Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

OKRĄG WPISANY W TRÓJKĄT 2

wpisać okrąg – dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta W każdy trójkąt można wpisać okrąg – dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. S Związki pomiędzy polem trójkąta, długościami jego boków oraz długością promienia koła wpisanego w ten trójkąt: r – promień okręgu wpisanego a,b,c – długości boków trójkąta

W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a i b oraz przeciwprostokątnej c wpiszemy okrąg o promieniu r. Narysowane promienie są prostopadłe do boków trójkąta; otrzymane trójkąty prostokątne są przystające – stąd oznaczenia długości odpowiednich odcinków na poniższym rysunku. c = a – r + b - r c = a + b - 2r b-r b-r c S a-r r r a-r

Oblicz promień i pole koła wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 60 i 80. Rozwiązanie: Obliczamy długość przeciwprostokątnej korzystając z twierdzenia Pitagorasa. 602+802=c2 3600+6400=c2 10000=c2 c=100 c 80 60

Na długość przeciwprostokątnej składają się dwa odcinki o odpowiednich długościach: 80-r oraz 60-r dlatego możemy zapisać: 80-r+60-r=100 80-r+60-r=100 -2r=100-80-60 -2r=-40 r=20 P=π∙202 P=π∙400 P=400π Odp.: Promień koła wynosi 20, a jego pole 400π. 80-r 80-r 60-r r r 60-r

Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt o bokach 3 i 5 oraz kącie między nimi równym 60˚. Dane: a=3 b=5 α=60˚ Zaczniemy od obliczenia pola tego trójkąta – wykorzystamy wzór:

Wykorzystując twierdzenie cosinusów obliczamy długość nieznanego boku c. Odp: Długość promienia okręgu równa się:

Oblicz promień i pole koła wpisanego w trójkąt równoramienny o podstawie 12 i ramieniu 10. Rysując wysokość w trójkącie równoramiennym otrzymujemy dwa trójkąty prostokątne. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość wysokości potrzebną do obliczenia pola powierzchni trójkąta. h2+62=102 h2+36=100 h2=100-36 h2=64 h=8 P=½ah P=½∙12∙8 P=6∙8 P=48 10 10 6 6

Odp.: Promień koła wynosi 3, a jego pole 9π.

W trójkąt równoramienny o kącie przy podstawie α=30˚ wpisano koło o promieniu 3. Oblicz pole koła, długości boków trójkąta. Dane: r=3 α=30˚ Jeżeli miary kątów w trójkącie prostokątnym to 30˚ i 60˚ to zachodzą odpowiednie warunki dotyczące długości boków trójkąta – oznaczenia na rysunku: 2x 2x x x√3 x√3

lub Odp.: Długości boków trójkąta wynoszą: , i

Ćw.5. Oblicz pole koła wpisanego w trójkąt równoboczny o boku 6cm. Dane: a=6cm Szukane: P Odp.: Promień koła wynosi cm, a jego pole 3π cm2.

Ćw.6. Oblicz długość promienia i pole koła wpisanego w trójkąt o bokach długości 6,8 i 10. Trójkąt o podanych wyżej bokach jest prostokątny. Rozwiążemy zadanie innym sposobem. Obliczamy pole trójkąta wykorzystując wzór Herona: p – obwód p = 6 + 8 + 10 = 24

Odp.: Promień koła wynosi , a jego pole 672π.

Ćw.7. Oblicz pole trójkąta prostokątnego mając daną długość r = 2 promienia koła wpisanego w ten trójkąt i przyprostokątną długości 10. Dane: r=2 a=10 8 8 x 2 x 2

Odp.: Pole trójkąta prostokątnego wynosi .

Ćw.8. Oblicz pole trójkąta równobocznego, w którym pole koła wpisanego wynosi 16π. Dane: P=16π Szukane: P

Odp.: Pole trójkąta równobocznego wynosi .