ZARZĄDZANIE FINANSAMI PRZEDSIĘBIORSTWA Doc. dr Sławomir Wymysłowski Wydział Zarządzania UW

Wartość przyszła (FV) płatności pojedynczych z uwzględnieniem jednokrotnej kapitalizacji w poszczególnych okresach FVn = PV ∙ (1+r)n gdzie: PV – kwota początkowa (inwestowana) r – stopa procentowa (dla jednego okresu) n – ilość okresów (liczba kapitalizacji), w których zainwestowana kwota będzie przebywać w danej inwestycji FVn – przyszła kwota na koniec n-tego okresu (1+r)n - współczynnik oprocentowujący (procent składany)

FVn = PV ∙ odczyt z tabeli A ( stopa procentowa „r”, „n”-ty okres)

Wartość przyszła (FV) płatności pojedynczych z uwzględnieniem jednokrotnej kapitalizacji w poszczególnych okresach

Wartość przyszła (FV) płatności pojedynczych bez kapitalizacji FVn =PV∙(1+r∙n) gdzie: PV – kwota początkowa (inwestowana) r – stopa procentowa (dla jednego okresu) n – ilość okresów, w których zainwestowana kwota będzie przebywać w danej inwestycji FVn – przyszła kwota na koniec n-tego okresu (1+r∙n) - współczynnik oprocentowujący (procent prosty)

Wartość przyszła (FV) płatności pojedynczych bez kapitalizacji

Wartość bieżąca (PV) płatności pojedynczych z uwzględnieniem niemożności jednokrotnej kapitalizacji w poszczególnych okresach PV = FVn ∙ 1 (1+r)n gdzie: PV – wartość bieżąca przyszłej płatności FVn - wartość przyszła danej płatności na koniec n-tego okresu r – stopa dyskontowa (dla jednego okresu) n – okres, z którego sprowadzana jest przyszła wartość; liczba kapitalizacji, których jest się pozbawionym w okresie oczekiwania na przyszły pieniądz. - współczynnik dyskontujący (dyskonto złożone, dyskonto składane)

PVn = FV ∙ odczyt z tabeli C ( stopa dyskontowa „r”, „n”-ty okres)

Wartość bieżąca (PV) płatności pojedynczych z uwzględnieniem niemożliwości jednokrotnej kapitalizacji w poszczególnych okresach

Wartość bieżąca (PV) płatności pojedynczych bez kapitalizacji PV = FVn ∙ 1 (1+r∙n) gdzie: - współczynnik dyskontujący (dyskonto proste)

Wartość przyszła annuity (serii płatności okresowych) powstających z dołu, tzn. na koniec poszczególnych okresów FVA = A ∙ ( ) (1+r)n - 1 r z dołu gdzie: annuity – seria stałych płatności (A) dokonywanych w ciągu (n) okresów, w równych odstępach czasu, których liczba jest znana FVA – przyszła wartość serii płatności okresowych na koniec n-tego okresu dla n płatności okresowych r – stopa procentowa n – liczba płatności, równa liczbie okresów A – wielkość stałej płatności

FVA = A ∙ odczyt z tabeli B z dołu (stopa procentowa „r”, „n” okresów)

Wartość przyszła annuity z góry na początku poszczególnych okresów FVA = A ∙ [ -1] lub FVA= FVA∙(1+r) (1+r)n+1 - 1 r z góry z góry z dołu gdzie: FVA z góry– przyszła wartość annuity na koniec n-tego okresu dla n płatności okresowych r – stopa procentowa n – liczba płatności, równa liczbie okresów A – wielkość annuty (stałego strumienia) realizowanego na początek każdego okresu.

FVA = A ∙ odczyt z tablicy B ∙ (1+r) FVA = FVA ∙ (1+r) lub FVA = FVA ∙ (1+r) z góry z góry z dołu

Wartość bieżąca annuity na koniec poszczególnych okresów (z dołu) PVA = A ∙ (1+r)n -1 r∙(1+r)n z dołu gdzie : PVA – wartość bieżąca annuity dla n płatności i stopy dyskontowej równej r A – wielkość cyklicznej płatności (annuity) r – stopa dyskontowa n - liczba płatności

PVA = A ∙ odczyt z tabeli D z dołu (stopa dyskontowa „r”, „n” okresów)

Wartość bieżąca annuity z góry (1+r)n -1 PVA = A∙ lub PVA = PVA ∙ (1+r) r (1+r)n-1 z góry z góry z dołu gdzie : PVA – wartość bieżąca annuity dla n płatności stopy dyskontowej r A – wielkość cyklicznej płatności (annuity) r – stopa dyskontowa n – liczba płatności

PVA = A ∙ odczyt z tabeli D ∙ (1+r) PVA = PVA ∙ (1+r) lub PVA = PVA ∙ (1+r) z góry z góry z dołu

Renta dożywotna (perpetuity) PVP = A ∙ oraz lub PVP = PVP +A 1 r z dołu (1+r) r z góry z góry z dołu

Efektywna roczna stopa procentowa Niech R oznacza efektywną stopę procentową, r – stopę procentową dla pewnego podokresu (np. miesiąca, kwartału) roku, a n – liczbę takich podokresów w roku, a zarazem liczbę kapitalizacji w roku (n = 12 dla miesiąca n = 4 dla kwartału). Wówczas: R = (1+r)n - 1

B) Jeżeli efektywna roczna stopa procentowa wynosi R, to stopa procentowa r dla podokresu w roku określona jest wzorem: r = n√R+1 - 1

C) Najczęściej znana jest nominalna roczna stopa procentowa C) Najczęściej znana jest nominalna roczna stopa procentowa. Przy założeniu, że kapitalizacja dokonywana jest w krótszych okresach niż rok (np. miesiąc, czy kwartał), liczy się efektywną roczną stopę procentową według wzoru: R = [ 1 + ] – 1 gdzie: Rn - nominalna roczna stopa procentowa m - liczba kapitalizacji w ciągu roku. m Rn m

Założenia do planu spłaty pożyczki Przedsiębiorstwo zaciąga pożyczkę w wysokości 100 000 zł na okres 5-ciu lat. Oprocentowanie pożyczki w stosunku rocznym wynosi 8,5% Pożyczka będzie spłacana w systemie jednakowych płatności 1 raz w roku z dołu Roczna płatność (rata kapitałowa wraz z odsetkami) wyniesie: = 25.374 100 000 3,941

Kapitał na początku roku Kapitał na końcu roku (3-5) Plan spłaty pożyczki Koniec roku Rata pożyczki Kapitał na początku roku Płatności Kapitał na końcu roku (3-5) Różnice Odsetki (8,5% x 3) Kapitał (2-4) 1 2 3 4 5 6 7 I 25.374,00 100.000 8.500 16.874 83.126 II 7.065 18.309 64.817 III 5.509 19.865 44.952 IV 3.821 21.553 23.399 V 1.989 23.385 - -14

Ocena opłacalności inwestycji Metody proste: Okres zwrotu gdzie: OZ – okres zwrotu nakładów inwestycyjnych PNI – początkowe nakłady inwestycyjne, niezbędne do uruchomienia projektu Zn – średnioroczny strumień zysku netto spodziewany z inwestycji po jej uruchomieniu A – średnioroczny strumień amortyzacji spodziewany z inwestycji po jej uruchomieniu PNI OZ = Zn + A

gdzie: Od – średnioroczny strumień odsetek należnych pożyczkodawcy kapitału obcego pozostałe oznaczenia – jak w poprzednim wzorze PNI OZ = Zn + A + Od

Prosty okres zwrotu (PP) Przykład 1 Projekt inwestycyjny charakteryzuje się następującymi przepływami pieniężnymi (w zł): Proszę obliczyć okres zwrotu dla tego projektu. Rok Gotówka netto - 5000 1 1000 2 3500 3 4500

Gotówka netto skumulowana Rozwiązanie Aby obliczyć okres zwrotu wyznacza się wartość skumulowanych przepływów pieniężnych według następującego schematu: Okres zwrotu =2 + = 2,11 roku Rok Gotówka netto Gotówka netto skumulowana -5000 - 5000 1 1000 -4000 2 3500 - 500 3 4500 4000 500 4500

Zdyskontowany okres zwrotu (DPP) przy r = 10% Rok Gotówka netto Zdyskontowana gotówka netto Zdyskontowana skumulowana gotówka netto -5000 1 1000 909,09 -4090,91 2 3500 2892,56 -1198,35 3 4500 3380,92 2182,57 DPP = 2 + ( 1198,35/3380,92) = 2,35 roku

∙ 100% Prosta stopa zwrotu PR = Zn + A PNI Zn + A + Od ∙100% PNI lub gdzie: PR – prosta stopa zwrotu pozostałe oznaczenia – jak w poprzednim wzorze

Metody dyskontowe Wartość zaktualizowana netto NPV = ∑ − PNI NPV = ∑ NCFt n NCFt lub (1+r)t (1+r)t t=1 t=0 gdzie: NPV – wartość zaktualizowana netto projektu NCFt – net cash flow – przepływy pieniężne netto tj. kwoty będące różnicami między wpływami i wydatkami w poszczególnych okresach ponoszenia nakładów inwestycyjnych i eksploatacji projektu t – kolejne okresy, w których powstawać będą wpływy i wydatki związane z projektem n – ostatni okres, w którym rozpatruje się opłacalność projektu PNI – jak w poprzednich wzorach

Wartość bieżąca netto (NPV) NPV = -I0 + + + … + CF1 CF2 CFn 1+r (1+r)2 (1+r)n gdzie: CFi – wielkość wolnej gotówki pozostającej w firmie w i-tym okresie r – stopa dyskontowa w okresie I0 - początkowe wydatki inwestycyjne n – okres eksploatacji inwestycji

Przykład 2 Stopa dyskontowa właściwa dla tego projektu wynosi r=10%. Przedsiębiorstwo ocenia opłacalność projektu inwestycyjnego o następujących wolnych przepływach pieniężnych (w zł): Stopa dyskontowa właściwa dla tego projektu wynosi r=10%. Okres 1 2 3 Przepływ pieniężny (CFi) -5000 1000 3500 4500

Rozwiązanie n NPV = -I0 + ∑ NPV = -5000 + + + = NPV = -5000 + 909,09 + 2892,56 + 3380,92 = 2182,57 CFi (1+r)i i=1 1000 3500 4500 1+0,1 (1+0,1)2 (1+0,1)3

Wewnętrzna stopa zwrotu IRR = r1 + IRR = r1 + PV( r2 – r1 ) PV lub PV + |NV| PV + |NV| gdzie: IRR – poszukiwana wewnętrzna stopa zwrotu projektu PV – najmniejsze dodatnie NPV, otrzymywane przy stopie r1 NV – najmniejsze ujemne NPV, otrzymywane przy stopie r2 r1 - stopa dyskontowa, przy której otrzymuje się PV r2 - stopa dyskontowa, przy której otrzymuje się NV

Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) NPV r

Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) IRR występuje, gdy NPV = 0, a więc 5000 + + + = 0 IRR = 28,71 % 1000 3500 4500 (1+IRR)2 (1+IRR)3 1+IRR

Próg rentowności BEPi = KS c - jkz gdzie: Dla produkcji jednoasortymentowej w ujęciu ilościowym próg ten można wyznaczyć przy pomocy poniższego wzoru: BEPi = gdzie: BEPi - ilościowy próg rentowności, KS - koszty stałe, c -cena jednostkowa, jkz -jednostkowe koszty zmienne KS c - jkz

Dla produkcji jednoasortymentowej próg rentowności w ujęciu wartościowym można wyznaczyć przy użyciu następującego wzoru: BEPw = gdzie: BEPw – wartościowy próg rentowności KZ - koszty zmienne w ujęciu globalnym, P - przychody ze sprzedaży. KS KZ 1 - P