Metody Matematyczne w Inżynierii Chemicznej Podstawy obliczeń statystycznych

STSTYSTYKA - definicje Zastosowanie matematycznego rachunku prawdopodobieństwa do próbek tak, by – wnioski dotyczące populacji wysnute na ich podstawie można było umieścić w określonych granicach. –określić czy jakiś parametr wpływa na uzyskane wyniki Gromadzenie danych przez urzędy i instytucje (np. GUS)

Rozkłady zmiennej losowej

Zmienna losowa Zmienna, której wartość nie jest jednoznacznie określona (jej wartość może się zmieniać). Różne wartości zmiennej losowej mają zwykle różne prawdopodobieństwo pojawienia się. Zmienne losowe mogą być: –dyskretne (skokowe) o skończonym/policzalnym zbiorze wartości –ciągłe – zbiór wartości jest nieskończony (przedział liczb rzeczywistych)

Rozkład zmiennej losowej Jest to funkcja związana z prawdopodobieństwem pojawienia się pewnych wartości danej zmiennej losowej (opis wartości przyjmowanych przez zmienną losową przy pomocy prawdopodobieństw z jakim są one przyjmowane)

Rozkład zmiennej losowej Rozróżnia się dwa typy takich funkcji: –dystrybuanta – określa prawdopodobieństwo wystąpienia wartości zmiennej losowej x mniejszej lub równej pewnej wartości x F(x) = P(x<x) Funkcja ta jest zawsze niemalejąca. –gęstość prawdopodobieństwa – jest to pochodna dystrybuanty –określa prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienna losową x wartości równej x

Najpopularniejsze rozkłady zmiennej losowej Rozkład jednostajny Rozkład dwumianowy (Bernouliego) Rozkład Poissona Rozkład normalny (Gaussa)

Rozkład jednostajny Zmienna może przyjąć dowolną wartość z przedziału od a do b z takim samym prawdopodobieństwem ciągły dyskretny

Rozkład dwumianowy (Bernoulliego) to dyskretny rozkład prawdopodobieństwa opisujący ilość sukcesów r w ciągu n niezależnych prób, z których każda ma stałe prawdopodobieństwo sukcesu równe p.

Rozkład dwumianowy (Bernoulliego) Zastosowanie: –Obliczenie prawdopodobieństwa zajścia jakiegoś zdarzenia w próbce przy znanym prawdopodobieństwie w populacji i liczebności próbki –Obliczenie przedziału, w którym mieści się rzeczywista liczebność w populacji przy znanej liczebności w próbce i założonym prawdopodobieństwie

r n p Rozkład dwumianowy, obliczenie w Excelu Funkcja statystyczna: ROZKŁAD.DWUM

Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego Skumulowany = 0 p=0,05, n=100

Dystrybuanta rozkładu dwumianowego (Bernoulliego) Skumulowany = 1 p=0,05, n=100

Rozkład dwumianowy W praktyce najczęściej dysponujemy próbką i na tej podstawie wyciągamy wnioski dotyczące populacji. Znając częstość w próbce, częstość w populacji może być taka sama a prawdopodobieństwo jej wystąpienia będzie wynosić tyle ile max. na wykresie gęstości prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwo pochodzenia próbki z populacji o innej częstości będzie mniejsze ale nie zerowe

Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego jako funkcja częstości w populacji p. Skumulowany = 0 r=5, n=100

Rozkład dwumianowy Można sporządzić wykres dystrybuanty (prawdopodobieństwa skumulowanego) jako funkcji częstości w populacji dla danej ilości sukcesów w próbce.

Dystrybuanta rozkładu dwumianowego (Bernoulliego) w funkcji p. Skumulowany = 1 r=0..5, n=100

Z takiego wykresu można wywnioskować z prawdopodobieństwem ok. 97.5%, że 5 zdarzeń na 100 w próbce może zajść jeżeli w populacji częstość p wynosi do 11% –z prawdopodobieństwem popełnienia błędu ok. 2,5% można stwierdzić, że jeżeli w próbce jest 5 zdarzeń na 100 to w populacji częstość wynosi do 11%

Wystąpienie od 0 do 5 zdarzeń w próbce jest niejednoznaczne. Interesujące jest wystąpienie dokładnie 5 zdarzeń W tym celu wykorzystuje się dodatkowo dystrybuantę zajścia od 5 do 100 w próbce. połączenie tych dwóch dystrybuant (ich część wspólna to r=5) pozwala znaleźć związek między próbką a populacją.

Dystrybuantę można wyznaczyć obliczając prawdopodobieństwo wystąpienia od 0 do 4 zdarzeń i odejmując je od 1

Dystrybuanta prawd. wystąpienia od r do n zdarzeń jako funkcja p

Z wykresu można odczytać, że prawdopodobieństwo takie przekracza wartość 2,5% dla częstości w populacji na poziomie 2% Łącząc te dwie dystrybuanty otrzymamy symetryczny przedział ufności, odrzucający rozkłady w populacji mogące wystąpić rzadziej niż 2,5%+2,5%=5%

Przedział ufności rozkładu dwumianowego (Bernoulliego) Skumulowany = 1 r=5, n=100

Przedział ufności rozkładu dwumianowego Sposób obliczania granic przedziału w Excelu: –Górna granica przedziału ufności: Obliczamy P skumulowane dla danego r i n oraz wstępnie założonej częstości w populacji p znajdujemy takie p (funkcja szukaj wyniku), przy którym P osiąga wartość (1-PU)/2, gdzie PU to pożądany poziom ufności –Dolna granica przedziału ufności Obliczamy 1-P skumulowane dla danego r-1 (dla r=0 przyjąć r-1=0) i n oraz wstępnie założonej częstości w populacji p znajdujemy takie p (funkcja szukaj wyniku), przy którym P osiąga wartość (1-PU)/2, gdzie PU to pożądany poziom ufności

Rozkład Poissona Definicja: Granicą do jakiej dąży rozkład dwumianowy, gdy częstość w populacji p maleje oraz rozmiar próbki rośnie jest rozkład Poissona. Prawdopodobieństwo, że zdarzenie zajdzie w próbce dokładnie r razy oblicza się z następującego równania: Gdzie: m = n·p, czyli jest to średnia wartość oczekiwanych zdarzeń w próbce.

Rozkład Poissona r n*p

Rozkład normalny - Gaussa DEFINICJA równanie krzywej normalnej jako gęstości prawdopodobieństwa y lub częstości względnej, wyrażonej jako funkcja zmiennej losowej x ma postać: gdzie:  – średnia wartość zmiennej x  – odchylenie standardowe

Rozkład normalny - gęstość prawdopodobieństwa  = 20 

Rozkład normalny - dystrybuanta  = 20 

Rozkład normalny - Gaussa

Zmienna standaryzowana: każdą wartość zmiennej losowej x można wyrazić w ilościach jednostek z odchylenia standardowego – zmienna taka jest uniwersalna, niezależna od zmiennej losowej. Wartość średnia wynosi 0

Rozkład Gaussa Poziom istotności Poziom ufności

Miary zmienności

Miary tendencji centralnej Wartość średnia (średnia arytmetyczna) Wartość modalna –Wartość występująca najczęściej Mediana –Wartość, przy której dystrybuanta osiąga 0,5 Średnia geometryczna

Miary zmienności Odchylenie standardowe –Oszacowanie odchylenia standardowego na podstawie próbki

Miary zmienności Wariancja

Excel Testy statystyczne

Test  2 Dotyczy zmiennych zliczeniowych (enumeracyjnych) Wprowadził go Karol Pearson w 1899 r. Opiera się na stosunku rzeczywistej i oczekiwanej częstości wystąpienia jakiegoś zdarzenia losowego. Z – zaobserwowana częstość występowania danego zdarzenia O – oczekiwana częstość występowania danego zdarzenia

Test  2 Wartość  2 jest miara odchyleń rzeczywistych zdarzeń od oczekiwań

Test  2 - hipoteza zerowa Do zastosowania rozkładu  2 potrzebna jest podstawa do określenia wartości oczekiwanych: –Wyniki poprzednich doświadczeń –Wartość przyjęta a‘priori Niezależnie od określenia wartości oczekiwanej stawia się hipotezę, że wyniki zaobserwowane z próbki są takie jak oczekiwane

Test  2 Wartości  2 jakich można oczekiwać przy danej liczbie stopni swobody (ilości niezależnych pomiarów) z określonym prawdopodobieństwem zestawione są w tabelach Można je wyliczyć za pomocą np. Excela LUB

Test  2

Hipotezę zerowa można dla tego przykładu obalić z prawdopodobieństwem popełnienia błędu wynoszącym ponad 35%

Test  2

Test t Dotyczy oszacowania prawdziwej średniej  w populacji na podstawie średniej x próbki oraz ustalenia przedziału ufności, w granicach którego mieści się prawdziwa wartość Wartość t definiuje wzór analogiczny do zmiennej standaryzowanej: Oszacowany błąd standardowy

Oszacowane odchylenie standardowe populacji s(x)

Test t Zmienną t na określonym poziomie ufności można odczytać z tabel lub obliczyć za pomocą programów z funkcjami statystycznymitabel Wartość t zależy od ilości stopni swobody Jeżeli obliczona t jest większa od odczytanej to z prawdopodobieństwem popełnienia błędu  p hipotezę zerową można odrzucić

Wartość t

Oszacowany błąd standardowy Oblicza oszacowane odchylenie std. w populacji Oblicza ilość danych n

Wykorzystanie testu t, przykład.

Test t dostępny w Excelu służy do porównania dwóch próbek 1Sparowany 2Wariancja równa dla dwóch prób 3Wariancja nierówna dla dwóch prób

Sposób wykorzystania testu t z Excela do porównania ze średnią założoną

Test t Oszacowanie prawdziwej średniej – przedział ufności –Funkcja t przedstawia rozkład odchyleń x śr od  w funkcji prawdopodobieństwa wystąpienia tych odchyleń –Z przekształconego równania definicyjnego Z podanym w tablicach prawdopodobieństwem popełnienia błędu prawdziwa średnia mieści się w tym przedziale przedział ufności nazywa się zazwyczaj jako (1-p)100% np. poziom istotności 0,05 to poziom ufności jest 95%