Niedziesiątkowe systemy liczenia Monika Nowicka

Systemy niższe od dziesiątkowego Systemy wyższe od dziesiątkowego

Układ dwójkowy Układ czwórkowy Układ piątkowy Układ ósemkowy

     Układ piątkowy. Układ piątkowy należy do tych układów, które rzeczywiście istniały lub nawet istnieją w pewnych zakamarkach naszej kuli ziemskiej. Ojczyzną jego jest Ameryka, i to zarówno Północna, gdzie odnaleźć go można wśród plemion eskimoskich, jak również Środkowa i Południowa, gdzie niegdyś był w powszechnym użyciu. Stosowały go również liczne plemiona Syberii i niektóre afrykańskie szczepy murzyńskie. Pewien ślad układu piątkowego można znaleźć w liczbach rzymskich, gdzie V stanowi jakby przełom nie mniej ważny niż X. Przykład: (123)10 = (443)5 sprawdzenie 123 {dziel przez 5} 3*50 + 4*5 1+ 4*5 2 = 123. 24 3 4 4 0 4

{dziel przez 4} 66 3 Sprawdzenie: 3 + 2 *4 + 1 * 44 = 267. 16 2 4 0 1.     Układ czwórkowy.  Zapiszmy liczbę 267 w układzie czwórkowym:  267 : 4 = 66 66 : 4 = 16 16 : 4 = 4 4 : 4 = 1 24 4 16 4 27 26 0r 0r 24 24 3r 2r Cyfry podane tłustym drukiem wypisujemy w odwrotnym przypadku, od prawej do lewej. Zatem: 26710 = 100234. II sposób: {dziel przez 4} 66 3 Sprawdzenie: 3 + 2 *4 + 1 * 44 = 267. 16 2 4 0 1 0 0 1

Zamiana z dziesiątkowego na ósemkowy czyli odwrotnie: UKŁAD ÓSEMKOWY (123.4)8 =3 *80 + 2*81 + 1* 82 + 4 * 8 –1 = (83.5)10 Zamiana z dziesiątkowego na ósemkowy czyli odwrotnie: (321.59375)10 = (501.46)8 mnóż przez 8 321 dziel przez 8 0.59375 4 zapis 40 1 0.75 6 w dół 5 0 zapis 0 0 5 w górę reszty całości

Przykład w drugą stronę: Układ dwójkowy. Najprostszy układ numeracji, to układ dwójkowy. Podstawę jego stanowi liczba 2, wszystkie więc liczby pisać można tylko przy użyciu cyfr: 0 i 1 Pomimo swojej prostoty układ dwójkowy jest jednym z najciekawszych układów. Teoretycznie opracowali go tacy matematycy , jak Leibniz, Legendre, Lucas. Posiada on bardzo duże zastosowanie w informatyce. Dla komputera naturalnym sposobem liczenia jest korzystanie z zapisu dwójkowego. Łatwo bowiem uzyskać prostą interpretację fizyczną takiego stanu rzeczy. W urządzeniach komputerowych kodowanie danych polega na pojawianiu się w kolejnych odstępach czasu impulsów elektrycznych (1) lub ich braku (0). Mogą one reprezentować liczbę, znak, rozkaz lub adres komórki pamięci. (101000011.011)2 = 20 + 21 +26 + 28 + 2-2 + 2-3 = (323,375)10 Przykład w drugą stronę: (29.75)10 = (11101.11)2 29 dziel przez 2 0.75 1 14 1 0.5 1 7 0 0 3 1 1 1 0 1

Układ sześćdziesiątkowy Układ tuzinowy Układ piętnastkowy Układ sześćdziesiątkowy Układ szesnastkowy

     System tuzinowy – dwunastkowy. Zapisanie liczby jest dosyć trudne, ponieważ w resztach dzielenia i w ostatnim ilorazie otrzymaliśmy liczby dwucyfrowe: 10 i 11.  Układ tuzinowy wydaje się nam obecnie dziwaczny, a przede wszystkim niezupełnie praktyczny. Jednak kilkakrotnie w naszych już dziejach zjawiały się zupełnie poważne propozycje, by układ dziesiątkowy zamienić na tuzinowy. Zwolennikiem układu dwunastkowego był słynny matematyk i mechanik Szymon Stevin z Bruges (1548-1620). Opierał się na tym, że wszystkie narody przyjęły podział roku na dwanaście miesięcy, podział dnia i nocy na dwanaście godzin, obliczanie wielu przedmiotów na tuziny. Za układem dwunastkowym był również król szwedzki Karol XII (1697-1718), ponieważ podobało mu się to, że liczba 12 jest wielokrotnością 2, 3, 4, 6, gdy tymczasem 10 dzieli się tylko przez 2 i 5 oraz że łatwiej jest wyrazić w tym układzie jedną trzecią, dwie trzecie, jedną czwartą niż w układzie dziesiątkowym.

Zapiszmy liczbę 1871 w systemie mendlowym: (1871)10 = (84A)15    System mendlowy – piętnastkowy.  W systemie piętnastkowym poruszamy się podobnie jak w dwunastkowym. Można w nim również stosować litery alfabetu na oznaczenie brakujących cyfr powyżej 9, mianowicie: X (dziesięć), A (jedenaście), B (dwanaście), C (trzynaście), D (czternaście).   Zapiszmy liczbę 1871 w systemie mendlowym: (1871)10 = (84A)15 Sprawdzamy: 11 + 4 *15 + 8 *152 = 1871.

Napiszmy liczbę 67254 w układzie kopowym.: „(18) (40) (54)”.      System kopowy – sześćdziesiątkowy. Napiszmy liczbę 67254 w układzie kopowym.: „(18) (40) (54)”. Sprawdźmy: 54 + 40 * 60 + 18 * 602 = 67254. W tym systemie zamiany na litery nie stosujemy, gdyż nie starczy alfabetu. Układ kopowy miał w dawnych czasach szerokie zastosowanie praktyczne. Stosowali go Babilończycy , głównie do oznaczania miar i wag. Na dwóch babilońskich płytkach glinianych, z których jedna pochodzi z okresu 2300 – 1600 r. p.n.e. znaleziono ciąg liczbowy: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49. Widzimy, że są to pełne kwadraty: 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72. Dalej szedł układ taki: I. 4, I. 21, I. 40, II. 1 itd. Napisy stają się zrozumiałe, jeżeli przyjmiemy, że cyfry przed kropką oznaczają 60; mamy wtedy I. 4 = 60+4 = 64, I. 21 = 60 + 21 = 81, I. 40 = 60 + 40 = 100, II. 1 = 120 + 1 = 121, ...,spostrzegamy wówczas, że są to kwadraty dalszych liczb: 82, 82, 102, 112, ...

Wiele okoliczności wskazuje na to, że system kopowy nie był systemem popularnym. Był raczej systemem tajemnym, znany nielicznej grupie uczonych, kapłanów, magów. Skąd pochodzić mogła myśl wzięcia liczby 60 za podstawę układu numeracji, którego ślady pozostały do dzisiaj w podziale koła na 360 stopni, godziny na 60 minut, minuty na 60 sekund? Hipotezy są różne. Najbardziej prawdopodobne wydają się te, które przyjmują, iż astronomowie ówcześni liczyli rok równy 360 dniom, albo też geometrowie tych odległych wieków doszli już do zasady podziału okręgu koła na 6 części za pomocą promienia.

Układ szesnastkowy (189.671875)10= (BD.AC)16 189 Dziel przez 16 0.671875 A (10) 11 D (13) (10) 0.75 C (12) 0 B (11) 0 Odwrotnie: (BD.AC)16 = D*160 + B*161 + A*16-1 + C*16-2 =(189.671875)10