dr inż. Monika Lewandowska Ruch drgający R/H/W t. 2, rozdz. 16 Ruch harmoniczny Drgania tłumione Drgania wymuszone. Rezonans Składanie drgań dr inż. Monika Lewandowska

Prosty ruch harmoniczny (I) Siła harmoniczna – siła proporcjonalna do wychylenia ciała z położenia równowagi i skierowana jest zawsze ku położeniu równowagi. W przypadku jednowymiarowym ma postać: F(x) = -kx Przykład: siła sprężystości (prawo Hooka) równanie ruchu (II zasada dynamiki) dla ciała poruszającego się pod wpływem siły harmonicznej (1) Czy ta funkcja jest ogólnym rozwiązaniem równania (1) ?

Prosty ruch harmoniczny (II) jest ogólnym rozwiązaniem równania (1) jeśli Parametry występujące w równaniu ruchu harmonicznego A – amplituda drgań - maksymalne wychylenie z położenia równowagi (m) w – częstość kołowa drgań (rad/s) T = 2p/w – okres drgań – czas trwania jednego pełnego drgania (s) f = 1/T - częstotliwość drgań – ilość drgań na jednostkę czasu (Hz) wt + j0 - faza drgań w chwili t (rad) j0 - faza początkowa (rad) Wartość stałych A i j0 zależy od sposobu wprawienia układu w ruch, lub innymi słowy, od warunków początkowych x(0) i v(0)

Prosty ruch harmoniczny (III) położenie, prędkość i przyspieszenie

Prosty ruch harmoniczny (IV) Energia oscylatora harmonicznego Energia kinetyczna: Energia całkowita (jest zachowana): Energia potencjalna:

Wahadła Wahadło fizyczne – bryła sztywna zawieszona na poziomej osi obrotu przechodzącej powyżej środka masy, wykonująca drgania pod wpływem siły ciężkości. Wahadło matematyczne – szczególny przypadek wahadła fizycznego, którego cała masa skupiona jest w jednym punkcie znajdującym się w odległości l od osi obrotu. Długość zredukowana wahadła fizycznego – długość wahadła matematycznego, które ma taki sam okres drgań jak dane wahadło fizyczne.

Drgania tłumione (I) b – współczynnik oporu ośrodka, (kg/s2) (2) – częstość drgań własnych oscylatora, (rad/s) – jest rozwiązaniem równania (2) jeśli równocześnie spełnione są warunki: - współczynnik tłumienia drgań, (1/s) w - częstość kołowa drgań tłumionych, (rad/s) Rozwiązanie ma sens wyłącznie dla b < b kryt = w0

Drgania tłumione (II) Typowa zależność położenia od czasu dla tłumienia mniejszego od krytycznego (b < w0) W przypadku gdy b ≥ w0 ciało po wychyleniu z położenia równowagi powraca do położenia równowagi bez wykonywania drgań. Dekrement logarytmiczny tłumienia – łatwo mierzalny parametr służący do charakteryzowania drgań tłumionych

Drgania wymuszone (I) - tłumione drgania swobodne układu F(t ) – periodyczna siła zewnętrzna - tłumione drgania swobodne układu - drgania wymuszone przez siłę zewnętrzną - przykładowa postać siły zewnętrznej W miarę upływu czasu drgania własne układu wygasają. Wówczas

Drgania wymuszone (II) jest rozwiązaniem równania jeśli spełnione są warunki: Amplituda drgań wymuszonych jest największa, gdy

Drgania wymuszone (III) Rezonans Przykład m = 10 g F0 = 0.01 N k = 1 kg/s2 b = 0.2, 10, 20, 40 g/s Rezonans – zjawisko polegające na wzroście amplitudy drgań układu dla określonych częstotliwości siły wymuszającej. Częstotliwość rezonansowa - częstotliwość, dla której drgania mają maksymalną amplitudę.

Drgania w obwodach RLC R/H/W rozdz. 33

Składanie drgań wzajemnie prostopadłych (I) Składanie drgań o jednakowych częstościach Ogólne równanie toru ruchu wypadkowego: torem jest elipsa Przypadki szczególne: to drgania są spolaryzowane liniowo i to torem jest okrąg (polaryzacja kołowa)

Składanie drgań wzajemnie prostopadłych (II) Jeśli składamy ze sobą drgania o różnych częstościach, to wypadkowy ruch może być bardzo skomplikowany. Ruch ten nie musi być nawet okresowy, chyba, że stosunek składanych częstości jest równy stosunkowi liczb całkowitych. W takim przypadku torem wypadkowym są charakterystyczne krzywe Lissajous.

Składanie drgań wzajemnie równoległych (I) Jeśli dodajemy drgania niespójne (o różnej częstości) otrzymujemy ruch nieharmoniczny o różnym charakterze (przykłady na rysunkach) Dudnienie gdy w1 i w2 różnią się nieznacznie

Składanie drgań wzajemnie równoległych (II) Diagramy wektorowe Drganie x (t) = A sin (wt + j) reprezentowane jest przez wektor o długości A tworzący kąt F = wt + j z osią x. Wektor ten wiruje z prędkością kątową w. W wyniku dodawania drgań równoległych spójnych (w1 = w2 = w) otrzymujemy drganie harmoniczne o takiej samej częstości (przykład na rysunku).

Składanie drgań wzajemnie równoległych (III) Drgania spójne, przypadki szczególne Drgania zgodne w fazie ( j2 - j2 = 2np ) się wzmacniają A = A1 + A2. Drgania o przeciwnych fazach ( j2 - j2 = (2n+1)p ) się wygaszają A = | A1 - A2|