FRAKTALE FIGURY LISSAJOUSA Magdalena Szorc informatyka +

RYSOWANIE FIGUR FRAKTALNYCH PROGRAM WYKŁADU POJĘCIE FRAKTALA RYSOWANIE FIGUR FRAKTALNYCH Krzywa Kocha Krzywa smocza Trójkąt Sierpińskiego POJĘCIE KRZYWEJ LISSAJOUS RODZAJE KRZYWEJ LISSAJOUS informatyka +

POJĘCIE FRAKTALA informatyka + Fraktale to twory geometryczne, które wykazują samopodobieństwo, to znaczy, że fragment figury jest podobny do niej całej. Fraktal powstaje w wyniku nieskończonego ciągu operacji (co jest oczywiście nie do zrealizowania przy pomocy komputera), ale w praktyce wystarczy ich kilka tysięcy, aby zobaczyć istotne cechy takiej figury. Fraktale na płaszczyźnie możemy rysować na dwa sposoby: jako zbiory punktów lub jako zbiory odcinków. Zajmiemy się najpierw pierwszym przypadkiem. Prace nad systemem telewizji kolorowej, rozpoczęły się w połowie lat 50. XX wieku w Stanach Zjednoczonych. Nowy system musiał spełniać następujące założenia: nie mógł znacząco komplikować budowy odbiorników telewizji kolorowej, co mogło by wpływać na koszt produkcji odbiornika telewizyjnego i zmniejszyć jego dostępność dla widza ze względu na cenę; należało przyjąć zasadę odpowiedniości, czyli możliwości odbioru programu telewizji nadawanego w kolorze na odbiornikach czarnobiałych i odwrotnie; powinno być możliwe wykorzystywanie dotychczasowych kanałów częstotliwości do przesyłania sygnałów telewizji kolorowej, nie powodując zakłóceń w kanałach sąsiednich; jakość przesyłanego sygnału powinna być wysoka i zaspakajać wymagania widza. informatyka +

RYSOWANIE FIGUR FRAKTALNYCH Należy stworzyć (prawie) nieskończonego ciągu punktów zgodnie z pewnymi regułami. Wybór punktu początkowego jest zupełnie bez znaczenia. Wystarczy więc wybrać dowolny punkt P(x, y), zaznaczyć go na płaszczyźnie i obliczyć współrzędne następnego punktu o współrzędnych (x', y') według poniższych wzorów: x' = ax + by + c y' = dx + ey + f Zestaw ustalonych parametrów (a, b, c, d, e, f) wyznacza nam sposób „przejścia” do nowego punktu. Nowy punkt zaznaczamy na płaszczyźnie i obliczamy współrzędne kolejnego punktu, i tak dalej. Im więcej punktów wyznaczymy, tym rysunek będzie wyraźniejszy. Prace nad systemem telewizji kolorowej, rozpoczęły się w połowie lat 50. XX wieku w Stanach Zjednoczonych. Nowy system musiał spełniać następujące założenia: nie mógł znacząco komplikować budowy odbiorników telewizji kolorowej, co mogło by wpływać na koszt produkcji odbiornika telewizyjnego i zmniejszyć jego dostępność dla widza ze względu na cenę; należało przyjąć zasadę odpowiedniości, czyli możliwości odbioru programu telewizji nadawanego w kolorze na odbiornikach czarnobiałych i odwrotnie; powinno być możliwe wykorzystywanie dotychczasowych kanałów częstotliwości do przesyłania sygnałów telewizji kolorowej, nie powodując zakłóceń w kanałach sąsiednich; jakość przesyłanego sygnału powinna być wysoka i zaspakajać wymagania widza. informatyka +

A teraz czas na kilka prostych wzorów generujących znane fraktale. RYSOWANIE FIGUR FRAKTALNYCH Obraz fraktalny powstanie wówczas, gdy będziemy dysponować dwoma (lub więcej) zestawami odpowiednio dobranych parametrów (a, b, c, d, e, f) i w sposób losowy dokonamy wyboru, który zestaw zastosujemy. A teraz czas na kilka prostych wzorów generujących znane fraktale. Prace nad systemem telewizji kolorowej, rozpoczęły się w połowie lat 50. XX wieku w Stanach Zjednoczonych. Nowy system musiał spełniać następujące założenia: nie mógł znacząco komplikować budowy odbiorników telewizji kolorowej, co mogło by wpływać na koszt produkcji odbiornika telewizyjnego i zmniejszyć jego dostępność dla widza ze względu na cenę; należało przyjąć zasadę odpowiedniości, czyli możliwości odbioru programu telewizji nadawanego w kolorze na odbiornikach czarnobiałych i odwrotnie; powinno być możliwe wykorzystywanie dotychczasowych kanałów częstotliwości do przesyłania sygnałów telewizji kolorowej, nie powodując zakłóceń w kanałach sąsiednich; jakość przesyłanego sygnału powinna być wysoka i zaspakajać wymagania widza. informatyka +

RYSOWANIE FIGUR FRAKTALNYCH Krzywa Kocha: x' = 0,5x + 0,29y lub x' = 0,5x – 0,29y + 1,5 y' = 0,29x - 0,5y y' = –0,29x – 0,5y + 0,87 Prace nad systemem telewizji kolorowej, rozpoczęły się w połowie lat 50. XX wieku w Stanach Zjednoczonych. Nowy system musiał spełniać następujące założenia: nie mógł znacząco komplikować budowy odbiorników telewizji kolorowej, co mogło by wpływać na koszt produkcji odbiornika telewizyjnego i zmniejszyć jego dostępność dla widza ze względu na cenę; należało przyjąć zasadę odpowiedniości, czyli możliwości odbioru programu telewizji nadawanego w kolorze na odbiornikach czarnobiałych i odwrotnie; powinno być możliwe wykorzystywanie dotychczasowych kanałów częstotliwości do przesyłania sygnałów telewizji kolorowej, nie powodując zakłóceń w kanałach sąsiednich; jakość przesyłanego sygnału powinna być wysoka i zaspakajać wymagania widza. informatyka +

RYSOWANIE FIGUR FRAKTALNYCH Krzywa smocza: x' = -0,4x – 1 lub x' = 0,76x – 0,4y y' = -0,4y + 0,1 y' = 0,4x + 0,76y Wyboru wzorów należy dokonać z równym prawdopodobieństwem, zatem można przyjąć, że jeśli liczba losowa jest mniejsza od 0,5, wtedy wybieramy pierwszy wzór, a przeciwnym przypadku – drugi wzór. Prace nad systemem telewizji kolorowej, rozpoczęły się w połowie lat 50. XX wieku w Stanach Zjednoczonych. Nowy system musiał spełniać następujące założenia: nie mógł znacząco komplikować budowy odbiorników telewizji kolorowej, co mogło by wpływać na koszt produkcji odbiornika telewizyjnego i zmniejszyć jego dostępność dla widza ze względu na cenę; należało przyjąć zasadę odpowiedniości, czyli możliwości odbioru programu telewizji nadawanego w kolorze na odbiornikach czarnobiałych i odwrotnie; powinno być możliwe wykorzystywanie dotychczasowych kanałów częstotliwości do przesyłania sygnałów telewizji kolorowej, nie powodując zakłóceń w kanałach sąsiednich; jakość przesyłanego sygnału powinna być wysoka i zaspakajać wymagania widza. informatyka +

RYSOWANIE FIGUR FRAKTALNYCH Trójkąt Sierpińskiego: x' = λx lub x' = λx + 2 lub x' = λx + 1 y' = λy y' = λy + √3 y' = λy + √3 Prace nad systemem telewizji kolorowej, rozpoczęły się w połowie lat 50. XX wieku w Stanach Zjednoczonych. Nowy system musiał spełniać następujące założenia: nie mógł znacząco komplikować budowy odbiorników telewizji kolorowej, co mogło by wpływać na koszt produkcji odbiornika telewizyjnego i zmniejszyć jego dostępność dla widza ze względu na cenę; należało przyjąć zasadę odpowiedniości, czyli możliwości odbioru programu telewizji nadawanego w kolorze na odbiornikach czarnobiałych i odwrotnie; powinno być możliwe wykorzystywanie dotychczasowych kanałów częstotliwości do przesyłania sygnałów telewizji kolorowej, nie powodując zakłóceń w kanałach sąsiednich; jakość przesyłanego sygnału powinna być wysoka i zaspakajać wymagania widza. informatyka +

POJĘCIE KRZYWEJ LISSAJOUS Krzywa Lissajous (bądź Bowditcha) – krzywa parametryczna opisująca drgania harmoniczne, dana wzorem: x(t) = Asin(at+δ) y(t) = Bsin(bt) Nazwy pochodzą od nazwisk Nathaniela Bowditcha, który opisał rodzinę tych krzywych w 1899, oraz Jules'a Antoine'a Lissajous, który badał je używając do tego drgających kamertonów z umocowanymi do nich zwierciadełkami. Krzywe te nazywane są też figurami Lissajous. Źródło: http://pl.wikipedia.org Prace nad systemem telewizji kolorowej, rozpoczęły się w połowie lat 50. XX wieku w Stanach Zjednoczonych. Nowy system musiał spełniać następujące założenia: nie mógł znacząco komplikować budowy odbiorników telewizji kolorowej, co mogło by wpływać na koszt produkcji odbiornika telewizyjnego i zmniejszyć jego dostępność dla widza ze względu na cenę; należało przyjąć zasadę odpowiedniości, czyli możliwości odbioru programu telewizji nadawanego w kolorze na odbiornikach czarnobiałych i odwrotnie; powinno być możliwe wykorzystywanie dotychczasowych kanałów częstotliwości do przesyłania sygnałów telewizji kolorowej, nie powodując zakłóceń w kanałach sąsiednich; jakość przesyłanego sygnału powinna być wysoka i zaspakajać wymagania widza. informatyka +

RODZAJE KRZYWEJ LISSAJOUS Kształt krzywych jest szczególnie uzależniony od współczynnika a/b. Dla współczynnika równego 1, krzywa jest elipsą, ze specjalnymi przypadkami okrąg: A=B,δ=π2 oraz odcinek: δ=0. Inne wartości współczynnika dają bardziej złożone krzywe, które są zamknięte, tylko gdy ab jest liczbą wymierną. Przykłady krzywych Lissajous o parametrach δ=π2, a – nieparzyste, b – parzyste, |a−b|=1. a = 1, b = 2 a = 3, b = 2 a = 3, b = 4 a = 5, b = 6 Źródło: http://pl.wikipedia.org Prace nad systemem telewizji kolorowej, rozpoczęły się w połowie lat 50. XX wieku w Stanach Zjednoczonych. Nowy system musiał spełniać następujące założenia: nie mógł znacząco komplikować budowy odbiorników telewizji kolorowej, co mogło by wpływać na koszt produkcji odbiornika telewizyjnego i zmniejszyć jego dostępność dla widza ze względu na cenę; należało przyjąć zasadę odpowiedniości, czyli możliwości odbioru programu telewizji nadawanego w kolorze na odbiornikach czarnobiałych i odwrotnie; powinno być możliwe wykorzystywanie dotychczasowych kanałów częstotliwości do przesyłania sygnałów telewizji kolorowej, nie powodując zakłóceń w kanałach sąsiednich; jakość przesyłanego sygnału powinna być wysoka i zaspakajać wymagania widza. informatyka +