Ekonometryczne modele nieliniowe Wykład 10 Modele przełącznikowe Markowa

Literatura P.H.Franses, D. van Dijk (2000) Non-linear time series models in empirical finance, Cambridge University Press. R. Breuning, S. Najarian, A. Pagan (2003) Specification Testing of Markov Switching Models, Oxford Bulletin of Economics and Statistics 65. także: Breuning, Pagan (2001) Some Simple Methods for Assessing Markov Switching Models

Literatura Diebold, F.X., Lee, J.H., Weinbach, G. (1994) Regime switching with time-varying transition probabilities. In: Hargreaves, C.P. (Ed.), Non-Stationary Time Series Analysis and Cointegration. Cambridge University Press. M. Haas, S. Mittnik, M. Paolella (2004) A New Approach to Markov-Switching GARCH Models, Journal of Financial Econometrics

Testowanie modeli przełącznikowych Test ilorazu wiarygodności H0: model liniowy prawdziwy H1: model przełącznikowy prawdziwy do testowania modeli zagnieżdżonych, także do testów restrykcji na parametry

Testowanie modeli przełącznikowych Problem: Parametry macierzy przejścia (ang. transition matrix) nieidentyfikowalne gdy H0 prawdziwa Statystyka LR nie ma standardowego rozkładu „chi-kwadrat” Rozwiązanie: empiryczny rozkład LR jako przybliżenie prawdziwego rozkładu

Testowanie modeli przełącznikowych Empiryczny rozkład LR: wygenerować sztuczne obserwacje zmiennej objaśnianej zgodne z modelem H0 oszacować modele H0 i H1 na nowych danych i policzyć statystykę LR (możliwe błędy oszacowań!) powtarzać poprzednie kroki wiele razy by otrzymać rozkład empiryczny LR

Przykład Metoda bootstrap: Di Sanzo (2009) wykorzystaj wystandaryzowane reszty z modelu H0 do generowania wartości zmiennej objaśnianej (bootstrap)

Testowanie modeli przełącznikowych B. Hansen 1992: „wystandaryzowana” statystyka sup-LR i podany rozkład asymptotyczny dla niej test „liberalny” - łatwo odrzuca hipotezą zerową wymaga wyliczeń funkcji wiarygodności dla różnych wartości parametrów modelu H1

Test Hansena Przykładowy model: Hipotezy:

Test Hansena c.d. Funkcja wiarygodności: Dla ustalonego „alfa”: Statystyka testowa … z artykułu Di Sanzo (2009)

Garcia (1998) Oznaczenia: Statystyka testowa:

Garcia (1998) Grid search dla parametrów z macierzy przejścia, reszta parametrów szacowana Ogólny wynik: można stosować teorię dla statystyk supLM, supLR, supWald łatwo wyznaczyć wartości krytyczne dla podstawowych modeli przełącznikowych Markowa

Testowanie modeli przełącznikowych J.S. Cho, H. White (2007) Testing for regime switching, Econometrica, Vol. 75, 1671–1720. Statystyka Quasi-LR do testowania modeli mieszaniny rozkładów i przełącznikowych Markowa M. Carrasco (2002) – test modelu progowego może służyć do wykrywania modeli przełącznikowych M. Carrasco, L. Hu, W. Ploberger (2009) Optimal test for Markov Switching Parameters

Testowanie specyfikacji Breuning, Najarian, Pagan (2003): Czy specyfikacja modelu MS jest odpowiednia? Czy model został dobrze oszacowany? Czy drugi reżim to nie „outliers”? Porównanie: średnich i wariancji, innych parametrów, funkcji gęstości zmiennej objaśnianej, obliczonych na danych rzeczywistych i na danych symulowanych

Testowanie specyfikacji Porównanie parametrów Wariancje oszacowań - drugi element trudno policzyć (pierwszy UMM) Statystyka „konserwatywna”: H0: specyfikacja modelu prawidłowa

Rozszerzenie modeli przełącznikowych Modele ze zmiennymi parametrami macierzy przejścia (TVTP-MSR): Model regresji Macierz przejścia Model objaśniający prawdopodobieństwa przejścia:

Estymacja TVTP-MSR Możliwe zastosowanie metody EM dla ustalonych parametrów b i d obliczamy prawdopodobieństwo przebywania w stanie 1, 2 itd.. szukamy (metodą gradientową) nowych wartości parametrów b i d oraz wyliczamy logL (wg EM optymalizujemy logL, w praktyce tylko przesuwamy się w kierunku gradientu) powtarzamy poprzednie kroki do momentu znalezienia maksimum (lokalnego)

Modele MS-GARCH Ogólny zapis modelu MS-GARCH(1,1) Problem: wariancja warunkowa zależy od całej historii reżimów

Modele MS-GARCH Rozwiązanie 1 (Gray, 1996): Oblicz: …można też podstawić (Klaassen, 2002) zamiast Podstaw do nowego równania wariancji: Wada: trudno wyprowadzić własności wariancji warunkowej, np. stacjonarność

Modele MS-GARCH Rozwiązanie 2, preferowane (Haas, Mittnik, Paloella, 2004): Wariancje jak w MSR: Definiujemy wektor wariancji: Równanie modelu GARCH(1,1):

Przykład - symulacja Źródło: Haas et al..

Przykład 2

Przykład 2 c.d. Obserwacje w dwóch reżimach

Model MSR-GARCH Model MSR-GARCH(1,1) Estymacja: Metoda gradientowa: BFGS W każdym kroku obliczane prawdopodobieństwa reżimów + szeregi wariancji warunkowych Dużo wartości startowych, możliwe restrykcje na parametry

Przykład MS-GARCH********************************************** maxf -1.4379995 beta -0.010338848 0.15412256 0.020001535 0.12030338 0.021014366 -2.6471906e-006 bledy standardowe 0.020567929 0.020556687 0.015143933 0.021969824 0.057673696 0.036715437 staystyka t -0.50266841 7.4974415 1.3207622 5.4758464 0.36436656 -7.2100207e-005 macierz przejscia P 0.99201727 0.028395842 0.0079827324 0.97160416 parametry rownania wariancji 0.064871187 0.11878685 0.85204817 0.92027467 0.20891460 1.0895705e-023 0.00000000 0.43774308 wariancja długookresowa