Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

„Żadne drzewo nie rośnie bez korzeni, podobnie i ludzie więdną bez rozsądku.” Tales z Miletu

TWIERDZENIE O PROSTYCH PRZECINAJĄCYCH SIĘ PRZECIĘTYCH PROSTYMI RÓWNOLEGŁYMI. TWIERDZENIE ODWROTNE DO TWIERDZENIA TALESA. Oba twierdzenia wymienione w temacie tej lekcji wynikają bezpośrednio z twierdzenia Talesa. Pierwsze z nich obrazuje trochę inne, ogólniejsze podejście do twierdzenia Talesa a drugie, jak mówi sama nazwa, jest twierdzeniem do niego odwrotnym.

TWIERDZENIE O PROSTYCH PRZECINAJĄCYCH SIĘ PRZECIĘTYCH PROSTYMI RÓWNOLEGŁYMI. Jeżeli dwie proste przecinające się przecięte są prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone na jednej prostej są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugiej prostej.

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 1. Oblicz długość odcinka oznaczoną jako x. Na podstawie twierdzenia o prostych przecinających się przeciętych prostymi równoległymi układamy proporcje i rozwiązujemy ją. 2 ∙ x = 3 ∙ 4 2x = 12 |: 2 x = 6

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 2. Oblicz długość odcinka oznaczoną jako x. Układamy i rozwiązujemy odpowiednią proporcję: 15 ∙ x = 60 ∙ 12 15x = 720 | :15 x = 48

TWIERDZENIE ODWROTNE DO TWIERDZENIA TALESA. Jeżeli ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi i odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu, to proste te są równoległe.

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 1. Czy proste k i l są równoległe? Sprawdzamy czy odpowiednie odcinki są proporcjonalne. A więc proste k i l są równoległe.

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 2. Czy proste k, l i m są równoległe? Sprawdzamy czy odpowiednie odcinki są proporcjonalne. Pierwszy ułamek wystarczy skrócić przez 2 a drugi rozszerzyć przez 2 aby otrzymać ostatni ułamek, a więc proste k, l i m są równoległe.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1. Oblicz x i y jeżeli wiadomo, że x + y = 27. Należy zbudować odpowiedni układ równań. Pierwsze równanie już mamy: x + y = 27. Drugie równanie otrzymamy z proporcji: 8y = 10x

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1 – ciąg dalszy. Otrzymujemy układ równań, który rozwiązujemy metodą przeciwnych współczynników. 18y = 270 |: 18 y = 15 x + 15 = 27 x = 27 – 15 x = 12

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2. Korzystając z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa uzasadnij, że dla dowolnego trójkąta ABC odcinek łączący środki boków AC i BC jest równoległy do boku AB. Uzasadnij, że odcinek ten jest dwa razy krótszy od boku AB. Zaczniemy od wykonania rysunku przedstawiającego sytuację z zadania.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2 – ciąg dalszy. Mamy: |AD| = |DC| = 0,5|AC|, |BE| = |EC| = 0,5|BC|, a więc: - na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa odcinki AB i DE są równoległe.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2 – ciąg dalszy. Udowodniliśmy już, że odcinki DE i AB są równoległe, możemy więc teraz skorzystać z twierdzenia Talesa. |DC| = 0,5|AC| Z twierdzenia Talesa wynika proporcja: 0,5|AB||AC| = |DE||AC| /: |AC| 0,5|AB| = |DE| - długość odcinka DE jest równa połowie odcinka AB.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 3. Wykaż, że odcinki łączące środki kolejnych boków dowolnego czworokąta tworzą równoległobok. Zaczynamy od rysunku: Na rysunku zaznaczyliśmy przerywanymi liniami przekątne czworokąta ABCD. Przyjrzyjmy się trójkątom ABD i BCD. Spełniają one warunki poprzedniego zadania a więc możemy skorzystać z jego wyników.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 3 – ciąg dalszy. W oparciu o zadanie 2 stwierdzamy, że odcinek EF jest równoległy do odcinka BD i ma długość 0,5|BD|. Analogicznie odcinek GH jest równoległy do odcinka BD i ma długość 0,5|BD|. Skoro odcinki EF i GH są równoległe do tego samego odcinka (BD) są też równoległe do siebie, mają także jednakową długość (0,5 |BD|). Powtarzając rozumowanie dla trójkątów ABC i ACD udowadniamy, że czworokąt EFGH jest równoległobokiem.

TWIERDZENIE O ODCINKU ŁĄCZĄCYM ŚRODKI BOKÓW TRÓJKĄTA. Zadanie 2, to tak naprawdę dowód twierdzenia, które możemy sformułować następująco: Odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku, a jego długość jest równa połowie długości tego boku. |DE| = 0,5|AB|

TWIERDZENIE O LINI ŚRODKOWEJ TRAPEZU. Dowód tego twierdzenia jest podobny do dowodu twierdzenia poprzedniego - spróbuj udowodnić je samodzielnie. Odcinek łączący środki boków AD i BC trapezu ABCD (AB || CD) jest równoległy do podstaw i jego długość jest równa połowie sumy długości podstaw. |EF| = 0,5(|AB| + |CD|)