowo na G zależnych grup o równych liczebnościach, a następnie dla każdej grupy obliczamy estymator parametru według tej samej reguły funkcyjnej co ale bazujący na obserwacjach nie należących do grupy. Następnie dla każdej grupy wyznaczamy: Wartości nazywamy pseudowartościami.

Definicja: Funkcję nazywamy estymatorem Jackknife

Wariancję Jackknife można określić na dwa sposoby:

Dziękuję za uwagę Maria Czogała