D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 2 Wykład 2: Metoda Najmniejszych Kwadratów dr Dorota Ciołek Katedra Ekonometrii Wydział Zarządzania UG http://wzr.pl/dc dorota.ciolek@ug.edu.pl

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 2 Liniowy model ekonometryczny: y – zmienna endogeniczna, x – zmienne objaśniające, - składnik losowy, - ty – nieznane parametry strukturalne. Jesteśmy zainteresowani znalezieniem wartości parametrów strukturalnych, aby wiedzieć jaka jest relacja miedzy zmiennymi x i y. - mówią jak wygląda ta zależność w całej populacji. Możemy określić jak wygląda ta zależność w danej próbie - oceny parametrów dla danej próby.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 2 Oszacować (estymować) model oznacza znaleźć oceny parametrów strukturalnych na podstawie konkretnej próby. Metody szacowania parametrów strukturalnych: Metoda Momentów, Metoda Najmniejszych Kwadratów, Metoda Największej Wiarygodności, i wiele innych… Twierdzenie Gaussa-Markowa: W klasycznym modelu regresji liniowej najlepszym nieobciążonym estymatorem linowym parametrów jest estymator uzyskany Metodą Najmniejszych Kwadratów (MNK).

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 2 Własności estymatorów Nieobciążoność – g jest nieobciążonym estymatorem , jeżeli E(g)= , co znaczy, gdy wartość oczekiwana w rozkładzie z próby g jest równa . Oznacza to, że gdybyśmy obliczali wartość g dla każdej z prób, którymi dysponujemy i powtarzali ten proces nieskończenie wiele razy, to średnia z uzyskanych ocen byłaby równa . Efektywność – estymator jest efektywny, jeżeli wartości g wyliczone dla różnych prób nie różnią się między sobą znacznie tzn. jeżeli wariancja estymatorów jest mała. Estymator z najmniejszą wariancją – najbardziej efektywny.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 2 Własności estymatorów Zgodność – (własność dużych prób) zwiększanie liczebności próby umożliwia uzyskiwanie estymatora o wartości coraz bliższej szacowanego parametru, z prawdopodobieństwem bliskim jedności: Można wykazać, że: Metoda Najmniejszych Kwadratów jest estymatorem - nieobciążonym, - zgodnym, - najbardziej efektywnym w klasie estymatorów nieobciążonych. BLUE –Best Linear Unbiased Estimator

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 2 Założenia MNK Założenia numeryczne – warunki stosowalności: 1) T > (k+1), czyli liczba obserwacji musi być większa niż liczba szacowanych parametrów. 2) r(X)=(k+1), czyli rząd macierzy X musi być równy liczbie szacowanych parametrów. Drugi warunek oznacza brak współlinowości zmiennych objaśniających, tzn. że zmienne objaśniające są liniowo niezależne, *(czyli nie tworzą ze sobą takiej kombinacji liniowej, która w wyniku daje wektor zerowy).

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 2 Przykład współlinowości zmiennych: X1-liczba pracowników w przedsiębiorstwie, X2-liczba pracowników na stanowiskach kierowniczych, X3-liczba pracowników na stanowiskach niekierowniczych. X1=X2+X3, czyli X1-X2-X3=0 Rząd macierzy X=3 < k+1=4 Nie da się zastosować MNK!

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 2 Założenia MNK Założenia stochastyczne (dotyczą składnika losowego): 1) dla wszystkich t - wartość oczekiwana składnika losowego jest równa zero. 2) dla wszystkich t – wariancja jest jednakowa dla wszystkich obserwacji - homoscedastyczność. 3) i są niezależne dla - składniki losowe dla różnych obserwacji nie zależą od siebie, nie są skorelowane; brak autokorelacji składników losowych. 4) i są niezależne dla wszystkich t – zmienne objaśniające nie zależą od składnika losowego, tzn. zmienne objaśniające są nielosowe. 5) - składnik losowy dla każdej obserwacji ma rozkład normalny.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 2 Założenia MNK Jeżeli nie są spełnione założenia numeryczne – nie jesteśmy w stanie zastosować matematycznych formuł na MNK. Jeżeli nie są spełnione stochastyczne założenia 1), 2), 3), 4) estymator MNK, przestaje być BLUE, daje obciążone oceny parametrów strukturalnych. Założenie 5) nie ma znaczenia dla własności MNK. Jego spełnienie jest konieczne, aby można było zastosować testy statystyczne pozwalające sprawdzić wszystkie powyższe założenia. Większość testów statystycznych bazuje na złożeniu, że analizowana zmienna losowa ma rozkład normalny.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 2 Model z jedną zmienną objaśniającą: to równanie opisuje, zachowanie rzeczywistych wartości zmiennej endogenicznych.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 2 Rzeczywisty rozkład punktów y yt x

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 2 Model z jedną zmienną objaśniającą: to równanie opisuje, zachowanie rzeczywistych wartości zmiennej endogenicznych. MNK to metoda, która do punktów dopasowuje taką prostą, która przechodzi najbliżej wszystkich punktów równocześnie. Równanie prostej: to równanie opisuje, teoretyczne wartości zmiennej endogenicznych, (wartości, które leżą na dopasowanej prostej).

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 2 Odległość rzeczywistego punktu od prostej nazywana jest odchyleniem, albo resztą: Reszta nie jest składnikiem losowym, jest to oszacowany składnik losowy (błąd) w modelu. Na szeregu reszt sprawdzane będą założenia stochastyczne.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 2 Idea MNK MNK dopasowuje prostą do punktów, w taki sposób, aby odległości od wszystkich punktów były jednocześnie jak najmniejsze. Każda odległość podnoszona jest do kwadratu, ponieważ mają różne znaki. MNK minimalizuje sumę kwadratów odchyleń (reszt):

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 2 Estymator MNK Macierzowa postać modelu: Oznacza to, że: Suma kwadratów odchyleń to: Po wymnożeniu otrzymujemy: Przyrównując pochodną po do zera otrzymujemy:

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 2 Estymator MNK Po dokonaniu minimalizacji sumy kwadratów reszt otrzymujemy następującą macierzową formułę pozwalającą wyznaczyć oceny parametrów strukturalnych modelu liniowego MNK: - wektor ocen parametrów strukturalnych y – wektor obserwacji na zmiennej endogenicznej, X – macierz obserwacji na zmiennych objaśniających.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 2 Własności numeryczne oszacowania MNK Suma wartości teoretycznych zmiennej endogenicznej, równa jest sumie wartości empirycznych zmiennej endogenicznej. Suma reszt jest równa zero. Iloczyn wektora reszt i wektor obserwacji na każdej zmiennej objaśniającej jest równy zero. Iloczyn wektora wartości teoretycznych zmiennej endogenicznej i wektora reszt jest równy zero.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 2 Wykład 2 cz.2: Zasady interpretacji w modelach statycznych dr Dorota Ciołek Katedra Ekonometrii Wydział Zarządzania UG http://wzr.pl/dc dorota.ciolek@ug.edu.pl

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 2 Wybór postaci analitycznej modelu Model nieliniowy – funkcja analityczna jest nieliniowa ze względu na parametry. Model liniowy: Model nieliniowy: Wybór postaci analitycznej: - Zgodny z konkretną teorią ekonomiczną, - Wybierany metodą prób i błędów. - Na podstawie wykresu – regresja prosta.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 2 Logarytmy, czy poziomy zmiennych? logarytmy zmiennych, gdy: zmienna wyrażona jest w jednostkach pieniężnych (o wartościach dodatnich) – wynagrodzenie, sprzedaż firmy, wartość rynkowa firmy, Produkt Krajowy Brutto; zmienne o wysokich wartościach: wielkość populacji, całkowita liczba pracowników, współczynnik skolaryzacji, liczba kilometrów; poziomy zmiennych, gdy: zmienna wyrażona w liczbie lat: liczba lat edukacji lub doświadczenia, wiek; zmienna przyjmuje niewysokie wartości całkowite: liczba pokoi w domu, liczba osób w gospodarstwie domowym, liczba samochodów w gosp. domowym; zmienne sztuczne (zero-jedynkowe) reprezentujące zmienne jakościowe: płeć, poziom wykształcenia, przynależność do organizacji, położenie geograficzne.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 2 Logarytmy, czy poziomy zmiennych? Zmienne, które są proporcjami lub udziałami procentowymi: stopa bezrobocia, procent studentów, którzy zdali egzamin, stopień wykrywalności przestępstw kryminalnych – mogą występować albo w postaci poziomów, albo w logarytmach, chociaż częściej używa się poziomów. Uwaga: Przy interpretacji uważamy z procentami: Jeżeli bezrobocie wzrasta z 8 do 9 procent, oznacza to wzrost o jeden punkt procentowy, ale przyrost o 12,5 procent w stosunku do wartości początkowej.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 2 Logarytmy, czy poziomy zmiennych? Jedno ograniczenie: Logarytm zmiennej nie może być użyty jeżeli zmienna przyjmuje wartości ujemne lub jest równa zero. Dla zmiennej przyjmującej wartości zero rozwiązaniem może być zastosowanie log(1+y). (!) Używając zlogarytmowanej zmiennej musimy pamiętać, że wartości teoretyczne tego modelu są wartościami log(y) a nie y. (!) Nie można porównywać R-kwadrat wyznaczonych dla modeli, w których mamy różne zmienne objaśniające: log(y) i y.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 2 Mierniki przeciętne i krańcowe Parametr przeciętny: Parametr przeciętny określa ile jednostek zmiennej y przypada (w danym okresie t) na jednostkę zmiennej xi. Przykłady parametrów przeciętnych: przeciętna skłonność do konsumpcji – określa ile jednostek konsumpcji przypada na jednostkę dochodu, przeciętny koszt jednostkowy - określa jaki jest koszt przypadający w okresie t na jednostkę produkcji, przeciętna produktywność (wydajność) kapitału oraz przeciętna wydajność pracy .

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 2 Mierniki przeciętne i krańcowe Parametr krańcowy: Parametr krańcowy określa o ile jednostek wzrośnie (spadnie) zmienna yt , gdy zmienna xti wzrośnie o jednostkę. Przykłady parametrów krańcowych: krańcowa skłonność do konsumpcji - określa o ile jednostek wzrośnie konsumpcja, gdy dochód wzrośnie o jedną jednostkę, koszt krańcowy , który określa przyrost kosztu całkowitego przypadający na jednostkowy przyrost produkcji, krańcowa produktywność kapitału , która określa przyrost produkcji na skutek wzrostu nakładów kapitału o jednostkę.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 2 Mierniki przeciętne i krańcowe Elastyczność różnicowa: Elastyczność zmiennej yt względem zmiennej xti, informuje o ile % wzrośnie (zmaleje) zmienna yt jeśli zmienna xti wzrośnie o 1%. Przykłady elastyczności: elastyczność dochodowa konsumpcji, elastyczność kosztów względem produkcji, elastyczność produkcji względem kapitału, elastyczność produkcji względem pracy.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 2 Interpretacja modelu liniowego Ogólny zapis statycznego modelu liniowego: Przyrost krańcowy w tym modelu: Oznacza to, że: Parametry strukturalne w modelu linowym są przyrostami krańcowymi. Interpretacja: Jeżeli zmienna egzogeniczna xt1 wzrośnie o 1 jednostkę, a pozostałe zmienne objaśniające nie ulegną zmianie, to oczekujemy, że zmienna endogeniczna yt wzrośnie (spadnie) średnio o jednostek.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 2 Interpretacja modelu liniowego Ogólny zapis statycznego modelu liniowego: Elastyczność w tym modelu: Oznacza to, że: Elastyczność w modelu linowym jest zmienna i zależy od początkowych wartości zmiennych modelu. Interpretacja: Przy danych wartościach zmiennych egzogenicznych, jednoprocentowy wzrost zmiennej xt1 spowoduje przyrost (spadek) zmiennej y średnio o E %, przy założeniu niezmienności pozostałych zmiennych.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 2 Interpretacja modelu potęgowego Ogólny zapis statycznego modelu potęgowego: Przyrost krańcowy w tym modelu: Oznacza to, że: Przyrost krańcowy w modelu potęgowym jest zmienny i zależy od początkowych wartości zmiennych modelu.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 2 Interpretacja modelu potęgowego Ogólny zapis statycznego modelu potęgowego: Elastyczność w tym modelu: Oznacza to, że: Parametry strukturalne w modelu potęgowym są elastycznościami cząstkowymi. Jest to model o stałych elastycznościach. Interpretacja: Jeżeli zmienna egzogeniczna xt1 wzrośnie o 1%, a pozostałe zmienne objaśniające nie ulegną zmianie, to oczekujemy, że zmienna endogeniczna yt wzrośnie (spadnie) średnio o %.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 2 Linearyzacja modelu potęgowego Ogólny zapis statycznego modelu potęgowego: Postać modelu logarytmiczno-liniowa: (Postać liniowa ze względu na parametry)

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 2 Zapis macierzowy modelu potęgowego T – liczba obserwacji, k – liczba zmiennych objaśniających, k+1 – liczba parametrów strukturalnych.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 2 Interpretacja modelu wykładniczego Ogólny zapis statycznego modelu wykładniczego: Przyrost krańcowy w tym modelu: Oznacza to, że: Przyrost krańcowy w modelu wykładniczym jest zmienny i zależy od początkowych wartości zmiennych modelu.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 2 Interpretacja modelu wykładniczego Ogólny zapis statycznego modelu wykładniczego: Elastyczność w tym modelu: Oznacza to, że: Elastyczność w modelu wykładniczym jest zmienna i zależy od początkowych wartości zmiennych modelu.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 2 Interpretacja modelu wykładniczego Ogólny zapis statycznego modelu wykładniczego: Można wykazać, że: Jeżeli zmienna egzogeniczna xt1 wzrośnie o 1 jednostkę, a pozostałe zmienne objaśniające nie ulegną zmianie, to oczekujemy, że zmienna endogeniczna yt wzrośnie (spadnie) średnio o %.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 2 Linearyzacja modelu wykładniczego Ogólny zapis statycznego modelu wykładniczego: Postać modelu logarytmiczno-liniowa: (Postać liniowa ze względu na parametry)

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 2 Zapis macierzowy modelu wykładniczego T – liczba obserwacji, k – liczba zmiennych objaśniających, k+1 – liczba parametrów strukturalnych.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 2 Na co należy zwrócić szczególną uwagę (podsumowanie): Co to znaczy oszacować model? Jakie modele można szacować MNK? Jak MNK dopasowuje prostą do rzeczywistych punktów? Kiedy nie można zastosować MNK (warunki stosowalności)? Jakie założenia musi spełniać rozkład składnika losowego, aby MNK była wiarygodna? Kiedy stosować poziomy, a kiedy logarytmy zmiennych? Co należy zrobić ze zmiennymi, aby oszacować parametry w modelach potęgowych i modelach wykładniczych? Co to jest elastyczność i przyrost krańcowy i jak interpretujemy te miary? Jak interpretujemy parametry w modelach liniowych, potęgowych i wykładniczych?