Modelowanie i symulacja WYKŁAD 4

Przykłady ODE - odsetki Oprocentowanie konta Kwota na koncie: S(t) Kwota początkowa: S0 Różne schematy naliczania odsetek: codziennie, co miesiąc, co rok, odsetki są kapitalizowane, lub nie

Przykłady ODE - odsetki Jeśli np. schemat co rok, z kapitalizacją, to po pierwszym roku: po drugim roku: Ogólnie, po t latach:

Przykłady ODE - odsetki Przyrost kapitału (100 złotych na początku, 4% w skali roku) Milion po 294 latach!

Przykłady ODE - odsetki

Przykłady ODE - odsetki Schemat z naliczaniem odsetek co miesiąc, z kapitalizacją. Po miesiącu: po dwóch miesiącach: po t latach:

Przykłady ODE - odsetki Przyrost kapitału (100 złotych na początku, 4% w skali roku) Milion już po 290 latach!

Przykłady ODE - odsetki Ogólniej, przy naliczaniu odsetek m razy w roku:

Przykłady ODE - odsetki Załóżmy „ciągły” model naliczania odsetek – odsetki są naliczane co Zmianę kapitału można opisać za pomocą równania różniczkowego. Zapisując równanie różniczkowe nie staramy się opisać bezwzględnej wartości kwoty po pewnym czasie, a tylko zmianę wartości w ciągu

Przykłady ODE - odsetki Przyrost kapitału w Δt: (r to procentowy przyrost na jednostkę czasu, jeśli w czasie Δt nie zmieni się, to procentowy przyrost w tym czasie: rΔt)

Przykłady ODE - odsetki

Przykłady ODE - odsetki Otrzymane równanie: jest w postaci normalnej:

Przykłady ODE - odsetki Normalna ścieżka rozwiązywania na naszych zajęciach – przekazanie równania do systemu numerycznego rozwiązywania (MATLAB, ode45) Można jednak rozwiązać także symbolicznie:

Przykłady ODE - odsetki Rozwiązanie symboliczne

Przykłady ODE - odsetki

Przykłady ODE - odsetki Pole kierunkowe

Przykłady ODE - odsetki Równania różniczkowe określają relacje względne – przyrosty (gradienty) zależne od wartości zmiennych stanu – obrazuje to pole kierunkowe Rozwiązanie równań różniczkowych, to znalezienie takiej krzywej (trajektorii), która w każdym punkcie „pasuje” do pola kierunkowego – jej pochodna jest zgodna z pochodną określoną przez równania różniczkowe Konkretny przebieg trajektorii zależy od wartości początkowych zmiennych stanu

Przykłady ODE - odsetki Opis zjawiska można komplikować Np. można uwzględnić stały ubytek kapitału (regularne wypłaty): Nie komplikuje to bardzo zapisu równania różniczkowego (nadal postać normalna), nieco komplikuje rozwiązanie symboliczne:

Przykłady ODE - odsetki Można założyć oprocentowanie i wypłaty zmienne w czasie. Wtedy opis różniczkowy: np.:

Przykłady ODE - odsetki Rozwiązanie numeryczne takiego problemu nie nastręcza żadnych dodatkowych trudności – nadal mamy równanie w postaci normalnej Rozwiązanie symboliczne może już być kłopotliwe, zależnie od postaci r(t), k(t)

Przykłady ODE - populacja Zupełnie to samo prawo rozrostu populacji, nazywane prawem Malthusa np. populacja bakterii, mnożących się przez podział z szybkością k podziałów na jednostkę czasu:

Przykłady ODE - populacja Prawo Malthusa nie uwzględnia żadnych limitów przyrostu populacji i nie modeluje np. danych o populacji ludzkiej Inny model: gdzie u – tempo narodzin, z – tempo zgonów

Przykłady ODE - populacje Jeśli u, z są stałe, to powyższy model jest równoważny z modelem Malthusa Jednak, zwykle tempo narodzin zależy od wielkości populacji Np. populacja krokodyli, wstępnie 100 osobników, niech u=0.0005*N, z=0, wtedy:

Przykłady ODE - populacje Rozwiązanie symboliczne: prowadzi do dość dziwnej konkluzji: po 20 latach populacja krokodyli będzie dążyła do nieskończoności

Przykłady ODE - populacja Model z ograniczeniami: obserwuje się, że wraz ze wzrostem populacji spada tempo narodzin (względne). Przyczyną mogą być np. ograniczone zasoby żywieniowe Tak więc tempo narodzin:

Przykłady ODE - populacja Model: