Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

„Matematyka jest miarą wszystkiego.” Arystoteles

NIERÓWNOŚCI Nie wszystkie zadania da się rozwiązać za pomocą równań. Czasem spotykamy się z sytuacjami, w których należy określić pewną granicę powyżej, lub poniżej której dopuszczamy wartości. Np. ile dorosłych osób ważących średnio 80 kg może jechać windą o dopuszczalnej ładowności 800 kg. Taką windą może jechać jedna, dwie osoby, może nią jechać 10 osób ale 11 to już za dużo. Do rozwiązywania tego typu problemów służą nierówności.

CZYM SĄ NIERÓWNOŚCI? Nierównością nazywamy dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem nierówności (< ; > ;  ; ) Przykłady nierówności stopnia pierwszego z jedną niewiadomą: 3x + 4 > 2 2x – 7 < 5x + 1 43x  1,2 3  2x + 0,5

ROZWIĄZANIE NIERÓWNOŚCI. Liczba spełnia nierówność, jeżeli po jej podstawieniu za niewiadomą i wykonaniu działań otrzymamy nierówność prawdziwą. Np. Liczba 2 spełnia nierówność 2x + 3 < 11, gdyż 2 ∙ 2 + 3 = 7, mamy więc 7 < 11 czyli nierówność jest prawdziwa. Rozwiązaniem nierówności nazywamy każdą liczbę spełniającą nierówność. Nierówność uważamy za rozwiązaną, jeżeli umiemy określić zbiór wszystkich jej rozwiązań.

ROZWIĄZANIE NIERÓWNOŚCI. Wszystkie liczby spełniające daną nierówność (zbiór rozwiązań nierówności) można przedstawić na osi liczbowej. Np. x > -1 x  -1 x < -1 x  -1 Zwróć uwagę na „kółeczka”. Dla nierówności ostrych (< ; >) jest ono otwarte; dla nierówności nieostrych ( ; ) jest no zamalowane. Kółeczko otwarte oznacza, że dana liczba nie znajduje się w zbiorze rozwiązań nierówności, natomiast zamalowane oznacza, że dana liczba też należy do zbioru rozwiązań nierówności

JAK ROZWIĄZAĆ NIERÓWNOŚĆ. Rozwiązując nierówność postępujemy podobnie jak przy rozwiązywaniu równania metodą równań równoważnych, należy jednak pamiętać o jednej ważnej zasadzie: Mnożąc lub dzieląc obie strony nierówności przez liczbę ujemną musimy zmienić zwrot nierówności na przeciwny.

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 1. Rozwiąż nierówność: 3x + 4 < 16 Od obu stron nierówności odejmujemy 4 Obie strony nierówności dzielimy przez 3. Dzielimy przez liczbę dodatnią więc zwrot nierówności pozostaje niezmieniony. Rozwiązanie nierówności

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 2. Rozwiąż nierówność: -3x + 4 < 16 Od obu stron nierówności odejmujemy 4 Obie strony nierówności dzielimy przez -3. Dzielimy przez liczbę ujemną więc zwrot nierówności zmieniamy na przeciwny Rozwiązanie nierówności

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 3. Rozwiąż nierówność: 3(x – 9) – 4 ∙ 2(3x – 1)  0 3x – 27 - 24x + 8  0 3x – 24x  -8 + 27 -21x  19 | : (-21) x  Obie strony nierówności mnożymy przez 12. Zwrot nierówności bez zmian. Mnożymy wyrażenia w nawiasach. Przenosimy liczby na drugą stronę nierówności zmieniając ich znak na przeciwny. Obie strony nierówności dzielimy przez -21. Zwrot nierówności zmieniamy na przeciwny. Rozwiązanie nierówności

SZCZEGÓLNE PRZYPADKI NIERÓWNOŚCI. Nie zawszę zbiór rozwiązań nierówności da się przedstawić na osi liczbowej. Podobnie jak w przypadku równań istnieją nierówności, które nie mają rozwiązań oraz takie, które spełnia każda liczba. Przykład nierówności, której nie spełnia żadna liczba: 2x – 1 > 2x Przykład nierówności, którą spełnia każda liczba: 2x + 1 > 2x

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1. Zapisz za pomocą nierówności zaznaczony zbiór rozwiązań. Kółko przy 300 jest zamalowane, więc nierówność musi być nieostra, strzałka oznaczająca zbiór rozwiązań jest skierowana w lewo, więc musimy użyć symbolu „mniejszy lub równy”: x  300

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2. Na podstawie tekstu zapisz odpowiednią nierówność: Jajka kosztowały po x zł za sztukę. Przed Wielkanocą podrożały o 10 groszy i za 6 sztuk płaciło się więcej niż przedtem za 8. 8x – cena ośmiu jajek przed podwyżką (x + 0,1) – cena jajek po podwyżce 6(x + 0,1) – cena sześciu jajek po podwyżce Szukana nierówność: 8x < 6(x + 0,1)

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 3. Jaka jest najmniejsza liczba całkowita spełniająca nierówność -x + 4 > -3(x -1) Rozwiązujemy nierówność: -x + 4 > -3(x -1) -x + 4 > -3x + 3 -x + 3x > 3 – 4 2x > -1 | : 2 x > -0,5 Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą tą nierówność jest 0.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 4. Wskaż wszystkie liczby całkowite spełniające jednocześnie nierówność 6x + 2  -4 oraz -5x – 23  -28. Rozwiązujemy obie nierówności: 6x + 2  -4 | -2 -5x – 23  -28 | +23 6x  -6 | : 6 -5x  -5 | : -5 x  -1 x  1 Zaznaczamy wspólną część obu rozwiązań na osi liczbowej. Liczby całkowite spełniające jednocześnie obie nierówności to: -1; 0; 1.