Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 1 Obserwowalność i odtwarzalność System ciągły System dyskretny Obserwowalność/odtwarzalność określa możliwość jednoznacznego określenia stanu systemu w oparciu pomiary przez skończony przedział czasu sygnałów wejścia i wyjścia Znaczenie: znajomość stanu początkowego i wejścia systemu pozwala zrekonstruować całą trajektorię stanu w oparciu o równania stanu

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 2 Stan obserwowalny Stan systemu liniowego jest obserwowalny jeżeli można go określić znając wyjście dla chwil ze skończonego przedziału, Obserwowalność stanu Jeżeli każdy stan jest obserwowalny, mówimy, że system jest całkowicie obserwowalny lub krócej obserwowalny Systemy ciągłe

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 3 Obserwowalność systemu ciągłego liniowego stacjonarnego System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz obserwowalności, nazywana macierzą obserwowalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Twierdzenie OSC LS1

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 4 Wymiar macierzy obserwowalnośći: nqxn; n – wymiar stanu, q – wymiar wyjścia Dla q=1 macierz obserwowalności jest macierzą kwadratową i dla sprawdzenia obserwowalności wystarczy sprawdzić nieosobliwość macierzy obserwowalności

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 5 Inne testy obserwowalności systemów ciągłych Dodatek A

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 6 Obserwowalność a przekształcenia podobieństwa Obserwowalność zostaje zachowana podczas transformacji podobieństwa

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 7 Stan odtwarzalny Stan systemu liniowego jest odtwarzalny jeżeli można go określić znając wyjście dla chwil ze skończonego przedziału, Odtwarzalność stanu Jeżeli każdy stan jest odtwarzalny, mówimy, że system jest całkowicie odtwarzalny lub krócej odtwarzalny

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 8 Dla systemów ciągłych obserwowalność i odtwarzalność są równoważne Odtwarzalność systemu ciągłego liniowego stacjonarnego System liniowy stacjonarny jest odtwarzalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz odtwarzalnośći, nazywana macierzą odtwarzalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Twierdzenie OtSC LS1

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 9 Stan obserwowalny Stan systemu liniowego jest obserwowalny jeżeli można go określić znając wyjście dla chwil ze skończonego przedziału, Obserwowalność stanu Jeżeli każdy stan jest obserwowalny, mówimy, że system jest całkowicie obserwowalny lub krócej obserwowalny Systemy dyskretne

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 10 Obserwowalność systemu dyskretnego liniowego stacjonarnego System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz obserwowalności, nazywana macierzą obserwowalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Twierdzenie OSD LS1

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 11 Inne testy obserwowalności systemów dyskretnych Dodatek B

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 12 Dla systemów dyskretnych obserwowalność i odtwarzalność nie są równoważne System liniowy stacjonarny jest odtwarzalny wtedy, gdy macierz oodtwarzalności, nazywana macierzą odtwarzalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Twierdzenie OtSD LS1 Odtwarzalność systemu dyskretnego liniowego stacjonarnego

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 13 Dekompozycja na podprzestrzenie sterowalne/osiągalne Twierdzenie o dekompozycji na podprzestrzenie sterowalne Jeżeli system liniowy stacjonarny o macierzach A, B i C nie jest sterowalny (tzn. A jest wymiaru nxn i rank(M c = p < n) wówczas może być znalezione przekształcenie podobieństwa takie, że macierze systemu po transformacji mają postać gdzie,, a para macierzy {A C, B C } jest sterowalna, oraz Jeżeli system jest niesterowalny/nieosiągalny można go zdekomponować na część sterowalną i niesterowalną

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 14 Macierz transformacji Q może być utworzona w następujący sposób: Macierz M C ma wymiar n x nm, a ponieważ jest rządu p, można spośród jej kolumn wybrać p kolumn liniowo niezależnych Załóżmy, że będą to kolumny Następnie wybieramy n – p wektorów tak, aby macierz była nieosobliwa

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 15 Przykład 1. Rozważamy system dwuwymiarowy ( dwa wejścia, dwa wyjścia) Macierz sterowalności Kalmana Rząd macierzy Kalmana System jest niesterowalny

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 16 Dwie pierwsze kolumny macierzy sterowalności są liniowo niezależne, dobierzemy wektor Wówczas oraz Macierze systemu po transformacji podobieństwa

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 17 Macierze podsystemu sterowalnego Niesterowalna część systemu opisana równaniem stanu Macierz transmitancji systemu przed i po transformacji

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 18 Związki pomiędzy zmiennymi stanu Wartość własna części niesterowalne wynosi System jest stabilizowalny

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 19 Dekompozycja na podprzestrzenie obserwowalne/odtwarzalne Twierdzenie o dekompozycji na podprzestrzenie obserwowalna Jeżeli system liniowy stacjonarny o macierzach A, B i C nie jest sterowalny (tzn. A jest wymiaru nxn i rank(M o = p < n) wówczas może być znalezione przekształcenie podobieństwa takie, że macierze systemu po transformacji mają postać gdzie,,, a para macierzy {A o, B o } jest obserwowalna, oraz Jeżeli system jest nieobserwowalny można go zdekomponować na część obserwowalną i nieobserwowalną

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 20 Macierz transformacji P może być utworzona w następujący sposób: Macierz M o ma wymiar nr x n, a ponieważ jest rządu p, można spośród jej wierszy wybrać p wierszy liniowo niezależnych Załóżmy, że będą to kolumny Następnie wybieramy n – p wektorów tak, aby macierz n x n była nieosobliwa

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 21 Przykład 2. Rozważamy system dwuwymiarowy ( 2 wejścia, dwa wyjścia) System jest sterowalny lecz nieobserwowalny – macierz obserwowalności Kalmana Rząd macierzy Kalmana System jest nieobserwowalny

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 22 Dwa pierwsze wiersze macierzy obserwowalności są liniowo niezależne, dobierzemy wektor Wówczas oraz Macierze systemu po transformacji podobieństwa

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 23 Macierze podsystemu obserwowalnego Macierz transmitancji systemu przed i po transformacji

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 24 Wartości własne systemu oryginalnego System jest niewykrywalny Podsystemu obserwowalnego Wartość własna części nieobserwowalnej wynosi

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 25 Przykład 3. Ilustracja związków sterowalności i obserwowalności systemów ciągłych oraz ich stabilności Rozważmy system SISO Policzmy macierz tranzycji i skokowe wejście Przyjmijmy zerowe warunki początkowe poza tym

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 26 Korzystając z macierzy tranzycji możemy policzyć odpowiedź stanu dla zerowych warunków początkowych

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 27 oraz odpowiedź wyjścia dla zerowych warunków początkowych

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 28 Odpowiedź wyjścia stabilizuje się

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 29 ale odpowiedź stanu wykazuje niestabilność Złe zachowanie stanu zostało „ukryte” na wyjściu – nie jest widoczne na wyjściu

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 30 Zbadajmy obserwowalność systemu Mamy n=2, p=1 oraz Zatem System jest nieobserwowalny

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 31 Zmieńmy warunki początkowe Wyjście systemu dla tych warunków początkowych Wyjście systemu Takie samo jak dla zerowych w.p.

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 32 Twierdzenie Niech będzie dany system liniowy stacjonarny SISO i niech będą wejściami odcinkami ciągłymi oraz i są określone przez Następujące stwierdzenia są równoważne (i) są obserwowalne (ii)

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 33 Przykład 4. Rozważmy system SISO Zbadajmy obserwowalność systemu Mamy n=2, p=1 oraz

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 34 Zatem rank M o = 2 – system jest obserwowalny Policzmy macierz tranzycji

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 35 Korzystając z macierzy tranzycji możemy policzyć odpowiedź stanu dla zerowych warunków początkowych i skokowego wejścia oraz odpowiedź wyjścia dla zerowych warunków początkowych i skokowego wejścia

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 36 Zmieńmy warunki początkowe z zerowych na Odpowiedź stanu dla nowych warunków początkowych i skokowego wejścia

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 37 dla nowych warunków początkowych Odpowiedź wyjścia systemu

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 38 Odpowiedź wyjścia systemu Odpowiedź stanu systemu

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 39 Zbadajmy sterowalność systemu Równania stanu n=2 System jest niesterowalny

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 40 Przykład 5. Rozważmy system SISO Zbadajmy obserwowalność systemu Mamy n=2, p=1 oraz

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 41 Zatem rank M o = 2 – system jest obserwowalny Zbadajmy sterowalność systemu n=2, r=1 rank M c = 2 – system jest sterowalny

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 42 Policzmy macierz tranzycji Zadajmy wejście Odpowiedź stanu (zerowe w.p.) Odpowiedź wyjścia (zerowe w.p.)

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 43 Odpowiedź wyjścia (zerowe w.p.) Odpowiedź stanu (zerowe w.p.) System jest nieminimalnofazowy

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 44 Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 45 Dodatek A Inne testy sterowalności systemów ciągłych

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 46 System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje żadem prawostronny wektor własny macierz A, taki że co oznacza, że żaden wektor własny macierz A nie jest ortogonalny do wszystkich kolumn macierz C Twierdzenie OSC LS2

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 47 System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz o wymiarze (r+n)xn ma rząd n dla dowolnego zespolonego skalara s Twierdzenie OSC LS3 Test obserwowalności w oparciu o twierdzenia 2 i 3 nosi nazwę testu Popov’a – Belevitch’a-Hautus’a

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 48 Diagonalny system liniowy stacjonarny z jednokrotnymi wartościami własnymi jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz C nie ma kolumn zerowych Twierdzenie OSC LS4

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 49 Dodatek B Inne testy obserwowalności systemów dyskretnych

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 50 System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje żadem prawostronny wektor własny macierz A D, taki że co oznacza, że żaden wektor własny macierz A D nie jest ortogonalny do wszystkich kolumn macierz C D Twierdzenie OSD LS2

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 51 System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz o wymiarze (r+n)xn ma rząd n dla dowolnego zespolonego skalara z Twierdzenie OSD LS3 Test sterowalności w oparciu o twierdzenia 2 i 3 nosi nazwę testu Popov’a – Belevitch’a-Hautus’a

Systemy dynamiczne 2014/2015Obserwowalno ść i odtwarzalno ść  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 52 Diagonalny system liniowy stacjonarny z jednokrotnymi wartościami własnymi jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz C D nie ma kolumn zerowych Twierdzenie OSD LS4