Wykład no 3

Metoda Gaussa-Seidela Przykład:

A=(L+D)-1 lub w postaci równań

Zerowe przybliżenie

Interpolacja funkcji Dane wartości funkcji yn w punktach xn, gdzie n=0,1,2, ....N-1. y yn y0 yN-1 x x0 xn xN-1

Interpolacja wielomianowa Twierdzenie Istnieje dokładnie jeden wielomian stopnia co najwyżej N (N>=0), który w punktach x0, x1,...,xN-1 przyjmuje wartości y0,y1,...,yN-1. Wzór interpolacyjny Lagrange'a: gdzie jest wielomianem stopnia co najwyżej N.

Z warunku interpolacyjnego: powyższy układ N równań można najprościej rozwiązać przyjmując dla wielomianów k(x) następujące warunki : jako wielomian k(x) należy wybrać taki, który ma miejsca zerowe we wszystkich punktach interpolacji z wyjątkiem punktu xk , w którym funkcja ma wartość 1 Rozwiązaniem jest wielomian :

Rozwiązaniem jest wielomian: z warunku: otrzymuje się: Wielomian Lagrange'a przyjmuje postać:

Ocena błędu interpolacji:

Przykład 1. Zbudować wielomian interpolacyjny dla funkcji exp(x) w przedziale [1,2] bazując na 5 węzłach interpolacyjnych. Wybierzmy węzły równomiernie czyli mamy: xi 1.0 1.25 1.50 1.75 2.0 yi 2.71828 3.49034 4.48169 5.7546 7.38906

Wielomian Lagrange’a jest:

lub Wyniki obliczeń przedstawiono na wykresie:

Dla lepszej oceny wykres błędu względnego:

Przykład 2. W wyniku pomiarów zdjęto pierwotną krzywą magnesowania B=F(H). Zbudować wielomian interpolacyjny Lagrange'a dla zakresu 0<=H <=3000A/m. H[A/m] 50 100 200 500 1000 1500 2000 3000 B[T] 0.75 1.5 1.8 1.95 2.0 2.02 2.03 2.035 Kolejne wielomiany k(H) dla k=0,1,...8 są: lub po obliczeniu mianownika mamy:

i wielomian aproksymacyjny jest lub

Otrzymany wynik jest niemożliwy do przyjęcia!!!

Interpolacja liniowa odcinkami: H[A/m] 50 100 200 500 1000 1500 2000 3000 B[T] 0.75 1.5 1.8 1.95 2.0 2.02 2.03 2.035 dla lub po wykonaniu działań: dla i podobnie: dla dla dla

dla dla dla dla

B(H)

Porównanie Ba(H) – interpolacja liniowa B(H) – wielomian 8-go stopnia

Optymalny dobór węzłów interpolacji. Dobrać węzły interpolacji tak aby kres górny wielomianu był jak najmniejszy. Rozwiązanie otrzymuje się za pomocą wielomianów Czebyszewa. Są to wielomiany zdefiniowane na przedziale x [-1,1] i są zdefiniowane : Przykładowe wykresy dla n=1,2,3,4:

Wielomiany spełniają następujące związki: Każdy z wielomianów ma n różnych pierwiastków określonych zależnością: w przedziale [-1,1].

Współczynnik przy najwyższej potędze x we wielomianie wynosi 2n-1. Dowodzi się, że jeżeli dla przedziału [-1,1] dobrać pierwiastki zgodnie z zależnością określającą pierwiastki wielomianu Czebyszewa to zachodzi: stąd wynika

czyli ocena błędu w przedziale [-1,1] jest: Problem jest rozwiązany w przedziale [-1,1]. Aby go rozwiązać w przedziale [a,b] należy dokonać odwzorowania przedziału [a,b] na przedział [-1,1]. Niech a otrzymujemy z a x -1 1 b

i stąd mamy: Dla przedziału [a,b] należy dla optymalnej interpolacji wybrać punkty według zależności: Ocena błędu przyjmuje postać: