równoważne Równania równań i nierówności Ćwiczenia w rozwiązywaniu wymiernych. Ze względów dydaktycznych, powtórzymy pojęcia poznane we wprowadzeniu do logiki. Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym.

Dzisiaj jest dobry dzień. Czy uczyła(e)ś się logiki ? Maturzysto, naucz się tabliczki mnożenia ! 5 dzieli n. Ewa jest fajną kumpelką. W 2020 r. będę na Księżycu. Dwie proste na płaszczyźnie, przetną się. Które z powyższych zdań ( w sensie gramatycznym ), jest zdaniem logicznym ? Jak wszyscy wiedzą, żadne. Wypowiedź ( wyrażenie ) któremu jednoznacznie przypiszemy ocenę prawdy ( 1 ), albo ocenę fałszu ( 0 ) nazywamy zdaniem logicznym. Jest oczywiste, że żadne zdanie pytające, żadne zdanie wykrzyknikowe, nie jest prawdziwe, ani nie jest fałszywe. Prawdziwa czy fałszywa, może być odpowiedź na pytanie, czyli zdanie orzekające. Czy zdanie orzekające musi być prawdziwe bądź fałszywe ? Nie, przecież zaznaczone wypowiedzi są typu orzekającego.

n , x , okręgi ( jakieś ). Dzisiaj jest fatalny dzień. Jestem genialny. 7 dzieli n. Polecę na Marsa. Znajdę lekarstwo na raka. Ewa jest wysoką blondynką. W 2020 r. będę w Kosmosie. Dwa okręgi na płaszczyźnie, są styczne. Wprawdzie żadne z powyższych wyrażeń, nie ma oceny prawdy ani fałszu, ale trzy zaznaczone wypowiedzi, są inne od pozostałych, gdyż występują w nich zmienne : n , x , okręgi ( jakieś ). Po podstawieniu w miejsce zmiennych wartości ( liczby, okręgi ), otrzymujemy zdanie logiczne ( prawdę lub fałsz ). Wyrażenie, które nie ma oceny prawdy ani fałszu i zawiera zmienną, nazywamy funkcją ( formą ) zdaniową. Warto zwrócić uwagę na intrygującą wypowiedź : W 2020 r. będę w Kosmosie. Intrygująca dlatego, bo jest inna od pozostałych. Ta wypowiedź, dla nas, teraz, nie ma oceny logicznej, ale.. Dociekliwym podpowiem, że istnieje logika wielowartościowa, stworzona przez polskiego logika J. Łukasiewicza.

. . > > p (n) : 5 dzieli n > > > Wróćmy do funkcji zdaniowej > . p (n) : 5 dzieli n prawda > Za zmienną n podstawiamy . N > liczby naturalne fałsz > N – nazywamy dziedziną ( przestrzenią ) tej funkcji zdaniowej. Interesujący jest zbiór elementów, dla których funkcja zdaniowa zamienia się na zdanie prawdziwe, który nazywamy zbiorem spełniania i oznaczamy ( czyt. zbiór liczb naturalnych n , takich, że zachodzi p(n) ). Wypiszmy kilka elementów zbioru spełniania omawianej funkcji zdaniowej p(n). Weźmy jest wielokrotnością 5 jest liczbą, która w zapisie dziesiątkowym . ma cyfrę jedności jest 0 lub 5. Mam nadzieję, że wszyscy już widzą, że zbiory spełniania funkcji zdaniowych p(n) . q(n) , r(n) są identyczne.

Skąd wiemy, że funkcje zdaniowe : jest wielokrotnością 5 jest liczbą, której cyfrą jedności jest 0 lub 5. spełniają dokładnie te same liczby ? Wynika to z definicji wielokrotności liczby, twierdzenia o dzieleniu iloczynu i cechy podzielności liczb przez 5. Funkcje ( formy ) zdaniowe, które mają identyczne zbiory spełniania, nazywamy równoważnymi co zapisujemy : gdzie - wartość logiczna Tak jak z pojedynczych zdań logicznych, za pomocą spójników ( funktorów zdaniotwórczych ) : i ( ) , lub ( ), jeżeli …. to …. ( ), …. wtedy i tylko wtedy …. ( ) tworzyliśmy zdania złożone, tak samo z pojedynczych form zdaniowych, konstruujemy schematy funkcji zdaniowych. Zbiory spełniania podstawowych schematów funkcji zdaniowych wyznaczaliśmy już w innych prezentacjach

. . . . . . W tejże prezentacji omawialiśmy niektóre zagadnienia z logiki i teorii zbiorów. Przypomnijmy te podstawowe. Niech . Łatwo wykazać, że X . . . A B . . Ważne dla szkolnej edukacji zależności między zbiorami Zdefiniowaliśmy pojęcia zdania logicznego i formy zdaniowej. Warto postawić pytanie, jak z funkcji zdaniowej uzyskać zdanie logiczne ?

Jeden sposób zawarty jest w definicji formy zdaniowej. W miejsce zmiennej funkcji zdaniowej podstawić element z jej przestrzeni ( dziedziny ). Z codziennej praktyki i logiki znamy drugi sposób. „Uczeń naszej szkoły, jest laureatem Olimpiady Matematycznej” Każdy, czytając to zdanie, szuka nazwiska tego ucznia. Powyższa wypowiedź, jest formą zdaniową, gdzie uczeń jest zmienną, a dziedziną zbiór uczniów naszej szkoły. Ale gdy ktokolwiek usłyszy wiadomość : każdy uczeń naszej szkoły, jest laureatem Olimpiady Matematycznej, powie to bzdura. Kto zna osiągnięcia szkoły ( gdy nie, niech skorzysta z internetu ) i choć nie zna nazwiska olimpijczyka, wiadomość „ istnieje uczeń naszej szkoły, który jest laureatem Olimpiady Matematycznej ” stwierdzi, że to prawda lub to fałsz. Te przykłady świadczą, że poprzedzając funkcję zdaniową słowami : każdy, istnieje, zamienia ją na zdanie logiczne. Terminy : każdy, istnieje, nazywamy kwantyfikatorami

< < Kwantyfikatory oznaczamy i nazywamy : każdy : nowa wersja -- duży ( ogólny ) kwantyfikator ( współczesna ) < istnieje : - ” - -- mały ( szczególny ) kwantyfikator Przypomnijmy jeszcze podstawowe twierdzenia o kwantyfikatorach i ich negacji ( prawa rachunku funkcyjnego ) : Te wstępne informacje, podpowiadają niespodziewaną diagnozę ; na lekcjach matematyki, najczęściej posługujemy się wyrażeniami, które nie mają oceny prawdy ani fałszu ; funkcjami zdaniowymi, gdyż od początkowych klas rozwiązujemy równania. Przypomnijmy definicję równania.

Równanie Co to takiego ? Nawet przedszkolak z zerówki wie, że gdy w wyrażeniu „ za Pana Iksa ” podstawimy 2, to otrzymamy prawdę, a w każdym innym przypadku fałsz. Czyli mamy szczególną funkcję ( formę ) zdaniową. Jakiego rodzaju, postaci jest ta funkcja ? Co to jest ? A to ? Funkcja liniowa. Liczba, ale można to uznać za funkcję stałą. Chyba mamy już definicję równania. Równaniem nazywamy funkcje zdaniową postaci : gdzie są funkcjami zmiennej x. Kto jeszcze nie wie dlaczego napisałem „ chyba ”, niech przypomni sobie definicję funkcji. Czego zabrakło ? Zapomnieliśmy o dziedzinach funkcji. Równaniem nazywamy funkcje zdaniową postaci : gdzie są funkcjami zmiennej x , i dziedziną równania jest iloczyn dziedzin tych funkcji.

. . Dla ciekawości pokażę, jak przed pół wieku temu uczniowie 2 – giej kl. szk. podst. rozwiązywali równanie ∙ 2 . > > + 1 Kreślimy graf równania . Teraz wykonujemy operacje odwrotne. 2 = 4 ? 5 > > : 2 - 1 Mówimy wtedy, że liczba 2 „ spełnia ” równanie, lub 2 jest rozwiązaniem równania. Obecnie wszyscy równanie rozwiążą tak od obu stron odejmujemy 1 obie strony dzielimy przez 2 Liczbę 2, która po podstawieniu w miejsce niewiadomej zamienia funkcję zdaniową na zdanie prawdziwe nazywamy rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania. Co powiemy o tych równaniach ? Czy są takie same ? Oczywiście, że nie. To czemu zajmujemy się innymi równaniami ? Są inne, ale mają wspólną własność. Jaką ? 2 Jest pierwiastkiem każdego równania ( łatwo sprawdzić ), czyli te równania ( funkcje zdaniowe ) są równoważne. Te uwagi podpowiadają, że równania będziemy rozwiązywać przekształcając je na równania równoważne.

Rozwiążmy równanie : 1. wymnażamy 2. od obu stron dodajemy - 7- 5x i redukujemy 3. obie strony dzielimy przez 7 Tym razem wprawdzie nie od razu widać, że - 1 jest pierwiastkiem każdego równania, ale łatwo to sprawdzić. Podejrzewamy, że wykonując wskazane czynności 1 , 2, 3 otrzymujemy równania równoważne. Oczywiście, trzeba to udowodnić. Sformułujmy twierdzenia. Weźmy dowolny pierwiastek x0 równania Wtedy Ponieważ więc Zatem, każdy pierwiastek równania jest pierwiastkiem równania i odwrotnie, czyli te równania są równoważne.

1. Sformułujmy to twierdzenie słownie : Jeżeli w równaniu, jakieś wyrażenie ( funkcję ) zastąpimy wyrażeniem ( funkcją ) równym mu tożsamościowo, to otrzymamy równanie równoważne danemu. Najczęstszymi tożsamościami stosowanymi w szkolnej matematyce, są tożsamości ( prawa ) znane z arytmetyki i algebry, np. ( a, b, c dowolne liczby lub wyrażenia algebraiczne ) rozdzielność „ ∙ ” w/g „ + ” łączność „ ∙ ” itd…. Rozwiążmy równanie : wykonujemy działania Tw. 1 redukujemy Tw. 1 do obu stron dodajemy Tw. 2, 1 obie strony dzielimy przez 19 Tw. 3 (?) Jedynym pierwiastkiem równania jest

Określmy dalsze twierdzenia o równaniach równoważnych. Jeżeli do obu stron równania, dodamy to same wyrażenie ( funkcję ), to otrzymamy równanie równoważne danemu. Sformułowaliśmy twierdzenie zgodnie z tym, co wykonywaliśmy w przytoczonych przykładach. Ale doświadczenie uczy nas, by na wyższych etapach matematycznej edukacji, dociekliwiej przyglądać się dotychczasowym i nowym definicjom, założeniom twierdzeń. W liceum poznaliśmy funkcje, nieznane w gimnazjum ( funkcje wymierne, niewymierne, wykładnicze, logarytmiczne ), stąd powyższe twierdzenie, być może trzeba zweryfikować. Weźmy banalne równanie : do obu stron równania dodajemy Czy te równania są równoważne ? Nie. Pierwiastkiem pierwszego równania jest - 2, a drugie nie ma pierwiastka ( równania mają różne dziedziny ).

2. 3. równania nie są równoważne pierw. - 2 pierw. brak Poprawmy twierdzenie, dokładając warunek Sformułujmy twierdzenie słownie. 2. Jeżeli do obu stron równania, dodamy tą samą funkcję, w dziedzinie której zawiera się dziedzina równania, to otrzymane równanie jest równoważne danemu. W przykładach, obie strony równania dzieliliśmy ( mnożyliśmy ) przez liczbę. 3. Jeżeli obie strony równania, pomnożymy tą samą funkcję, w dziedzinie której zawiera się dziedzina równania i która przyjmuje wartości różne od zera , to otrzymamy równanie równoważne danemu. Niestety, jest to fałsz. Kto zna definicję dzielenia, ten wie dlaczego.

Równania rozwiązujemy metodą równań równoważnych. Rozwiąż równania : a ) b ) c ) Równania rozwiązujemy metodą równań równoważnych. stosując odpowiednie twierdzenia. ad a ) Tw. 3 Tw. 1 Tw. 2 ,1 Tw. 3 Pierwiastkiem równania jest ad b ) Do rozwiązania równania, należy przypomnieć sobie definicję i własności wartości bezwzględnej. Warto mieć banalną wiedzę ( z gimnazjum ): Warto mieć wartość bezwzględną po jednej stronie. może być ujemne lub dodatnie

Równanie nie ma rozwiązania. Prawa strona może być ujemna lub dodatnia Równanie nie ma rozwiązania. Kto widzi wykresy funkcji . . . wie, że równanie nie ma rozwiązania. . ad c ) To równanie jest zdecydowanie inne od poprzednich, w których występowały tylko funkcje liniowe. W tym równaniu, pojawiła się funkcja niewymierna, której dziedziną nie jest R . Wyznaczmy dziedzinę równania.

Jak rozwiązać to równanie niewymierne ? Wszyscy zgodnym chórem, odpowiedzą ; pozbyć się pierwiastka. Jak ? I znowu, wszyscy stwierdzą ; podnieść do kwadratu. Zawsze dopytuję ; co podnieść do kwadratu. I tym razem dopowiedzenie jest oczywiste : obie strony równania. Jakie pytania teraz powinny paść ? Czy wolno ? Jeżeli tak, to na jakiej podstawie ( twierdzenia ) ? Zanim odpowiemy na te pytania, wykonajmy tą czynność. Za często pojawia się równanie : Na komentarz ; źle, najczęstsza reakcja, to zmiana znaku. Gdy słyszą „ jeszcze gorzej ”, uczniowie są skołowani. Niestety uczniowie nie zmuszani do uzasadniania swoich kroków, stosują „ swoje” niby matematyczne reguły ( bo mnie się tak wydaje ). Dopiero, gdy zmuszeni do nazwania wyrażenia uświadamiają sobie, że należy różnicę podnieść do kwadratu, co nie znaczy, że wykonają to poprawnie. Ostatecznie otrzymamy :

Czy warto było obie strony równania podnosić do kwadratu ? Nie tylko, nie uwolniliśmy się od pierwiastka, ale otrzymaliśmy równanie bardziej skomplikowane. Czy zrezygnować z naszego pomysłu ? Mam nadzieję, że wszyscy powiedzą, nie. Przekształćmy równanie, izolując pierwiastek. Jak to równanie mógłby rozwiązać gimnazjalista ? Ponieważ pierwiastkiem jest 5. Czy nasz wniosek jest poprawny ? Nie, bo … Nie wiemy, czy podnosząc obie strony równania do kwadratu, otrzymamy równanie równoważne danemu. Kto ma dobrą intuicję ( bardzo się przydaje ) lub doświadczenie, kto przypuszcza, że nie, szuka kontrprzykładu, kto, że tak, musi udowodnić.

Czy Jak zwykle, by móc przypuszczać jaka jest odpowiedzieć, warto sprawdzić na prostych, wręcz banalnych przykładach. obie strony równania podnosimy do kwadratu Czy Nie, bo ….. Niestety, na podstawie naszych dotychczasowych uzasadnień, nie mamy prawa twierdzić, że 5 jest pierwiastkiem równania. Kiedy będziemy tego pewni ? Jak zwykle, są co najmniej dwa wyjścia. Jedno, sprawdzić. Drugie, poprawić twierdzenie. Czy pierwsza droga, niektórym, przypomina coś ? Kto nie słyszał o metodzie analizy starożytnych, niech zapozna się z prezentacją ?????? Aby sformułować odpowiednie twierdzenie, przypomnijmy odpowiednie własności dla liczb. Czy dla dowolnych liczb a , b ?

O tym, że jest to fałsz, wiedzą uczniowie V – tej kl. szk. podst. Czy O tym, że jest to fałsz, wiedzą uczniowie V – tej kl. szk. podst. ( np. a = 2 , b = - 2 ). Jakie warunki, byłyby równoważne ? Są dwie możliwości. Sformułujcie analogiczne twierdzenia ( tw. 4a , 4b ) dotyczące równań równoważnych. Znajdź pierwiastki równania Równanie rozwiążemy metodą równań równoważnych, stosując odpowiednie twierdzenia. Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej liczby tw. 2 tw. 2 obie strony równania dodatnie tw. 4a obie strony równania dodatnie tw. 4a

Nawet licealistom, którzy rozwiązywaliby te równania za pomocą delty, proponuję wyznaczyć pierwiastki równania, stosując grupowanie wyrazów. Pierwiastkami równania są liczby Warto podkreślić, że w zasadzie do rozwiązywania równań z którymi spotykamy się w szkolnej edukacji wystarczają poznane twierdzenia. A jak rozwiązujemy nierówności ? Już w szkole podstawowej znaliśmy odpowiedź, prawie tak samo. Różnica dotyczy tylko wtedy, gdy mnożymy obie strony nierówności, co wynika z monotonii mnożenia liczb.

Prawa monotonii mnożenia : dowolne liczby rzeczywiste Przystępując do rozwiązywania nierówności, należy zauważyć, że definicja nierówności i pojęcia z nią związane są analogiczne do definicji i pojęć, omawianych w teorii równań. Sformułujcie odpowiednie twierdzenia : tw. 3a, 3b o nierównościach równoważnych. Z rozwiązaniem nierówności nie powinien mieć kłopotu gimnazjalista, A jak rozwiązać taką nierówność Odpowiedź jest prosta. Tak samo. Oczywiście, są pewne dodatkowe elementy.

Należy wyznaczyć dziedzinę nierówności. Teraz byłoby fajnie pozbyć się ułamków, mnożąc obie strony nierówności np. przez Czy rozwiązując równanie obie jego strony mnożyliśmy przez 2 ∙ 4 ∙ 8 ? Wygodniej ( mniej liczenia ) pomnożyć przez NWW ( 2 , 4, 8 )= 8 Ponieważ więc Zatem, aby pozbyć się ułamków, wystarczy obie strony nierówności pomnożyć przez Czy rzeczywiście możemy tak uczynić ? Kto zaaprobuje, ten nie zna praw monotonii mnożenia ( przypomnianych w poprzednim slajdzie ). Możemy mnożyć przez wyrażenie, które jest zawsze dodatnie, lub stale ujemne, a wyrażenie dla pewnych x jest ujemne, dla innych dodatnie.

Jak zatem rozwiązać nierówność Są, jak zwykle, co najmniej dwa wyjścia. Jedno ; nie mnożyć. Wykonujmy to, co można, co potrafimy wykonać. Po obu stronach wykonajmy odejmowanie. Co dalej ? Klasa V – ta. Kiedy iloraz jest dodatni ? Tą nierówność a tą nierówność potrafi rozwiązać może rozwiązać drugoklasista z liceum gimnazjalista

Rozwiązując nierówność 3 –go stopnia, należy powołać się na twierdzenie o pierwiastkach wielomianów i uzasadnić sposób rozwiązywania nierówności iloczynowej. Wprawdzie nierówności nie rozwiązaliśmy, ale warto byłoby prześledzić tą drogę i zastanowić się czy nie można jej usprawnić, skrócić. Wróćcie do poprzedniego slajdu. Przeanalizujcie czynności. Macie pomysł ? Dodawaliśmy ułamki po jednej stronie nierówności, potem po drugiej, by po przeniesieniu ułamka na lewą stronę, dodawać po raz trzeci. Efektywniej byłoby dodać tylko raz. Jakim cudem ? Przenieść wszystkie wyrażenia na jedną stronę i dodać. Mamy wytyczoną jedną drogę rozwiązywania nierówności wymiernych ( z ułamkami algebraicznymi ).

1. Wyznaczamy dziedzinę nierówności. Wykorzystując doświadczenie, rozwiążmy nierówność Nierówność rozwiązujemy metodą nierówności równoważnych, stosując odpowiednie twierdzenia. Sposób rozwiązywania, mniej więcej znamy, a teraz kolejne kroki wypunktujemy. 1. Wyznaczamy dziedzinę nierówności. Aby podać dziedzinę, wygodnie jest rozłożyć mianowniki na czynniki pierwsze. 2. Przenosimy wyrazy na jedna stronę i dodajemy. tw. 2 NWW mianowników : Kolejne składniki rozszerzamy przez czynniki dopełniające ( te czynniki, których nie ma w mianowniku, a są w NWW )

3. Wykonujemy zaznaczone działania. NWW mianowników : 3. Wykonujemy zaznaczone działania. Kolejne składniki rozszerzamy przez czynniki dopełniające tw. 1 tw. 1 tw. 1 Na każdym etapie rozwiązywania, warto przyjrzeć się postaci wyrażeń ( czy widać zastosowanie wzorów ). tw. 1 Wyrażenia są zawsze nieujemne, więc z arytmetyki tw. 3a Nierówność powinien rozwiązać każdy gimnazjalista

Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba z przedziału ( -1 , 1 ). Ta nierówność rozwiążmy idąc inną drogą, mnożąc obie strony nierówności przez wyrażenie ( funkcję ). Widać, że NWW mianowników : Ale mnożyć możemy wtedy, gdy wyrażenie musi mieć stały znak, czyli trzeba rozpatrzyć przypadki. Zbadać kiedy potrafi gimnazjalista ( niejeden zdziwi się, że ma taką wiedzę ). Teraz możemy przystąpić do mnożenia nierówności ( ? ). zwrot nierówności zmieniony NWW ujemne NWW dodatnie zwrot nierówności ten sam

Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba NWW mianowników : patrz wyżej Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba ze zbioru ( -4 , 10 ] \ { 4 }. Który z tych sposobów rozwiązywania nierówności jest efektywniejszy ? Teraz nikt się nie zdziwi, że drugą drogę nie wybierzemy.

Kilka slajdów wcześniej, sugerowałem, że może jest trzecia droga rozwiązywania nierówności. Bywają uczniowie, którzy pokazują inną drogę. To jak rozwiązują ? Odpowiadają ; tak pokazał profesor(ka ). Przełykają gorzką pigułkę, gdy pada komentarz ; wykonujesz rozkazy „ jak biedny baranek ( owieczka ) ”. Jak jeszcze inaczej rozwiązać nierówność ? NWW mianowników : Aby uwolnić się od ułamków, obie strony nierówności mnożyliśmy przez iloczyn który przyjmuje wartości dodatnie, oraz ujemne. Co zrobić, by z wyrażenia otrzymać wyrażenie zawsze dodatnie ? Ależ to proste ! Podnieść do kwadratu.

Równanie rozwiązujemy metodą nierówności równoważnych, stosując odpowiednie twierdzenia. tw. 4a Ponieważ nie mnożyliśmy przez najmniejszy mianownik, warto przekształcać tak, by skrócić obliczenia. tw. 1 Widać wspólny czynnik ( ale nie dzielimy ! (?) ). tw. 2,1 tw. 1 tw. 1 tw. 1 Ponieważ, już uczniowie V – kl. szk. podst. wiedzą, kiedy iloczyn trzech liczb jest ujemny, to gimnazjaliści potrafią ta nierówność. Licealiście rozwiążą po swojemu najczęściej nie wiedząc, dlaczego to robią. Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba ze zbioru

Trochę namęczyliśmy się. ale gdybyśmy nierówność przekształcali bezrefleksyjnie wymnażając iloczyny, otrzymalibyśmy sumę dwudziestu kilku składników. Mnożenie, pisanie, redukowanie, zajęłoby trochę czasu. Mamy więc, jeszcze jedno doświadczenie, że nie warto mechanicznie, bezmyślnie wykonywać zaznaczone operacje, ale uważnie obserwować, czy nie można uprościć, ułatwić sobie rozwiązanie zadania. Rozwiązywaliśmy nierówności trzema sposobami. Który z nich jest efektywniejszy ? Sądzę, że mając trochę doświadczenia, znacie odpowiedź. To zależy od postaci nierówności. Rozwiązując nierówność : wykorzystamy pierwszy sposób ( przenosimy na jedną stronę ), ale nierówność wygodniej rozwiązać mnożąc obie strony nierówności przez

Zapraszam Koniec prezentacji Na koniec prezentacji podkreślmy, że termin „ metoda rozwiązywania równań ( nierówności ) równoważnych ” mówi o logicznym uzasadnieniu rozwiązywania nierówności, zaś sposób rozwiązywania dotyczy drogi, wskazania kroków do znalezienia pierwiastków nierówności. Dalsze sposoby rozwiązywania równań i nierówności od typów funkcji, które w nich występują. Zapraszam do dalszych prezentacji o funkcjach i rozwiązywaniu równań. Opr. WWWęgrzyn i-lo. tarnów. Bardzo proszę o krytyczne przeanalizowanie prezentacji i przekazanie uwag, by po korekcie, można było ją uznać za poprawną. Z góry dziękuję. tel. 14 690 87 61 belferww@ op.pl Koniec prezentacji

za wszystko odpowiadał nasz mózg.