Kinematyka zajmuje się ilościowym badaniem ruchu ciał z pominięciem czynników fizycznych wywołujących ten ruch. W mechanice technicznej rozważa się zagadnienia ruchu ciał z prędkościami bardzo małymi w porównaniu z prędkością światła. Na tej podstawie można stosować zasady klasycznej mechaniki wprowadzone przez Newtona. Zgodnie z tymi zasadami przestrzeń ma określoną metrykę; niezmienne jednostki odległości, niezależne od znajdujących się w przestrzeni ciał i stanu ruchu. Tak określona przestrzeń nosi nazwę przestrzeni Euklidesa Podobnie jak w statyce, również i w kinematyce ciała rzeczywiste zastępujemy dwoma modelami uproszczonymi: punktem materialnym oraz ciałem doskonale sztywnym. KINEMATYKA

Kinematyka punktu Torem punktu nazywamy linię ciągłą będącą miejscem geometrycznym kolejnych położeń punktu ruchomego w przestrzeni x y z x y z r r0r0 i j k M0M0 M

y x z x=f 1 (t)‏ y=f 2 (t)‏ z=f 3 (t)‏ i j k M Jeżeli funkcje te są zmienne, to możemy dla dowolnej wartości czasu t określić położenie punktu M względem przyjętego układu odniesienia. Równania te nazywamy równaniami skończonymi ruchu punktu. Przedstawiają one parametryczne równania toru punktu (parametrem jest czas t)‏ Kinematyka punktu

x y z i j k M l s(t)‏ M0M0 Przez wyrugowanie z tych równań parametru t otrzymujemy dwa równania opisujące tor punktu (trajektorię) jako krzywą po której punkt M porusza się, powstałą z przecięcia się dwóch powierzchni. Kinematyka punktu W celu określenia położenia punktu M w przestrzeni należy podać współrzędną s zmierzoną wzdłuż jego toru od nieruchomego punktu M 0. Współrzędną s nazywamy współrzędna łukowa – długość łuku MM 0

Kinematyka punktu x y z i j k M l s(t)‏ M0M0 Równanie ruchu punktu po torze Droga przebyta przez punkt w przedziale czasu (0,t)‏ Opis położenia punktu w przestrzeni za pomocą współrzędnej łukowej:

M x y r l   = 0 Opis położenia punktu na płaszczyźnie za pomocą współrzędnej biegunowej. promień wodzący oś biegunowa Kinematyka punktu

x y z i j k M l r   Opis położenia punktu w przestrzeni za pomocą współrzędnych biegunowych.

x y z i j k M l   Kinematyka punktu Opis położenia punktu w przestrzeni za pomocą współrzędnych walcowych. z y x

Prędkość i przyspieszenie M1M1 M2M2 l 0 Wektorem prędkości średniej nazywamy stosunek przyrostu  r promienia- wektora w dwóch położeniach od czasu  t potrzebnego na przejście z pierwszego położenia w drugie.

M1M1 M2M2 l Wektor prędkości średniej ma kierunek cięciwy, a jego wartość jest fizycznie mierzalna Prędkość średnia zależy nie tylko od ruchu punktu, ale i od wyboru punktów na torze Zależność od wyboru punktów można usunąć przez wprowadzenie wektora prędkości chwilowej

Wektorem prędkości chwilowej punktu M nazywamy granicę, do której zmierza wektor prędkości średniej, gdy przyrost czasu dąży do zera M Z formuły tej wynika, że wektor prędkości chwilowej punktu jest pochodną względem czasu promienia wektora r(t) tego punktu Wektor prędkości chwilowej jest wektorem stycznym do toru

M1M1 M2M2 vv a średnie v1v1 v2v2 v2v2 l Wektorem przyspieszenia średniego punktu M nazywamy stosunek przyrostu wektora prędkości do przyrostu czasu Przyspieszenie średnie ma kierunek przyrostu  v, przy czym jego wartość i kierunek zależą od przedziału czasu, w którym je wyznaczamy

v1v1 v2v2 a a średnie N1N1 N2N2 vv 0101 Wektorem przyspieszenia chwilowego punktu M nazywamy granicę do której dąży wektor przyspieszenia średniego, gdy przyrost czasu dąży do zera h Z zależności tej wynika, że wektor przyspieszenia chwilowego jest równy pochodnej geometrycznej względem czasu wektora prędkości chwilowej i jest skierowany wzdłuż stycznej do hodografu prędkości v

M1M1 M2M2 tor M1M1 M2M2 hodograf Prędkość jest styczna do toruWektor przyspieszenia jest styczny do hodografu Hodograf – krzywa w przestrzeni prędkości, zakreślana przez koniec wektora prędkości Tor i hodograf

Ruch punktu materialnego ze względu na tor punktu (miejsce geometryczne jego położeń chwilowych) możemy podzielić na: - ruch prostoliniowy – jeżeli tor jest linia prostą lub - ruch krzywoliniowy – gdy tor jest linia krzywą Inny podział ruchów dotyczy wartości prędkości poruszającego się punktu. Ruch może być: - jednostajny – jeżeli w czasie trwania ruch wartość prędkości nie ulega zmianie, lub - zmienny – gdy wartość prędkości w każdej chwili jest inna (rośnie lub maleje w czasie)‏

e RUCH PROSTOLINIOWY M0M0 M 0 l s(t)e 0 droga s – jest ściśle związana z czasem i wyraża się funkcja skalarną wersor stały, określający kierunek prostej

Wektorowe równanie ruchu wzdłuż prostej l można zapisać: Na podstawie przedstawionych zależności, możemy stwierdzić, że wektory prędkości i przyspieszenia są kolinearne z prostą l Ruch jednostajny:

s t v t  s1s1 s0s0 t1t1

Ruch jednostajnie zmienny:

a t v t v0v0 s t s0s0 Ruch jednostajnie przyspieszony a >0 :

a t v t v0v0 s t s0s0

Przykład. Po przyjęciu w punkcie M początku toru napisać równania ruchu dla każdego punktu. Obliczyć czas t k, po upływie którego punkty te się spotkają oraz znaleźć drogi s’ 1 i s’ 2 przebycia punktów w tym czasie.

Przykład. Zakładając, że ruch pocisku odbywa się w próżni, obliczyć: - czas wznoszenia pocisku t 1,, - wysokość maksymalną H, - czas t 2, po którym pocisk spadnie do poziomu x 0 - prędkość v 2 jaką wówczas on uzyska

opóźnienie pocisku:

Czas wznoszenia t 1 pocisku obliczamy z warunku: Pocisk z malejącą prędkością wznosi się do wysokości:

Po czasie t 2 pocisk spadnie do poziomu x 0 i uzyska prędkość v 2 Czas wznoszenia t 1 jest równy czasowi opadania t 2 a prędkość opadania na poziomie x 0 równa się prędkości początkowej ze zwrotem przeciwnym

RUCH KRZYWOLINIOWY styczna tor normalna promień krzywizny krzywizna

Średnia krzywizną łuku MM 1 : Granicę, do której zmierza krzywizna średnia, gdy punkt M 1 dąży do punktu M (  s  0), nazywamy krzywizną toru w danym punkcie M czyli:

Przyspieszenie styczne i normalne w ruchu krzywoliniowym punktu na płaszczyźnie Wektor prędkości zmienia swój kierunek i wartość, występują wiec dwa rodzaje przyspieszenia, z których jedno a t powstaje na skutek zmiany wartości prędkości (modułu wektora), a drugie a n na skutek zmiany kierunku tor

Przyspieszenie styczne a t jest składowa przyspieszenia całkowitego a w kierunku stycznym do toru i równa pochodnej względem czasu wartości liczbowej prędkości punktu Przyspieszenie normalne a n jest składową przyspieszenia całkowitego a w kierunku normalnym do toru i jest równe kwadratowi prędkości podzielonemu przez promień krzywizny

RUCH PUNKTU PO OKRĘGU

określa kierunek osi obrotu z Prędkość kątowa  mająca wartość pochodnej względem czasu kąta obrotu , jest wektorem leżącym na osi obrotu.

Przyspieszenie kątowe  Przyspieszenie kątowe  równe co do wartości pochodnej względem czasu prędkości kątowej  albo drugiej pochodnej względem czasu kąta obrotu , jest wektorem leżącym na osi obrotu. Jeżeli  =const, to  =0, natomiast w chwili rozruchu mamy  =0, ale  ≠ 0

Prędkość i przyspieszenie punktu we współrzędnych prostokątnych x z i j k M l   z y x y

x z i j k M l   z x y y

x z i j k M l   z x y y Prędkość i przyspieszenie punktu we współrzędnych prostokątnych na płaszczyźnie

Prędkość i przyspieszenie punktu we współrzędnych biegunowych na płaszczyźnie

Zależność pomiędzy składowymi prędkości i przyspieszenia punktu we współrzędnych biegunowych i prostokątnych na płaszczyźnie

Opis położenia ciała sztywnego Ciałem sztywnym nazywamy zbiór punktów, których wzajemne odległości są stałe. Badając ruch ciała sztywnego, należy w każdej chwili określać jego położenie względem pewnego układu odniesienia, który przyjmujemy za nieruchomy. Równania ruchu trzech punktów nie mogą być dobrane dowolnie, gdyż zgodnie z definicją ciała sztywnego ich wzajemne położenia muszą być stałe. Warunek, aby trzy punkty ciała sztywnego nie leżały na jednej prostej

Opis położenia ciała sztywnego

Metoda wyznaczania prędkości punktów ciała sztywnego W ciele sztywnym wzajemne odległości punktów nie zmieniają się podczas ruchu, dlatego między prędkościami tych punktów zachodzą pewne związki. W ciele sztywnym podczas dowolnego ruchu rzuty wektorów prędkości dwóch jej dowolnych punktów na prostą łączącą te punkty są sobie równe

Metoda wyznaczania prędkości punktów ciała sztywnego Kąty  i  oznaczają kąty które prędkości punktów A i B tworzą z wektorem r

Wyznaczyć wartość prędkości punktu B w położeniu, gdy pręt tworzy z kierunkiem pionowym kąt (  +  )‏

Ruch postępowy ciała sztywnego Najprostszym przypadkiem ruchu ciała sztywnego jest taki ruch, w którym wszystkie jego punkty doznają tych samych przesunięć.

Ruch postępowy ciała sztywnego W ruchu postępowym ciała sztywnego wszystkie punkty mają takie same prędkości, przyspieszenia i poruszają się po takich samych równolegle przesuniętych torach

Wyznaczyć wartość prędkości i przyspieszenia punktu B

Ruch obrotowy ciała sztywnego Tor każdego punktu ciała sztywnego poruszającego się ruchem obrotowym jest okręgiem, leżącym w płaszczyźnie prostopadłej do osi obrotu o środku leżącym na tej osi i opisany jest promieniem o długości równej odległości punktu od osi.

Wyznaczyć wartość prędkości i przyspieszenia tarcz kołowych

Ruch złożony punktu i j k

i j k Ruch punktu M względem układu nieruchomego 0XYZ nazywamy ruchem bezwzględnym. Ruch punktu M względem układu ruchomego 0’xyz nazywamy ruchem względnym. Ruch układu ruchomego 0’xyz względem układu nieruchomego 0XYZ nazywamy ruchem unoszenia

Prędkość punktu w ruchu złożonym i j k Prędkość bezwzględna punktu M Prędkość unoszenia Prędkość względna Prędkość bezwzględna punktu M w ruchu złożonym jest wypadkową prędkości unoszenia v u i prędkości względnej v w

Przyspieszenie punktu w ruchu złożonym i j k Przyspieszenie bezwzględne punktu M Przyspieszenie bezwzględne a M punktu M w ruchu złożonym równa się sumie wektorowej przyspieszeń unoszenia a u przyspieszenia względnego a w i przyspieszenia Coriolisa a c

Przyspieszenie punktu w ruchu złożonym i j k Przyspieszenie Coriolisa nie występuje, gdy ruchem unoszenia są ruchy prostoliniowy, harmoniczny, prosty i postępowy (bo  =0), gdy wektor prędkości kątowej  jest równoległy do wektora prędkości względnej v w oraz w przypadku, gdy prędkość względna jest równa zeru. Przyspieszenie Coriolisa wywołane obrotem kuli ziemskiej jest bardzo małe i dlatego zwykle je pomijamy, uważając Ziemie za nieruchomy układ odniesienia.

Przyspieszenie Coriolisa związane obrotem kuli ziemskiej

Określenie ruchu płaskiego ciała sztywnego Ruchem płaskim ciała sztywnego nazywamy taki ruch, w którym wszystkie punkty ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną ruchu płaskiego (płaszczyzną kierującą)‏ Analizowanie ruchu płaskiego danego ciała sztywnego sprowadza się zatem do badania ruchu jednego przekroju ciała-figury płaskiej, powstałej przez przecięcie ciała płaszczyzną , równoległą do płaszczyzny kierującej  0. Jeżeli znamy prędkości i przyspieszenie dowolnego punktu A tej figury, to znamy również prędkości i przyspieszenia punktów ciała leżących na prostej prostopadłej do płaszczyzny kierującej. I przechodzącej przez punkt A

Dowolne przemieszczenie figury płaskiej w jej płaszczyźnie może być dokonane za pomocą przesunięcia równoległego, równego przesunięciu dowolnie obranego punktu A tej figury, oraz obrotu wokół tego punktu. I twierdzenie EULERA: Dowolne przemieszczenie figury płaskiej w jej płaszczyźnie może być dokonane za pomocą obrotu wokół pewnego punktu, zwanego środkiem obrotu. Wokół każdego środka obrotu ruch trwa nieskończenie krótko i dlatego te punkty nazywają się chwilowymi środkami obrotu. Określenie ruchu płaskiego ciała sztywnego

Metody wyznaczania prędkości w ruchu płaskim – metoda analityczna

Metody wyznaczania prędkości w ruchu płaskim – metoda chwilowego środka obrotu Chwilowy środek obrotu

Metody wyznaczania prędkości w ruchu płaskim – metoda superpozycji

Prędkość dowolnego punktu D pręta AD, poruszającego się ruchem płaskim jest równa sumie geometrycznej prędkości unoszenia dowolnie obranego punktu A tego pręta oraz prędkości względnej punktu D względem punktu A, czyli prędkości punktu D w ruchu względnym obrotowym pręta wokół punktu A. Prędkość kątowa tego ruchu obrotowego nie zależy przy tym od wyboru punktu A

Metody wyznaczania przyspieszenia w ruchu płaskim – metoda analityczna

Metody wyznaczania przyspieszenia w ruchu płaskim – metoda superpozycji

Przyspieszenie dowolnego punktu B pręta AB poruszającego się ruchem płaskim, jest równe sumie geometrycznej przyspieszenia dowolnie obranego punktu A (w ruchu postępowym unoszenia) oraz przyspieszenia punktu B względem punktu A ( tj. przyspieszenia punktu B w ruchu obrotowym względem pręta AB wokół punktu A)‏ Metody wyznaczania przyspieszenia w ruchu płaskim – metoda superpozycji

Metody wyznaczania przyspieszenia w ruchu płaskim – metoda chwilowego środka przyspieszeń Przyspieszenie chwilowego środka przyspieszeń (punkt P) jest równe zeru a P =0

Metody wyznaczania przyspieszenia w ruchu płaskim – metoda chwilowego środka przyspieszeń Chwilowy środek przyspieszeń