Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt „Z FIZYKĄ, MATEMATYKĄ I PRZEDSIĘBIORCZOŚCIĄ ZDOBYWAMY ŚWIAT !!! ” jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA

Nazwa szkoły: Gimnazjum w Manowie ID grupy: 98/20_mf_g2 Opiekun: p. Dagmara Kowalczyka Kompetencja: Matematyka i fizyka Temat projektowy: Twierdzenie Pitagorasa Semestr/rok szkolny: Semestr 2011/2012

TWIERDZENIE PITAGORASA

Pitagoras żył od około 572 do 497 roku przed naszą erą. Był filozofem greckim. Pochodził z wyspy Samos, którą opuścił mając lat 40. Odbył liczne podróże, między innymi do Indii, gdzie zetknął się z tamtejszymi systemami filozoficzno- religijnymi. Później przebywał w Tracji, ale osiadł w Wielkiej Grecji, gdzie w Krotonie założył szkołę filozoficzno-religijną i związek pitagorejski. Późnej osiadłszy w Metaponcie, spędził tam resztę swego życia.

Nie pozostawił po sobie żadnych dzieł, a te, które później rozpowszechniano w Grecji, jak podają historycy filozofii, były tekstem niepewnego pochodzenia lub nieautentycznym, więc dokoła osoby Pitagorasa utworzyło się wiele legend.

Pitagoras był kontynuatorem religii orfickiej, którą później zaczęto nazywać pitagoreizmem. Wprowadził pojęcie podobieństwa figur oraz ideę przeprowadzania systematycznych dowodów w geometrii. Przeprowadził dowód twierdzenia nazwanego twierdzeniem Pitagorasa, które wcześniej nazywano regułą bez dowodu. Odkrył niewspółmierność boku i przekątnej kwadratu i przypisywał magiczne własności liczbom.

Kiedy miał 18 lat wziął udział w Igrzyskach Olimpijskich, walczył na pięści i wygrał wszystkie walki. Odniósł sukces i teraz postanowił podróżować. Gdy miał lat był uczniem Talesa w Jonii. Po napadzie Persów dostał się do niewoli i trafił do Babilonu. W ciągu 12 lat spędzonych w stolicy Mezopotamii przyswajał sobie olbrzymią wiedzę skrybów i mędrców babilońskich. Pitagoras wymyślił definicję słowa przyjaźń. Kiedy ktoś go zapytał kto to jest przyjaciel, odpowiedział: "Ten, który jest drugim ja, tak jak 220 i 284". Dwie liczby są "zaprzyjaźnione", jeśli każda z nich jest sumą wszystkich dzielników właściwych drugiej liczby. Dzielniki 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110. Dzielniki 284: 1, 2, 4, 71, 142.

Pitagoras liczby widział wszędzie. Po raz pierwszy wytropił je w muzyce. Dostrzegł odpowiednie stosunki wysokości dźwięków w interwałach muzycznych. A więc muzyka to matematyka. Również porządek niebios wyrażał się przez gamę muzyczną. Do dziś pozostało określenie "muzyka sfer niebieskich„ Związek między liczbami naturalnymi występujący dzisiaj w tzw. twierdzeniu Pitagorasa odkryli na długo przed Pitagorasem Egipcjanie oraz Babilończycy. Lecz najprawdopodobniej dopiero Pitagoras to twierdzenie udowodnił. Pitagoras dokonał pierwszej klasyfikacji liczb (naturalnych). Podzielił je na dwie grupy: parzyste i nieparzyste. Na te, które są podzielne przez 2 i które nie są.

 Ka ż de twierdzenie filozofa daje si ę zbić z tak ą sam ą łatwo ś ci ą, z jak ą mo ż na go dowie ś ć nie wykluczaj ą c powy ż szego twierdzenia.  Liczba jest istotą wszystkich rzeczy.  Liczby rz ą dz ą ś wiatem.  Wszystko jest liczbą.  Muzyka budzi w sercu pragnienie dobrych czynów.  We wszystkim musi być umiar.  Kto mówi, sieje, kto słucha, zbiera.

Pitagoras założył szkołę w Krotonie. Nazywano ją szkołą pitagorejczyków. Powstała w roku 529 p.n.e.. Zajmowano się badaniami naukowymi w zakresie matematyki i nauk przyrodniczych Szkoła Pitagorasa była uwikłana w liczne zamieszania polityczne, dlatego sam jej założyciel został wygnany.

Założenie: Trójkąt jest prostokątny Teza: Suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej a 2 + b 2 = c 2 Przy założeniu, że „a” i „b” to przyprostokątne, „c” to przeciwprostokątna.

Niech a i b będą przeciwprostokątnymi trójkąta, c zaś - przyprostokątną. Ustawmy cztery kopie tego trójkąta tak, by przylegały do siebie jak na rysunku. Przyprostokątne tych trójkątów utworzą one kwadrat o boku (a+b), a przeciwprostokątne - kwadrat o boku c. Pole dużego kwadratu wynosi (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2. Ale to samo pole można obliczyć sumując pola czterech trójkątów i kwadratu o boku c. Jest ono zatem równe 4*[(1/2)*a*b]+c 2 =2ab+c 2. Mamy zatem a 2 +2ab+b 2 =2ab+c 2, czyli a 2 +b 2 =c 2. Udowodniliśmy więc twierdzenie Pitagorasa.

Długość przeciwprostokątnej a, b (a>b) długości przyprostokątnych. Umieśćmy cztery „kopie” naszego trójkąta, by przylegały do siebie jak na rysunku. Utworzą one czworokąt, a jest to kwadrat, bo wszystkie cztery trójkąty są prostokątne. Bok tego kwadratu ma długość a - b Zatem licząc pole dużego kwadratu: c 2 = (a-b)2 + 2ab co jest równoznaczne z a 2 + b 2 = c 2

Na przyprostok ą tnej BC = a danego trójk ą ta prostok ą tnego ABC odk ł adamy CD = AB = b, a nast ę pnie na prostej ED równoleg ł ej do AB odk ł adamy BC = a. Trójk ą t ACE jest prostok ą tny i równoramienny, a jego pole wynosi AC2 / 2 = c 2 / 2; pola trójk ą tów ABC i CDE s ą równe (trójk ą ty te s ą przystaj ą ce) i wynosz ą w sumie. Trzy wspomniane trójk ą ty tworz ą trapez ABDE o polu (b + a)(a + b) / 2. St ą d równo ś ci: a 2 + b 2 = c 2.

Jest to jeden z dowodów podanych przez Euklidesa, wykorzystuje on podobieństwo trójkątów. Zauważmy, że na rysunku obok trójkąty: "duży„– ABC, "różowy"– BDC i "niebieski"– DBC są podobne. Niech |AB|=c, |BC|=a i |AC|=b. Można napisać proporcje: Stąd : I po dodaniu:

Następujący dowód znajduje się w Elementach Euklidesa i oparty jest na spostrzeżeniu, że pola dwu mniejszych kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych trójkąta prostokątnego ABC są równe polom odpowiednich prostokątów na jakie wysokość CD dzieli kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej. Dla dowodu zauważmy, że pole kwadratu ACJK jest równe podwojonemu polu trójkąta KAB – podstawą trójkąta KAB jest bok KA kwadratu, a wysokość trójkąta jest równa bokowi CA tego kwadratu. Podobnie, pole prostokąta AEGD jest równe podwojonemu polu trójkąta CAE – podstawą trójkąta CAE jest bok AE prostokąta, a wysokość trójkąta jest równa bokowi EG prostokąta. Jednak trójkąty KAB i CAE są przystające, co wynika z cechy "bok-kąt-bok" – | KA | = | CA |, | AB | = | AE | i kąt KAB jest równy kątowi CAE, a zatem mają równe pola, skąd wynika, że pole kwadratu ACJK jest równe polu prostokąta AEGD.

Analogicznie, rozważając trójkąty CBF i HBA można udowodnić, że pole kwadratu CBHI jest równe polu prostokąta BFGD. Stąd, suma pól obu kwadratów równa jest polu kwadratu AEFB.

Jeżeli suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej, to trójkąt jest prostokątny.

Twierdzenie to można udowodnić na przykład metodą sprowadzenia do sprzeczności lub przy pomocy twierdzenia cosinusów My to udowodnimy następująco: Weźmy dowolny trójkąt o bokach odpowiednio: | BC | = a, | AC | = b, | AB | = c spełniający warunek: a 2 + b 2 = c 2. Naszym zamiarem jest pokazanie, że jest to trójkąt prostokątny. W tym celu weźmy inny trójkąt taki że: | KL | = a, | KM | = b oraz

Trójkąt jest prostokątny zatem dla niego możemy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa i obliczyć bok LM : | LM | 2 = a 2 + b 2 z trójkąta ABC mamy: | LM | 2 = a 2 + b 2 = c 2 zatem: | LM | = c Okazało się, że: | BC | = a = | KL |, | AC | = b = | KM |, | AB | = c = | LM | Z cechy przystawania trójkątów BBB* wnioskujemy, że trójkąty i są przystające. Z faktu, iż trójkąt jest prostokątny wynika, że trójkąt jest prostokątny. BBB = Bok Bok Bok

Trójkąt pitagorejski, to taki trójkąt, którego boki są wyrażone liczbami naturalnymi a, b, c związanymi warunkiem: a 2 +b 2 =c 2. Jeśli pomnożymy długości boków każdego z tych trójkątów przez dowolną liczbę naturalną to otrzymamy również trójkąty pitagorejskie. Znany jest trójkąt egipski o bokach wyrażonych liczbami 3, 4 i 5. W Egipcie wiedziano, że jest to trójkąt prostokątny, i używano go do wyznaczania kątów prostych przy odnawianiu granic gruntowych zmywanych dorocznymi wylewami Nilu. Pitagoras przekazał nam związek między bokami trójkąta egipskiego, wyrażony wzorem =5 2.

n I przyprostokątna 2n+1 II przyprostokątna 2n(n+1) Przeciwprostokątn a 2n 2 +2n Poszukując innych trójkątów, których boki a, b, c spełniałyby warunek a 2 +b 2 =c 2, Pitagoras znalazł wzory, które w dzisiejszej symbolice można napisać w postaci: a=2n+1, b=2n(n+1), c=2n 2 +2n+1, (l) (2n+1) 2 +(2n 2 +2n) 2 =(2n 2 +2n+1) 2, gdzie n oznacza dowolną liczbę naturalną. Oto tabelka ułożona na tej zasadzie:

Cosinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej przy tym kącie ostrym do przeciwprostokątnej.

TWIERDZENIE COSINUSÓW Kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków pomniejszonej o podwojony iloczyn tych boków i cosinusa kąta zawartego zawartego między nimi. W dowolnym trójkącie między kątami i bokami zachodzą związki : a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos α b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos β c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos γ Inaczej twierdzenie Carnota, uogólnione twierdzenie Pitagorasa

WNIOSEK Z TWIERDZENIA COSINUSÓW Twierdzenie cosinusów pozwala rozstrzygnąć, czy dany trójkąt jest ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny. Trójkąt jest prostokątny, gdy : a 2 = b 2 + c 2 lub b 2 = a 2 + c 2 lub c 2 = a 2 + b 2 Trójkąt jest ostrokątny, gdy spełnione są jednocześnie wszystkie następujące warunki : a 2 < b 2 + c 2 b 2 < a 2 + c 2 c 2 < a 2 + b 2 Trójkąt jest rozwartokątny, gdy : a 2 > b 2 + c 2 lub b 2 > a 2 + c 2 lub c 2 > a 2 + b 2

Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt „Z FIZYKĄ, MATEMATYKĄ I PRZEDSIĘBIORCZOŚCIĄ ZDOBYWAMY ŚWIAT !!! ” jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA