DYNAMIKA WÓD PODZIEMNYCH Wykład nr 10 OCHRONA WÓD PODZIEMNYCH DYNAMIKA WÓD PODZIEMNYCH 1.Liniowe prawo filtracji – prawo Darcy’ego 2.Zakres ważności prawa Darcy’ego Na podstawie podręcznika „HYDROGEOLOGIA z podstawami geologii”, Jerzy KOWALSKI, WUP, Wrocław 2007 OPRACOWAŁ dr hab.inż.Wojciech Chmielowski prof.PK Instytut Inżynierii i Gospodarki Wodnej Zakład Gospodarki Wodnej, PK

Spadek hydrauliczny w ośrodku nasyconym Siłami czynnymi wywołującymi ruch cieczy są siłą ciężkości i siłą ciśnienia. Energia masy strumienia w dowolnym przekroju wynosi:

Jeżeli podzielimy poprzednie równanie przez Mg możemy energie jednostki masy wyrazić wysokością słupa cieczy określającą potencjał elementu wody, którą nazywamy wysokością piezometryczną h

Transport masy cieczy z przekroju „A” do przekroju „B” związany jest z wykonaniem pracy potrzebnej na pokonanie sił oporu ruchu. Na wykonanie tej pracy zużyta zostaje część potencjału strumienia „dh” W przypadku przepływu filtracyjnego prędkość przepływu i wynikająca z niej energia kinetyczna jest w porównaniu z energią potencjalną bardzo mała i może być pominięta.

W rezultacie równanie bilansu energii (równanie Bernoulliego ) można zapisać w postaci:

gradientem hydraulicznym Stosunek przyrostu wysokości piezometrycznej „dh” do długości przebytej drogi „dl” nazywamy spadkiem hydraulicznym lub gradientem hydraulicznym

Prawo Darcy’ego Aparat filtracyjny Darcy’ego

Na podstawie badań laboratoryjnych przeprowadzonych w pionowym cylindrze wypełnionym piaskiem Darcy ( 1856) stwierdził, że natężenie przepływu Q jest: proporcjonalne do powierzchni przekroju przepływu i różnicy wysokości piezometrycznej, a odwrotnie proporcjonalne do długości przepływu.

Współczynnik proporcjonalności „k” nazywamy współczynnikiem filtracji. Uwzględniając że można zapisać Prędkość określona wzorem nazywa się prędkością filtracji (przesączania), a ze wzoru wynika , iż jest ona liniowo zależna od spadku hydraulicznego, stąd prawo Darcy’go nazywa się liniowym prawem filtracji.

Współczynnik filtracji charakteryzuje zdolność przesączania wody będącej w ruchu laminarnym przez skały porowate i jest miarą przepuszczalności hydraulicznej skał (gruntów). Przesączanie odbywa się siecią kanalików utworzonych z porów gruntowych. Grunt stawia opór przesączającej się wodzie, opór ten i współczynnik filtracji zależy od właściwości gruntu: rodzaju ośrodka gruntowego porowatości uziarnienia struktury gruntu właściwości filtrującej cieczy – lepkości. Współczynnik filtracji jest miarą przepuszczalności wyłącznie dla wody i nie powinno się go stosować w przypadku innych płynów, do których odnosi się współcześnie stosowana wersja formuły Darcy'ego.

Jaka jest różnica wysokości piezometrycznych , jeżeli: 1. Prędkość filtracji = 0,005[m/s], 2. Współczynnik filtracji = 0,5[m/s] 3. Długość przepływu wody =0,5[m] http://www.ar.krakow.pl/~pbaran/Text/Wspolczynnik_filtracji.pdf

Analityczne wyprowadzenie Prawa Darcy’ego Fragment gruntu we współrzędnych cylindrycznych (z,r)

Prawo Darcy’ego wyraża zasadę równowagi sił działających na ciecz przy jej przepływie przez ośrodek. Na ciecz wypełniającą pory elementu objętości ośrodka porowatego działają wzdłuż dowolnego kierunku „r” następujące siły:

1. składowa siły ciężkości: 2. różnica sił ciśnienia porowego w przeciwległych powierzchniach elementu prostopadłych do kierunku „r” 3. siły oporu ruchu wynikające z tarcia laminarnego. Przyjmujemy, że siła ta jest proporcjonalna do objętości cieczy i prędkości filtracji

Warunek równowagi sił ma postać: Rozwijając w szereg Taylora wyrażenie oraz uwzględniając otrzymujemy

Odpowiada współczynnikowi proporcjonalności „k” (współczynnik filtracji). Odpowiada wysokości piezometrycznej „h” W konsekwencji otrzymamy wzór identyczny do wzoru otrzymanego prze Darcy’ego w drodze eksperymentu

Współczynnik „kr” oznacza współczynnik filtracji na kierunku „r”. Z zależności wynika ,że współczynnik filtracji zależy od właściwości ośrodka określonych przez współczynnik oporu „Cr” oraz od lepkości cieczy. Odwrotność współczynnika oporu nazywamy współczynnikiem przepuszczalności

Między współczynnikiem filtracji a przepuszczalności zachodzi zależność : Współczynnik filtracji ma wymiar prędkości, współczynnik przepuszczalności wymiar powierzchni. W praktyce za jednostkę współczynnika przepuszczalności przyjmuje się 1 darcy (D) =0,987 *10-8 cm2 W prostokątnym układzie współrzędnych składowe prędkości w kierunkach x,y,z wynoszą:

Powyżej założono, że ośrodek jest jednorodny ( homogeniczny), co oznacza ,że wzdłuż dowolnego kierunku wartość współczynnika filtracji jest stała. Dla ośrodka niejednorodnego ( we współrzędnych cylindrycznych) Kierunek przepływu pokrywa się z linią największego spadku hydraulicznego, a prędkość filtracji wynosi :

Zakres ważności Prawa Darcy’ego Przy wyprowadzaniu wzoru Darcy’ego w równaniu równowagi sił jako siłę oporu ruchu uwzględniono siły tarcia laminarnego, wynikające z lepkości cieczy. Oznacza to, że prawo Darcy’ego traci swoją ważność wszędzie tam , gdzie poza tarciem laminarnym występują dodatkowe siły oporu , w szczególności siły powierzchniowe ( molekularne), bezwładności oraz tarcia burzliwego.

DYNAMIKA WÓD PODZIEMNYCH Wykład nr 10 OCHRONA WÓD PODZIEMNYCH DYNAMIKA WÓD PODZIEMNYCH 1.Liniowe prawo filtracji – prawo Darcy’ego 2.Zakres ważności prawa Darcy’ego Na podstawie podręcznika „HYDROGEOLOGIA z podstawami geologii”, Jerzy KOWALSKI, WUP, Wrocław 2007 OPRACOWAŁ dr hab.inż.Wojciech Chmielowski prof.PK Instytut Inżynierii i Gospodarki Wodnej Zakład Gospodarki Wodnej, PK