Metody numeryczne Wykład no 1
Literatura Jankowscy J. i M.: Przegląd metod i algorytmów numerycznych. Część I, WNT 1981. Dryja M., Jankowscy J. i M.: Przegląd metod i algorytmów numerycznych. Część II, WNT 1982. 3. Stoer J.: Wstęp do metod numerycznych. t. I, PWN Warszawa 1979. 4. Stoer J., Bulirsch R.: Wstęp do metod numerycznych. PWN Warszawa 1980. 5. Ralston A.: Wstęp do analizy numerycznej. PWN Warszawa 1975. 6. Fortuna Z., Macukow B., Wąsowski J.: Metody numeryczne. WNT Warszawa 1982. 7. Bjorck A., Dahlquist G.: Metody numeryczne. PWN Warszawa 1983.
Zapis liczb w maszynie cyfrowej Liczby całkowite gdzie ei=0 lub 1. Jeżeli na zapis liczby przeznaczymy d bitów, to pierwszy bit - znak, następne d-1 bitów - zapis liczby czyli mając do dyspozycji rejestr d bitowy p=d-2 i możemy zapisać liczbę całkowitą: w Pascalu mamy reprezentacje:
1 byte = 8 bitów 1 byte shortint : -27 n 27-1 -128 n 127 tylko nieujemne: byte : 0 n 28-1 0 n 255 2 byte = 16 bitów integer : -215 n 215-1 -32768 n 32767 tylko nieujemne: word : 0 n 216-1 0 n 65535
W podanych zakresach liczby całkowite są reprezentowane 4 bite = 32 bity longint : -231 n 231-1 -2147483648 n 2147483647 W podanych zakresach liczby całkowite są reprezentowane w maszynie cyfrowej dokładnie. Przekroczenie zakresu dla danego typu liczb całkowitych powoduje najczęściej błędne obliczenia. Liczby rzeczywiste Reprezentacja zmiennoprzecinkowa: m – mantysa, przyjmuje się, że
Mantysa m jest obliczana z zależności: W maszynie cyfrowej mamy do dyspozycji skończoną liczbę bitów wynoszącą t i mantysa maszynowa mt jest: a więc popełniamy błąd zaokrąglenia mantysy:
c - cecha Przykład: x=znak liczby |mantysa |znak cechy |cecha x=0|1110|011 zmieniamy jeden bit: x=0|1111|011 i mamy: Spróbujmy przedstawić w tej maszynie liczbę x=7.25 cecha: 23 i mantysa m=7.25/8=0.90625
reprezentacja dwójkowa mantysy: czyli
Przy ośmiu bajtach dla zapisu liczb rzeczywistych liczb między 7.00 i 7.50 nie rozróżniamy. Rzeczywiście mamy: błąd mantysy 2-4=0.0625, maksymalna cecha 8, czyli 0.0625*8=0.5. Błąd względny : czyli lub inaczej Maksymalny błąd względny przy najostrzejszym oszacowaniu, to: ale
czyli o wielkości błędu względnego decyduje liczba bitów przeznaczonych na mantysę. W Pascalu stosujemy reprezentacje: single – 4 byte w tym 1 byte cecha błąd względny reprezentacji: a więc 7 do 8 prawidłowych cyfr znaczących. Zakres reprezentowanych liczb: gdzie
real – 6 byte cecha – 1 byte błąd względny reprezentacji: około 10 do 12 cyfr znaczących dokładnie. Zakres reprezentowanych liczb jak dla single czyli
double – 8 byte cecha 11 bitów błąd względny reprezentacji: około 15 do 16 cyfr znaczących dokładnie. Zakres reprezentowanych liczb:
extended – 10 byte cecha – 15 bitów błąd względny reprezentacji: około 19 do 20 cyfr znaczących dokładnie. Zakres reprezentowanych liczb:
Rodzaje błędów: 1. błędy danych wejściowych, 2. błędy obcięcia, 3. błędy zaokrągleń. Błąd obcięcia Błąd obcięcia:
Błąd obcięcia będzie dyskutowany przy poszczególnych metodach Błąd danych wejściowych może być np. spowodowany błędami popełnionymi przy pomiarach wymiarów geometrycznych, itp..
Układy równań liniowych Jeżeli N<M, układ równań jest nieokreślony, N=M – określony N>M - nadokreślony Rozważymy tylko przypadki N=M
Zapisujemy w formie macierzowej (tablicy) a układ równań zapisujemy w postaci równania:
Rozwiązywanie układów równań liniowych Dany jest układ równań liniowych: A – macierz (tablica) o wymiarze NxN, aij – element macierzy A leżący w i-tym wierszu i j-tej kolumnie
Będziemy też stosować zapis: i,j=1,2,...,N Macierz transponowana: AT Macierz odwrotna: A-1 Macierz jednostkowa: 1 gdzie X – wektor (tablica jednokolumnowa) niewiadomych o N składowych i=1,2,...,N Zapis:
Często wygodniej zapisywać w postaci: Metoda Gaussa Przykład: Zapisujemy w postaci:
Redukcja górnej trójkątnej:
ostatnia kolumna zawiera rozwiązanie: 8.1147767 2.5788529 X = 0.5987301 2.3897439