D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Wykład - Badania panelowe. D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Analiza danych panelowych Wykład 2: Statyczne modele panelowe. dr Dorota Ciołek Katedra Ekonometrii Wydział Zarządzania UG Konsultacje: p. 112 http://wzr.pl/dc dorota.ciolek@ug.edu.pl Copyright by Dorota Ciołek

D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Wykład - Badania panelowe. D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Model Regresji Łącznej (pooled model) Założenia: 1) Mamy do czynienia z homogeniczną próbą – wszystkie jednostki badania są do siebie podobne. - Oznacza to, że parametry szacowanego modelu są jednakowe dla wszystkich jednostek oraz we wszystkich okresach badania. 2) Różnice między empirycznymi wartościami zmiennej endogenicznej, a wartościami teoretycznymi są jedynie efektem działania zakłóceń losowych o tym samym rozkładzie dla każdej i-tej jednostki i dla każdego okresu t. Wybór takiego modelu może być poprzedzony odpowiednim testowaniem (testing poolability of the data). Copyright by Dorota Ciołek

D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Wykład - Badania panelowe. D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Model Regresji Łącznej (pooled model) 1) Test Chowa na stabilności parametrów, uogólniony na N regresji. Kilka wersji testu: - dla modelu ze sferycznym składnikiem losowym o rozkładzie normalnym (składnik losowy ma stałą wariancję i wykazuje brak autokorelacji); - dla modelu ze znaną macierzą wariancji i kowariancji zakłóceń losowych; - dla modelu z nieznaną macierzą wariancji i kowariancji zakłóceń losowych. Hipoteza zerowa: parametry strukturalne są stałe w analizowanej próbie, czyli takie same dla wszystkich jednostek i we wszystkich okresach. 2) Testujemy istotność efektów indywidualnych i okresowych. Copyright by Dorota Ciołek

D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Wykład - Badania panelowe. D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Model Regresji Łącznej (pooled model) Model możemy zapisać jako: gdzie: N- liczba jednostek w próbie, T – liczba okresów, k – liczba zmiennych objaśniających w modelu. Metody estymacji: MNK lub UMNK w przypadku niesferycznego składnika losowego. Copyright by Dorota Ciołek

D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Wykład - Badania panelowe. D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Model z Efektami Ustalonymi (FE) Jednokierunkowy (one-way) Założenia: 1) Każda badana jednostka ma swoją własną specyficzną część zmienności (nie wyodrębniamy efektów specyficznych dla poszczególnych okresów). 2) Efekty indywidualne są stałe w czasie i są nielosowe. . Dla każdej jednostki definiujemy charakteryzujący ją efekt indywidualny . Model możemy zapisać: jest wektorem parametrów strukturalnych. Copyright by Dorota Ciołek

D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Wykład - Badania panelowe. D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Model z Efektami Ustalonymi (FE) Zapis macierzowy: Założenia (do estymacji): 1) oraz są niezależne dla i=1,...,N - zmienne tworzące macierz X są ściśle egzogeniczne, czyli 2) 3) i=1,...,N, j=1,...,N, gdzie I jest macierzą jednostkową, 4) rz(X) = N + K ≤ NT. Copyright by Dorota Ciołek

D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Wykład - Badania panelowe. D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Model z Efektami Ustalonymi (FE) W powyższym modelu nie występuje oddzielny wyraz wolny. Każda z analizowanych jednostek ma swój własny wyraz wolny. Jeżeli chcemy oszacować w modelu oddzielny wyraz wolny, należy: 1) Pominąć jeden z efektów indywidualnych – wówczas interpretacja poszczególne oceny efektów indywidualnych αi interpretowane będą jako odchylenia w stosunku do pominiętej wartości. 2) Jeżeli chcemy oszacować efekty indywidualne jako odchylania od średniej, należy zmienne zerojedynkowe reprezentujące poszczególne jednostki zastąpić odchyleniami od wybranej zmiennej zerojedynkowej (porównaj modele tendencji rozwojowej z wahaniami sezonowymi). Copyright by Dorota Ciołek

D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Wykład - Badania panelowe. D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Model z Efektami Ustalonymi (FE) Najprostszym sposobem uwzględnienia w modelu ustalonych efektów indywidualnych jest wprowadzenie N zmiennych zerojedynkowych, gdzie każda ze zmiennych przyjmować będzie wartość 1 dla danej jednostki i 0 dla pozostałych jednostek. Jeżeli przyjmiemy, że mamy 4 jednostki i 3 okresów, wówczas do macierzy X wprowadzimy następujące kolumny: Zwróćmy uwagę, że im większa liczba jednostek, tym większa liczba zmiennych zerojedynkowych. Oznacza to, że przy odwracaniu macierzy X’X w estymacji MNK mogą wystąpić problemy numeryczne. Copyright by Dorota Ciołek

D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Wykład - Badania panelowe. D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Model z Efektami Ustalonymi (FE) Model FE ze zmiennymi zerojedynkowymi szacujemy MNK (LSDV – LS with dummy variables), pojawia się jednak problem zbyt dużej liczby zmiennych w modelu – zbyt dużego wymiaru macierzy X. Rozwiązanie: Estymator Wewnątrzgrupowy (Within) Zdefiniujmy następujące średnie wartości zmiennych dla każdej i-tej jednostki: Mamy zatem szeregi średnich, każdy po N obserwacji. Copyright by Dorota Ciołek

D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Wykład - Badania panelowe. D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Model z Efektami Ustalonymi (FE) Możemy zapisać wówczas następujący model: Model taki nazywany jest regresją międzygrupową (between group regression) i jest modelem przekrojowym, gdzie wartości zmiennych są średnimi po czasie. Zwróćmy uwagę, że średnia wartość efektu indywidualnego dla i-tej jednostki jest równa , ponieważ efekt ten jest stały w czasie. Jeżeli zapiszemy informacje dla jednej jednostki ze wszystkich okresów w jeden wektor możemy zapisać, że: Copyright by Dorota Ciołek

D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Wykład - Badania panelowe. D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Model z Efektami Ustalonymi (FE) Jeżeli od równania (2) odejmiemy równie (1) otrzymamy wówczas: Zwróćmy uwagę, że poprzez taką transformację z modelu „znika” efekt indywidualny. Dzieje się tak dla każdej jednostki. Poprzez transformację pierwotnych danych do postaci odchyleń od średnich uzyskujemy nowe zmienne: Copyright by Dorota Ciołek

D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Wykład - Badania panelowe. D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Model z Efektami Ustalonymi (FE) Wówczas stosujemy MNK dla przetransformowanych danych: Jest to tzw. estymator wewnątrzgrupowy (within group). Może być zapisany również jako: Copyright by Dorota Ciołek

D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Wykład - Badania panelowe. D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Model z Efektami Ustalonymi (FE) Właściwości: - Estymator within daje identyczne oceny parametrów jak MNK ze zmiennymi zerojedynkowymi. - Nie jest konieczne szacowanie N dodatkowych parametrów reprezentujących efekty indywidualne, jeżeli nie są one przedmiotem zainteresowania. - Jeżeli zainteresowani jesteśmy konkretnymi wartościami efektów indywidualnych, mogą być one oszacowane następująco: - Estymator efektów indywidualnych jest zgodny tylko wówczas, gdy ilość obserwacji po czasie jest duża, Copyright by Dorota Ciołek

D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Wykład - Badania panelowe. D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Model z Efektami Ustalonymi (FE) Estymator macierzy kowariancji definiujemy jako: Nieznaną wartość wariancji zakłóceń losowych , zastępujemy wartością oszacowaną: gdzie są resztami modelu oszacowanego przy pomocy estymatora wewnątrzgrupowego. Z diagonalnych elementów macierzy wyliczamy błędy szacunku estymatora FE. Estymator wariancji ocen parametrów jest zgodny, gdy lub . Copyright by Dorota Ciołek

D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Wykład - Badania panelowe. D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Model z Efektami Ustalonymi (FE) Uwaga: Estymator wewnątrzgrupowy nie może być wykorzystany do modelu, w którym wśród zmiennych objaśniających występują czynniki, które nie zmieniają się w czasie (płeć, rasa, pochodzenie, położenie geograficzne). Czynniki te są współliniowe ze efektami indywidualnymi (nie mogą wchodzić razem do macierzy X). W transformacji within są eliminowane z modelu tak jak efekty indywidualne (problem ten został rozwiązany poprzez zastosowanie estymatorów Hausmana-Taylora). Copyright by Dorota Ciołek

D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Wykład - Badania panelowe. D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Model z Efektami Losowymi (RE) Jednokierunkowy (one-way) Założenia: 1) Każda badana jednostka ma swoją własną specyficzną część zmienności, ale efekt ten nie jest stały w czasie - jest losowy. 2) Efekty indywidualne αi nie zależą od składnika losowego uit i są niezależne pomiędzy różnymi jednostkami. Dlaczego jest stosowany: Efekty indywidualne αi łączą w sobie ogół czynników specyficznych dla danej jednostki, których nie jesteśmy w stanie opisać, czyli podobnie jak składnik losowy stanowią pewną „nieprzewidywalność” – są zmiennymi losowymi. Jeżeli wnioski z badania mają dotyczyć tylko analizowanej grupy jednostek, to możemy stosować estymator FE, jeżeli wnioskowanie chcemy uogólnić na całą populację, powinniśmy wybrać estymator RE. Copyright by Dorota Ciołek

D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Wykład - Badania panelowe. D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Model z Efektami Losowymi (RE) Ogólna postać modelu: gdzie: jest dwuczęściowym składnikiem losowym. Dodatkowe założenia: 1) E(αi)=0, i=1,...,N 2) Efekty indywidualne αi są niezależne od ui oraz Xi dla i=1,...,N 3) Efekty indywidualne dla różnych jednostek są nieskorelowane ale występuje korelacja miedzy efektami z różnych okresów dla tej samej jednostki: Copyright by Dorota Ciołek

D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Wykład - Badania panelowe. D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Model z Efektami Losowymi (RE) Wariancja składnika losowego w modelu RE składa się z dwóch części: gdzie: - wariancja składnika czysto losowego, - wariancja efektów indywidualnych. Uwaga: Składniki losowe w modelu RE są ze sobą skorelowane, czyli MNK przestaje być efektywny dlatego do oszacowania tego modelu musimy zastosować estymator Uogólnionej Metody Najmniejszych Kwadratów. Copyright by Dorota Ciołek

D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Wykład - Badania panelowe. D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Uogólniona Metoda Najmniejszych Kwadratów (Na przykładzie danych czasowych) Załóżmy, że mamy model: W zapisie macierzowym: Jednym z założeń Klasycznej MNK jest brak autokorelacji składników losowych: Jeżeli to założenie nie jest spełnione o: Copyright by Dorota Ciołek

D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Wykład - Badania panelowe. D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Uogólniona Metoda Najmniejszych Kwadratów jest nieznaną macierzą wariancji i kowariancji między składnikami losowymi pochodzącymi z różnych okresów. Idea UMNK polega na wykorzystaniu w estymacji. Formuła tego estymatora przedstawia się następująco: W praktyce oznacza to, że pierwotne obserwacje na zmiennych y i x zostały przekształcone w następujący sposób: oraz Podstawowym problemem jest znalezienie (oszacowanie) macierzy . Copyright by Dorota Ciołek

D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Wykład - Badania panelowe. D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Model z Efektami Losowymi (RE) W zapisie macierzowym: Macierz wariancji i kowariancji dwuczęściowego składnika losowego można ogólnie zapisać jako: Zauważmy, że z założeń o niezależności poszczególnych części składnika losowego wynika, że: dla i≠j E(vivj')=E(αi+ui)(αj+uj)'=E(αiαj')+E(αiuj)+ E(αjui)+E(uiuj')=0, zaś dla i=j E(vivj')=E(αi+ui)(αi+ui)'=E(αi2)+2E(αiui)+ E(uiui')=σα2+ σu2I=ω. Copyright by Dorota Ciołek

D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Wykład - Badania panelowe. D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Model z Efektami Losowymi (RE) Macierz wariancji i kowariancji składników losowych w modelu RE jest macierzą blokowo-diagonalną: W UMNK potrzebujemy odwrotności tej macierzy, a zatem i odwrotności . Można wykazać, że przy przyjętych założeniach: Nieznane wariancje można zastąpić ich ocenami uzyskanymi z oszacowania: - z modelu FE, - z regresji międzygrupowej. Copyright by Dorota Ciołek

D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Wykład - Badania panelowe. D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Model z Efektami Losowymi (RE) Ostateczną postać estymatora UMNK dla modelu z efektami losowymi (RE) można zapisać: gdzie: Przybliżoną wartość losowych efektów indywidualnych można wyznaczyć jako: Copyright by Dorota Ciołek

D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Wykład - Badania panelowe. D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Porównanie Można wykazać następujące zależności: Jeżeli T jest duże, lub jest duża w stosunku do , estymator UMNK dla modelu RE jest bardzo zbliżony do wyników estymacji FE. Jeżeli wariancja efektów indywidualnych jest stosunkowo mała wówczas wyniki oszacowania RE są zbliżone do wyników estymacji modelu regresji łącznej. Zalety i wady modeli FE i RE: Własność Model FE Model RE Efekt indywidualny - możliwości estymacji Może być oszacowany dla poszczególnych jednostek Mogą być oszacowane parametry jego rozkładu w próbie Efekt indywidualny - założenia Niezależny od składnika losowego Niezależny od składnika losowego i zmiennych objaśniających Precyzja oszacowań (przy spełnionych założeniach) Niższa Wyższa Inne ograniczenia Niemożliwość wprowadzenia zmiennych stałych w czasie Copyright by Dorota Ciołek

D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Wykład - Badania panelowe. D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Model z Efektami Ustalonymi (FE) Dwukierunkowy (two-way) Obok efektów indywidualnych αi, uwzględnia również efekty dla specyficzne dla poszczególnych okresów λt , które są stałe dla wszystkich obiektów. Przykład (B. Witkowski, 2003): Modelowanie liczby wypadków spowodowanych przez kierowców: - Oczekiwana liczba wypadków różna dla poszczególnych kierowców (indywidualne charakterystyki). - Oczekiwana liczba wypadków może różnić się dla poszczególnych lat (warunki atmosferyczne, zmiany przepisów, itp.) Copyright by Dorota Ciołek

D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Wykład - Badania panelowe. D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Model z Efektami Ustalonymi (FE) Jeżeli efekty okresowe maja być efektami ustalonymi to, wyraz wolny modelu dzielony jest na dwie części. Możemy zatem zapisać: gdzie: αi- ustalony efekt indywidualny stały w każdym okresie czasu, ale inny (może być inny) dla każdego obiektu w panelu. λt- ustalony efekt okresowy, który ma tę samą wartość dla wszystkich jednostek w panelu w tym samym okresie, ale jest różny (może być różny) w każdym okresie czasu. Należy pamiętać, że nie możemy wprowadzić równocześnie N efektów indywidualnych oraz T efektów okresowych jeżeli chcemy oszacować model - dokładna współliniowość. Copyright by Dorota Ciołek

D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Wykład - Badania panelowe. D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Model z Efektami Ustalonymi (FE) Należy wybrać jeden z trzech sposobów rozwiązania tego problemu: 1 sposób) Wprowadzić N efektów indywidualnych oraz T-1 efektów okresowych (pomijamy efekt dla tego okresu, który jest szczególnie interesujący). W tym przypadku nie mamy oddzielnego wspólnego wyrazu wolnego. 2 sposób) Wprowadzić T efektów okresowych oraz N-1 efektów indywidualnych (pomijamy efekt dla tego obiektu, który jest szczególnie interesujący). Również nie ma wspólnego wyrazu wolnego. 3 sposób) Wprowadzić N-1 efektów indywidualnych, T-1 efektów okresowych oraz dodatkowo oddzielny stały dla wszystkich obserwacji wyraz wolny. Copyright by Dorota Ciołek

D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Wykład - Badania panelowe. D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Model z Efektami Ustalonymi (FE) Metody estymacji: 1) Podobnie jak w przypadku modelu jednokierunkowego wprowadzamy zmienne sztuczne dla wszystkich efektów i szacujemy model MNK ze zmiennymi sztucznymi. 2) Można wyeliminować jedną grupę efektów (indywidualne lub okresowe) poprzez różnicowanie (podobnie jak w modelu jednokierunkowym), a dla drugiej grupy efektów wprowadzić zmienne sztuczne. 3) Można rozwinąć technikę zastosowaną w jednokierunkowym modelu FE – wyeliminować dwie grupy efektów poprzez różnicowanie. Copyright by Dorota Ciołek

D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Wykład - Badania panelowe. D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Estymator Wewnątrzgrupowy (within) dla modelu dwukierunkowego Rozważmy cztery różne modele: Model (a): - Panelowy model z dekompozycją wyrazu wolnego na dwie części: Model (b): - Model uśredniony po czasie– between regression: Model (c): – Model uśredniony po jednostkach: Copyright by Dorota Ciołek

D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Wykład - Badania panelowe. D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Estymator Wewnątrzgrupowy (within) dla modelu dwukierunkowego Model (d): – Obliczamy średnie wartości zmiennych dla wszystkich obserwacji (łącznie po czasie i po jednostkach): (Zauważmy, że model (d) jest tylko pojedynczym równaniem.) Następnie wykonujemy następujące działanie na poszczególnych równaniach stronami: (a) - (b) - (c) + (d) W ten sposób eliminujemy wszystkie efekty ustalone: indywidualne i okresowe: Copyright by Dorota Ciołek

D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Wykład - Badania panelowe. D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Estymator Wewnątrzgrupowy (within) dla modelu dwukierunkowego Jeżeli zdefiniujemy: to możemy zapisać model postaci: Model ten może być oszacowany KMNK na przetransformowanych danych. Copyright by Dorota Ciołek

D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Wykład - Badania panelowe. D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Estymator Wewnątrzgrupowy (within) dla modelu dwukierunkowego Jak znaleźć oceny efektów indywidualnych i okresowych? Załóżmy, że mamy następujący model: w którym wprowadzamy (N-1) + (T-1) zmiennych sztucznych – pomijamy efekty dla pierwszego obiektu α1 oraz dla pierwszego okresu λ1. Możemy oszacować wartość n-tego efektu indywidualnego jako: Musimy pamiętać, że jakość estymacji zależy od liczby obserwacji dostępnych po czasie. Efekty okresowe można oszacować w analogiczny sposób. Copyright by Dorota Ciołek

D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Wykład - Badania panelowe. D. Ciołek Analiza szeregów przekrojowo-czasowych – wykład 2 Estymator Wewnątrzgrupowy (within) dla modelu dwukierunkowego Błędy szacunku w modelach dwukierunkowych: Niech macierz kowariancji estymatorów parametrów: gdzie jako oszacowaną wartość wariancji zakłóceń stosujemy: gdzie są resztami wyliczonymi z estymacji modelu dwukierunkowego, i=1,...,N, t=1,...,T. Copyright by Dorota Ciołek