MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 9 08.05.2009 r

Orbita w przestrzeni Elementy orbitalne a – wielka półoś e – mimośród Ω I ω ognisko orbita płaszczyzna odniesienia perycentrum kierunek węzeł wstępujący Orbita w przestrzeni Elementy orbitalne a – wielka półoś e – mimośród Ω – długość węzła wstępującego I – nachylenie orbity do płaszczyzny odniesienia ω – długość perycentrum w orbicie T – czas przejścia przez perycentrum = Ω+ω – długość perycentrum λ=M+ – długość średnia u=ω+υ – argument szerokości

Orbita w przestrzeni Elementy orbitalne Ω I ω ognisko orbita płaszczyzna odniesienia perycentrum kierunek węzeł wstępujący Orbita w przestrzeni Elementy orbitalne Przejście od układu współrzędnych związanego z orbitą do układu odniesienia polega na obrocie wokół trzech osi: obrót wokół osi z o kąt ω, wtedy oś x pokrywa się z linią węzłów obrót wokół osi x o kąt I, obie płaszczyzny pokrywają się obrót wokół osi z o kąt Ω

Orbita w przestrzeni Elementy orbitalne Każda z transformacji jest reprezentowana przez odpowiednią macierz obrotu: Wtedy przejścia między układami dokonuje się poprzez: Ponieważ wszystkie macierze obrotu są ortogonalne więc macierze odwrotne są po prostu macierzami transponowanymi

Orbita w przestrzeni Elementy orbitalne Jeżeli ograniczymy się do współrzędnych w leżących w płaszczyźnie orbity: Obrót nie zmienia długości stąd wielka półoś i mimośród nie zmieniają się

Orbita w przestrzeni Położenie planety z elementów orbitalnych Mając dane elementy orbitalne możemy wyznaczyć jej współrzędne w dowolnym układzie odniesienia. Przykład: wyznaczenie współrzędnych heliocentrycznych Jowisza na dzień 25 września 1993 r, 6:32 UT 1. Parametry orbity: parametr Epoka 2000.0 25.09.1993 r a [AU] 5.20336301 5.20332 e 0.04839266 0.0484007 I 1.̊30530 1.̊30537 Ω 100.̊55615 100.̊535  14.̊75385 14.̊7392 λ 34.̊40438 204.̊234 Murray, C.D. i Dermott, S.F. 1999, Solar System Dynamics, Cambridge University Press

Orbita w przestrzeni Położenie planety z elementów orbitalnych 3. Rozwiązując równanie Keplera dostajemy: E=189 .̊059 4. Korzystając ze wzorów: wyznaczamy współrzędne prostokątne Jowisza w płaszczyźnie jego orbity

Orbita w przestrzeni Położenie planety z elementów orbitalnych 5. Następnie używając wartości I, Ω,  wyznaczamy macierz, która pozwoli na przejście do układu odniesienia (ekliptycznego): skąd: X=-5.00336, Y=-2.16249, Z=0.121099

Orbita w przestrzeni Zmiany elementów orbitalnych Te przybliżone formuły pozwalają wyznaczyć perturbowane parametry orbitalne planet Układu Słonecznego z dokładnością rzędu 600’’ (w przedziale 1800 r. – 2050 r.) gdzie t jest czasem wyrażonym w stuleciach juliańskich począwszy od JD 2451545.0 (epoka 2000.0) stulecie juliańskie = 36525 dni Murray, C.D. i Dermott, S.F. 1999, Solar System Dynamics, Cambridge University Press

Orbita w przestrzeni Zmiany elementów orbitalnych a0 (AU) e0 I0 (o) Merkury 0.38709893 0.20563069 7.00487 77.45645 48.33167 252.25084 Wenus 0.72333199 0.00677323 3.39471 131.53298 76.68069 181.97973 Ziemia 1.00000011 0.01671022 0.00005 102.94719 348.73936 100.46435 Mars 1.52366231 0.09341233 1.85061 336.04084 49.57854 357.15332 Jowisz 5.20336301 0.04839266 1.30530 14.75385 100.55615 34.40438 Saturn 9.53707032 0.05415060 2.48446 92.43194 113.71504 49.94432 Uran 19.19126393 0.04716771 0.76986 170.96424 74.22988 313.23218 Neptun 30.06896348 0.00858587 1.76917 44.97135 131.72169 304.88003 Dane dla Ziemi są w rzeczywistości parametrami orbity barycentrum układu Ziemia-Księżyc Epoka 2000.0 (JD 2451545.0)

Orbita w przestrzeni Zmiany elementów orbitalnych Merkury Wenus Ziemia 66 2527 -23.51 573.57 -446.30 261628.29 415 Wenus 92 -4938 -2.86 -108.80 -996.89 712136.06 162 Ziemia -5 -3804 -46.94 1198.28 -18228.25 1293740.63 99 Mars -7221 11902 -27.17 1560.78 -1020.19 217103.78 53 Jowisz 60737 -12880 -4.15 839.93 1217.17 557078.35 8 Saturn -301530 -36762 6.11 -1948.89 -1591.05 513052.95 3 Uran 152025 -19150 -2.09 1312.56 1681.40 246547.79 1 Neptun -125196 2514 -3.64 -844.43 -151.25 786449.21 Zmiany wielkiej półosi i mimośrodu są pomnożone przez 108, podczas gdy zmiany wielkości kątowych zostały podane w sekundach łuku na stulecie Epoka 2000.0 (JD 2451545.0)

Orbita w przestrzeni Wyznaczanie elementów orbitalnych Algorytm pozwalający z położenia (X,Y,Z) i prędkości (X,Y,Z) wyznaczyć elementy orbitalne a, e, I, Ω, ν, T. Zakładamy, że masy ciała centralnego i orbitującego są równe odpowiednio m1 i m2. Mamy (w układzie odniesienia): Wtedy:

Orbita w przestrzeni Wyznaczanie elementów orbitalnych R – długość promienia wodzącego Ṙ – tempo zmian pr. wodzącego, znak Ṙ jest taki sam jak znak iloczynu ponieważ R jest zawsze dodatnie Potrzebne będą jeszcze rzuty momentu pędu: górny znak wybieramy jeśli cz>0, a dolny dla cz<0

Orbita w przestrzeni Wyznaczanie elementów orbitalnych Możemy teraz przystąpić do wyznaczenia parametrów orbity (eliptycznej): Wielką półoś wyznaczamy z równań: skąd dostajemy:

Orbita w przestrzeni Wyznaczanie elementów orbitalnych mimośród wyznaczamy przy wykorzystaniu uzyskanego wyrażenia na a oraz ze wzoru: otrzymujemy: Wyznaczamy nachylenie orbity, które jest kątem zawartym pomiędzy wektorem momentu pędu a jego składową cz:

Orbita w przestrzeni Wyznaczanie elementów orbitalnych 4. Do wyznaczenia długości węzła wstępującego, Ω używamy: skąd otrzymujemy: znak wybieramy w zależności od znaku cz

Orbita w przestrzeni Wyznaczanie elementów orbitalnych 5. Argument szerokości ω+υ otrzymamy z wyrażeń na Z/R oraz X/R (pamiętając, że r=R): czyli:

Orbita w przestrzeni Wyznaczanie elementów orbitalnych 6. Następnie wyliczamy anomalię prawdziwą i długość perycentrum (w płaszczyźnie orbity) przy użyciu: wtedy:

Orbita w przestrzeni Wyznaczanie elementów orbitalnych Na koniec wyliczamy moment przejścia przez perycentrum, T. Aby tego dokonać wyznaczamy E ze wzoru: a następnie z równania Keplera i III prawa Keplera: otrzymujemy:

Orbita w przestrzeni Wyznaczanie elementów orbitalnych Powyższa procedura pozwala uzyskać elementy orbitalne w przypadku orbity eliptycznej. Ze względów praktycznych warto jeszcze pozbyć się z równań czynnika G(m1+m2) poprzez wybór innych jednostek. Można tego dokonać skalując niezależną zmienną t przez czynnik i wprowadzając nową zmienną czasową, τ taką, że: Można zauważyć, że taki sam skutek odniesie założenie μ=1 w równaniu: jeśli dodatkowo przyjmiemy za jednostkę długości wartość wielkiej półosi, to mamy układ dwóch ciał, w którym mamy jednostkowy ruch średni i okres orbitalny równy 2π jednostek czasowych.

Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg W rzeczywistości dokładnych rozwiązań w mechanice nieba (i nie tylko ) jest niewiele. Bardzo często posługujemy się rozwiązaniami przybliżonymi bazującymi na rozwinięciach w szeregi. W Układzie Słonecznym korzystamy często z faktu, że orbity różnią się niewiele od koła (rozwijanie względem małych e), tworzą małe kąty z płaszczyzną ekliptyki (małe I). Innym zagadnieniem, w którym często korzysta się z rozwinięć w szereg jest teoria perturbacji

Zagadnienie dwóch ciał Trygonometryczny szereg Fouriera Dana jest pewna funkcja okresowa f(x) bezwzględnie całkowalna w przedziale (-T/2, T/2), gdzie T jest okresem. Rozwinięcie f(x) w szereg Fouriera ma postać: współczynniki an i bn:

Zagadnienie dwóch ciał Trygonometryczny szereg Fouriera

Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg Napiszmy równanie Keplera w postaci: różnica E-M jest nieparzystą funkcją okresową stąd prawą stronę możemy rozwinąć w szereg Fouriera biorąc tylko wyrazy nieparzyste: gdzie: pierwszy czynnik w tym wyrażeniu jest równy 0.

Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg Korzystając znów z równania Keplera możemy napisać: wtedy: Pierwsza z tych całek jest równa 0, natomiast drugą można przekształcić (znów przy użyciu równania Keplera) do postaci: Całka występująca w tym równaniu może być zapisana przy użyciu funkcji Bessela pierwszego rodzaju.

Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg Dla dodatnich wartości s możemy napisać: ten szereg jest zbieżny dla wszystkich x. Funkcje Bessela dla s=1,…,5

Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg Możemy ostatecznie napisać rozwiązanie równania Keplera w postaci: szereg jest szybko zbieżny dla małych wartości e. W przypadku e>0.6627434 staje się jednak rozbieżny.

Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg Zależność między promieniem i wielką półosią daje: rozwijając czynnik ecosE dostajemy: po uwzględnieniu jawnej postaci funkcji Bessela mamy ostatecznie: To rozwinięcie będzie wykorzystywane m.in. w tzw. przybliżeniu „guiding centre” oraz przy analizie perturbacji.

Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg Przekształcając znów wyrażenie: dostajemy: Uwzględniając otrzymane wcześniej rozwinięcie r/a możemy wyznaczyć rozwinięcie cosE:

Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg Różniczkując równanie Keplera dostaniemy: prawa strona jest równa a/r. Różniczkując otrzymane wcześniej wyrażenie: otrzymujemy: stąd mamy rozwinięcie a/r w szereg przy użyciu funkcji Bessela

Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg Korzystając z otrzymanego rozwinięcia a/r możemy wyznaczyć: które jest przydatne przy analizie perturbacji planetarnych

Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg Korzystając z równania biegunowego elipsy: możemy napisać: które po uwzględnieniu rozwinięcia a/r daje:

Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg Rozwinięcie sinν otrzymujemy w nieco bardziej skomplikowany sposób. Równanie biegunowe elipsy zapiszemy w postaci: Różniczkujemy po M: korzystając z całki pól, definicji anomalii średniej i trzeciego prawa Keplera: otrzymamy:

Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg Korzystając z otrzymanego wyrażenia mamy: skąd: i ostatecznie: Te rozwinięcia są użyteczne przy badaniu rezonansu typu „spin-orbita” oraz przy badaniu perturbacji.

Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg Kolejne rozwinięcie dotyczy różnicy anomalii ν-M zwanego równaniem środka. Dzięki niemu jesteśmy w stanie wyrazić anomalię prawdziwą w funkcji czasu jaki upłynął od przejścia ciała przez perycentrum. Korzystamy z całki pól w postaci: Korzystając z: otrzymamy:

Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg Uwzględniając w otrzymanym wyrażeniu wyznaczoną wcześniej postać dE/dM i całkując dostajemy: które będzie używane w przybliżeniu „guiding centre”.