Aksjomaty Euklidesa

Euklides Euklides żył w III wieku przed naszą erą. O życiu Euklidesa niewiele wiadomo. Żył w Aleksandrii, która wówczas skupiała wielu wybitnych matematyków. Euklides wykładał w Szkole Aleksandryjskiej. Był płodnym pisarzem, na co wskazuje nawet objętość "Elementów". Zajmował się również teorią muzyki, optyką (prawo odbicia światła, zasada prostolinijnego rozchodzenia się promieni świetlnych) oraz astronomią. Jego „Elementy” stały się podstawą geometrii nauczanej w szkołach na całym świecie.

„Elementy” Euklidesa Elementy stanowią podstawy całej antycznej matematyki. Podsumowują rezultaty ponad 300-letniego jej rozwoju i jednocześnie zakładają podstawę pod dalsze badania. Następni matematycy powoływali się na twierdzenia Elementów jako na coś ostatecznie ustalonego. W Elementach Euklides zajmował się planimetrią i stereometrią, algebrą geometryczną i rozwiązywaniem równań kwadratowych, teorią liczb, nauka o stosunkach liczb i stosunkach wielkości, klasyfikacją niewymierności kwadratowych, metodą wyczerpywania. Elementy Euklidesa składają się z trzynastu ksiąg. Każda z ksiąg zaczyna się od definicji; oprócz tego na początku pierwszej podanych jest 5 postulatów i 5 aksjomatów (w niektórych tekstach podane są jeszcze 4 aksjomaty).

Aksjomat Aksjomat postulat, pewnik – godność, pewność, oczywistość) – jedno z podstawowych pojęć logiki matematycznej. Aksjomaty to zdania przyjmowane za prawdziwe, których nie dowodzi się w obrębie danej teorii matematycznej, lecz na ich bazie udowadnia się inne jej zdania (twierdzenia).

Aksjomaty Euklidesa Oto pięć aksjomatów: Przez każde dwa różne punkty można poprowadzić jedną i tylko jedną linię prostą. Każdy odcinek może być przedłużony do nieskończoności, tworząc prostą. Odległość i punkt wyznaczają okrąg. Wszystkie kąty proste są równe. Dwie proste, które przecinają trzecią w taki sposób, że suma kątów wewnętrznych po jednej stronie jest mniejsza od dwu kątów prostych, przetną się z tej właśnie strony, jeśli się je odpowiednio przedłuży.

Pierwszy aksjomat Przez dwa punkty można przeprowadzić tylko jedną prostą.

Drugi aksjomat Każdy odcinek może być przedłużony do nieskończoności, tworząc prostą.

Trzeci aksjomat Odległość i punkt wyznaczają okrąg.

Czwarty aksjomat Wszystkie kąty proste są równe.

Piąty aksjomat Dwie proste, które przecinają trzecią w taki sposób, że suma kątów wewnętrznych po jednej stronie jest mniejsza od dwu kątów prostych, przetną się z tej właśnie strony, jeśli się je odpowiednio przedłuży.

Ciekawostka Rozszerzeniem aksjomatów Euklidesa są aksjomaty Hilberta. W 1899 David Hilbert podał swój zestaw aksjomatów geometrii euklidesowej, po tym jak okazało się, że zestaw Euklidesa zawiera luki. Jest on zupełny i wolny od błędów.

Źródła http://pl.wikipedia.org/wiki/Euklides http://www.sciaga.pl/tekst/32527-33-elementy_euklidesa http://pl.wikipedia.org/wiki/Elementy http://www.interklasa.pl/euklides/images/1.jpg http://pl.wikipedia.org/wiki/Aksjomat http://opty.xlo.torun.pl/gimnazjum/matma/prace_uczniow/r86a/13pkot/geom_el_kot/index.html