LICZBY NATURALNE

Liczby naturalne to najbardziej oczywista i natychmiastowa konstrukcja kojarząca się z matematyką. Były to pierwsze liczby na jakich w starożytności człowiek nauczył się pierwszych działań i zaczął swoją przygodę z matematyką. Przez liczbę naturalną rozumiemy liczbą całkowitą większą od 0. Zbiór liczb naturalnych oznaczamy dużą literką "N" i zazwyczaj piszemy: N={1,2,3, ...}

Pewne kontrowersje wywołuje sprawa zera Pewne kontrowersje wywołuje sprawa zera. Niektórzy uważają, że zero powinno się również uznać jako element liczb naturalnych. Czasem jednak wygodnie jest przyjąć, że liczba 0 jest również liczbą naturalną - tak robi się na przykład w informatyce. Jest to kwestia dyskusyjna, więc warto ustalić, czy uznaje się takie, czy inne podejście.

Historia Liczby naturalne (bez zera) początkowo były stosowane wyłącznie do określania liczebności obiektów. Pierwszy krok dla wyabstrahowania liczb naturalnych, to stworzenie cyfr na określenie danych wartości liczb. Przykładowo w Babilonii stosowano cyfry o wartościach od 1 do 10, zaś o wartości liczby decydowała pozycja kolejnych cyfr w szeregu. W starożytnym Egipcie stosowano odpowiednie hieroglify o wartościach 1, 10 i kolejnych potęgach 10 aż do miliona.

Znacznie później pojawiło się zero jako oddzielna wartość Znacznie później pojawiło się zero jako oddzielna wartość. Już w VII wieku p.n.e. Babilończycy stosowali zero w zapisie pozycyjnym, ale nigdy nie występowało ono samodzielnie. W Cywilizacji Majów zero istniało jako liczba już w I w. p.n.e., ale Majowie nie rozprzestrzenili tej idei poza Amerykę Środkową. Współczesne pojęcie zera przypisuje się Hindusowi Brahmagupcie, który stworzył je w 628 r. p.n.e. Zero stosowano w średniowieczu, ale nie miało ono swojej reprezentacji w cyfrach rzymskich - stosowano łacińskie słowo nullae.

Pierwsze systematyczne, abstrakcyjne studia nad liczbami przypisuje się greckim filozofom: Pitagorasowi i Archimedesowi. Poza Grecją niezależne rozważania prowadzono w rejonie Indii, Chin i Ameryki Środkowej. Dopiero w XIX w. pojawiła się ścisła definicja zbioru liczb naturalnych. Zgodnie z nią, zero jako odpowiednik zbioru pustego jest najmniejszym elementem tego zbioru. Wielu matematyków, szczególnie w teorii liczb jednak wyłącza tę liczbę ze zbioru liczb naturalnych.

W zbiorze liczb naturalnych wyróżniamy: liczby parzyste (takie, które są podzielne przez 2) i liczby nieparzyste, liczby pierwsze, liczby złożone oraz takie, które nie są ani pierwsze, ani złożone.

Liczba złożona ma więcej niż dwa różne dzielniki. Liczbą pierwszą nazywamy taką liczbę naturalną, która ma tylko dwa różne dzielniki: jeden i samą siebie. Liczba złożona ma więcej niż dwa różne dzielniki. Liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze, ani złożone.

Najpowszechniej stosowanym systemem zapisu liczb jest dziesiątkowy system pozycyjny, co oznacza, że wartość każdej z cyfr użytych do zapisu liczby zależy od miejsca tej cyfry zajmowanego w zapisie. Np.: • w liczbie 573 cyfra 5 oznacza pięć setek, czyli jej wartość wynosi 500; • w liczbie 5842 cyfra 5 oznacza pięć jedności tysięcy i jej wartość wynosi 5000; • w liczbie 1151 cyfra 5 oznacza pięć dziesiątek i jej wartość wynosi 50.

Podzielność liczb naturalnych Liczba naturalna a jest podzielna przez liczbę naturalną b ≠ 0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba naturalna c, taka że a = b . c Cechy podzielności: • Przez 2 dzielą się liczby parzyste, czyli liczby mające w rzędzie jedności cyfry 2, 4, 6, 8 lub 0; • Przez 3 dzielą się liczby, których suma cyfr jest podzielna przez 3; • Przez 4 dzielą się liczby, których cyfry z rzędów dziesiątek i jedności tworzą liczbę podzielną przez 4; • Przez 5 dzielą się liczby mające w rzędzie jedności cyfrę 0 lub 5; • Przez 9 dzielą się liczby, których suma cyfr jest podzielna przez 9; • Przez 10 dzielą się liczby mające w rzędzie jedności cyfrę 0; • Przez 25 dzielą się liczby będące pełnymi setkami oraz takie, których cyfry w rzędzie dziesiątek i jedności tworzą liczby 25,50,75; • Przez 100 dzielą się liczby mające co najmniej w rzędzie jedności oraz w rzędzie dziesiątek cyfrę 0. O tych oraz o innych cechach podzielności liczb naturalnych powiemy w drugiej prezentacji.

LICZBY PIERWSZE

0 (nie dzieli się przez siebie) oraz Liczba pierwsza jest liczbą naturalną posiadającą  dokładnie dwa różne podzielniki - jedynkę oraz samą siebie. Wynika stąd, iż liczby 0 (nie dzieli się przez siebie) oraz 1 (ma tylko jeden podzielnik - samą siebie) nie są liczbami pierwszymi. Oto kilka początkowych liczb pierwszych: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,41,43....

Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Wiedział o tym już w IV w. p.n.e. sam wielki Euklides. Innymi słowami, nie istnieje największa liczba pierwsza: dla każdej danej liczby pierwszej możemy znaleźć większą.

Jedną z ciekawostek jest informacja że latach 60 ubiegłego wieku w Afryce znaleziono kości z wyrytymi na nich karbami liczące ponad 25000lat. Na jednej z nich (kość z Ishango) karby układają się w liczby 11, 13, 17, 19. Są to liczby pierwsze. Wymieniona kość stanowi drugie najstarsze na Ziemi znalezisko matematyczne i można ją sobie obejrzeć w muzeum brukselskim na ulicy Rue Vautier 29 - B - 1000, około 100 metrów od Parlamentu Europejskiego.

Wielu sławnych matematyków zajmowało się problemem liczb pierwszych Wielu sławnych matematyków zajmowało się problemem liczb pierwszych. Byli to między innymi:

Fi = 22doi+ 1, gdzie i jest liczbą całkowitą nieujemną Ci znani matematycy od chwili poznania liczb pierwszych głowili się jakim wzorem można obliczyć dowolną liczbę pierwszą Liczby Euklidesa e1 = 2, e2 = 3 - stałe wartości początkowe e3 = e1 x e2 + 1 = 2 x 3 + 1 = 7 e4 = e1 x e2 x e3 + 1 = 43 e5 = e1 x e2 x e3 x e4 + 1 = 1087 Liczby Fermata Fi = 22doi+ 1, gdzie i jest liczbą całkowitą nieujemną Liczby Mersenne'a Mn=2n-1 Liczby Eulera w(i) = i 2 + i + 41 Niestety do dnia dzisiejszego nikomu nie udało się podać tego właściwego wzoru, chociaż wieki badań nad tymi liczbami zaowocowały licznymi próbami, którym niewiele brakowało do ideału.

Bardzo starym i znanym sposobem szukania liczb pierwszych jest tzw Bardzo starym i znanym sposobem szukania liczb pierwszych jest tzw. ”sito Eratostenesa”. Wypisuje się dowolnej długości ciąg liczb naturalnych zaczynając od dwójki np.: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24,25..., z którego najpierw wykreślamy liczby podzielne przez 2 oprócz dwójki i tak zostaje nam: 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25..., następnie przez 3 (bez trójki), przez 5 (bez piątki) - zostaje nam 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. I to już mamy same liczby pierwsze mniejsze od dwudziestu pięciu. Biorąc dostatecznie długi ciąg wyjściowy i wykonując czysto mechaniczne eliminowanie (łatwe dla komputera) co drugiej, co piątej i tak dalej - odsiejemy w efekcie wszystkie liczby pierwsze.

Największe liczby pierwsze 23 sierpnia 2008 r. została odkryta 45 liczba pierwsza Mersenne'a (243112609 - 1) licząca 12.978.189 cyfr. Znalazł ją Edson Smith z Uniwersytetu Kalifornijskiego w Los Angeles. Poszukiwania prowadził w sieci przy użyciu 75 uczelnianych komputerów. Dwa tygodnie później, 6 września 2008 r. znaleziona została 46 liczba pierwsza Mersenne'a (237156667 - 1) licząca 11.185.272 cyfr. Liczbę znalazł Hans Elvenich z Langenfeld - Niemcy. Największą liczbą pierwszą sprzed ery elektroniki jest liczba, która nosi nazwę odkrywcy - liczba Ferriera i wynosi: 20 988 936 657 440 586 486 151 264 256 610 222 593 863 921. Jest to 44-cyfrowa liczba znaleziona za pomocą mechanicznego kalkulatora w 1951r.

Zastosowanie liczb pierwszych Poszukiwanie wielkich liczb pierwszych wydawało się do niedawna tylko zabawą. Tymczasem duże liczby pierwsze niespodziewanie znalazły zastosowanie w teorii kodowania informacji, przy konstrukcji tak zwanych szyfrów z kluczem publicznym (RSA). Otóż można zaszyfrować informację, podać sposób i klucz szyfrowania, a mimo to tekst odczyta tylko osoba, dla której był on przeznaczony - dzięki temu, że wie, których liczb pierwszych użyto, przy czym liczby te muszą być odpowiednio duże. Z tego też powodu odnajdywane olbrzymie liczby pierwsze nie są podawane do publicznej wiadomości (z wyjątkiem największej aktualnie znanej). Niezwykle cenne okazały się nagle szybkie algorytmy rozkładu danej liczby na czynniki pierwsze.

Załóżmy, iż dysponujemy superszybkim komputerem, który jest w stanie sprawdzić podzielność miliarda dużych liczb w ciągu jednej sekundy. Aby złamać szyfr RSA należy rozbić klucz publiczny na dwie liczby pierwsze będące jego dzielnikami. Znajomość tych liczb pozwala rozszyfrować każdą informację zakodowaną kluczem prywatnym i publicznym.

Ile czasu zajmie naszemu superkomputerowi wykonanie tego zadania Ile czasu zajmie naszemu superkomputerowi wykonanie tego zadania? Odpowiedź brzmi: 4611686018 sekund = 76861433 minut = =1281023 godzin = 53375 dni = 146 lat. Czy sądzisz, że ktoś będzie czekał przez prawie dwa życia na złamanie szyfru? Zatem można podać do publicznej wiadomości liczbę będącą iloczynem dwóch dużych liczb pierwszych i mieć prawie pewność, iż nikt jej nie rozbije na czynniki pierwsze w rozsądnym czasie.

Oprócz matematyków także informatycy rozpatrują problem liczb pierwszych. Jednakże oni raczej wolą robić to przed komputerem. On twierdzi, że 2756839-1 jest ostatnią liczbą pierwszą. Więcej jego pamięć nie mieści!

Na zakończenie wstępu naszej pracy dotyczącej poszukiwania liczb pierwszych kilka ciekawostek: Istnieją liczby pierwsze złożone z kolejnych cyfr np.: 23, 67, 4567, 23456789, 1234567891, 1234567891234567891234567891. W dwóch ostatnich liczbach cyfry występują w tak zwanym rosnącym porządku cyklicznym, tzn. po kolei, z tym, że po 9 może być 0 lub 1. Trudniej trafić na liczby pierwsze z malejącym porządkiem cyklicznym: 43, 10987, 76543 i 1987.

Ciekawostek c.d.: Liczba 31415926535897932384626433832795028841 zestawiona z początkowych 38 cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby π, jest pierwsza.

Ciekawostek c.d.: Liczba 11111111111111111111111 złożona z 23 jedynek jest liczbą pierwszą. Liczba 73939133 jest liczbą pierwszą. Jeśli będziemy obcinać kolejne cyfry tej liczby od prawej strony otrzymamy: 7393913, 739391, 73939, 7393, 739, 73, 7, które również są liczbami pierwszymi.

Ciekawostek c.d.: LICZBY BLIŹNIACZE Liczbami bliźniaczymi nazywamy dwie liczby pierwsze różniące się o 2. Liczbami bliźniaczymi są więc np. następujące pary liczb: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), ... Nie wiadomo do chwili obecnej, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb bliźniaczych. Największą znaną obecnie parą liczb bliźniaczych jest para liczb (260 497 54526 625-1, 260 497 54526 625+1).

LICZBY NATURALNE LICZBY PIERWSZE KONIEC