Czy są liczby inne niż rzeczywiste ? zespolone, kwaterniony i dalsze. Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym.

Liczba – jedno z podstawowych pojęć ludzkiego poznania występujące już w czasach prehistorycznych, rozwinięte w takich dziedzinach, jak matematyka, fizyka , filozofia ( logika, epistomologia ) oraz religia ( symbolika religijna ). Jest to wstęp z prezentacji : Liczba - Polskie Towarzystwo Tomasza z Akwinu ptta.pl/pef/pdf/l/liczba.pdf Historia kształtowania się liczby jest pasjonująca, czasem wręcz tragiczna ( jak głoszą legendy ). Stworzenie matematyki, jako nauki teoretycznej przypisuje się Pitagorasowi i jego uczniom, ale odkrycia archeologiczne dowodzą, że twierdzenie Pitagorasa Babilończycy znali je XV wieków wcześniej. Dla pitagorejczyków matematyka była nie tylko metodą naukową, lecz także sposobem objaśnienia świata, narzędziem pomocnym w rozumieniu przyrody i drogą do doskonałości.

Łączenie matematyki i teologii, zapoczątkowane przez Pitagorasa, to charakterystyczny rys filozofii starożytnej Grecji i Średniowiecza a wpływ takiego myślenia możemy obserwować nawet w naszych czasach. Połączenie religii z racjonalna myślą, zapoczątkowane przez pitagorejska doktrynę, dało początek teologii świata zachodniego, od Platona przez św. Augustyna i św. Tomasza z Akwinu aż po Kartezjusza, Spinozę i Leibniza. Zostawmy na boku, historię , filozofię i religię, a zajmijmy się liczbami. Człowiek wymyślił liczby jako narzędzie rozwiązywania zadań związanych z liczeniem i mierzeniem. Najpierw były liczby naturalne : 1, 2, 3, 4, …. , służące do liczenia i porządkowania. Potem w wyniku podziału danej wielkości na równe części pojawiły się ułamki : 1/2 , 3/4 , 5/8 ……

Wydawało się, że każdą wielkość można zmierzyć za pomocą liczb naturalnych oraz ułamków. Wielkim szokiem dla pitagorejczyków, było dowiedzenie, że długość przekątnej kwadratu o boku długości 1, nie da się wyrazić za pomocą ułamka. Tą liczbą okazała się liczba niewymierna Odkrycie liczb niewymiernych, wcześniej przez Greków nieznanych, początkowo mocno zachwiało głoszoną przez pitagorejczyków wiarą w świat harmonijny, pełen proporcji, mierzalny za  pomocą liczb i  dający się opisać za  pomocą figur geometrycznych do tego stopnia, że najpierw fakt odkrycia liczb niewymiernych, postanowili trzymać w  tajemnicy. Przypomnijmy niektóre wiadomości o liczbach, poznane podczas szkolnej edukacji. Liczbami naturalnymi operowaliśmy już w okresie przedszkolnym.

Pokażmy Interpretację geometryczną liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych i rzeczywistych na osi liczbowej. . . . . . . . . . . . . N . C - = C . -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 7 8 9 Rozpoczynamy od 0, potem krok ( długości 1 ) po kroku, Idąc naprzód, otrzymujemy liczby naturalne ( „ następniki ” i zasada indukcji ) Zbiór liczb naturalnych jest dobrze uporządkowany ( niepuste podzbiory mają element najmniejszy ). Cofając się, tworząc „ poprzedniki ” ( wsteczna indukcja ) skonstruowaliśmy liczby całkowite ujemne. W zbiorze liczb całkowitych mamy porządek liniowy ( nazwa zgodna z tym co widzimy na osi ). Następnie dzieląc dwie liczby całkowite stworzyliśmy liczby wymierne

. . . . . . . . . Wykazaliśmy, że między każdymi liczbami wymiernymi jest nieskończenie wiele liczb wymiernych ( np. ich średnie arytmetyczne, geometryczne, itd. ). ……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………. C W Pomiędzy każde kolejne liczby całkowite „ wkładamy ” nieskończenie wiele liczb wymiernych . Nanieśmy liczby wymierne na oś liczbową ( czerwone punkty ). . . . . . . . . . C 1 2 3 4 5 7 8 9 ……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………. W Niewiarygodne, ale prawdziwe, na pierwszej osi, czerwonych punktów ( liczb naturalnych ), jest tyle samo, co na drugiej ( liczb wymiernych ). Wykazaliśmy, że Zbiór liczb wymiernych jest gęsto uporządkowany ( między każdymi liczbami istnieje inny )

……………………………………………………………………………. W Czy cała oś będzie czerwona ? Czy na osi są „ dziury ” ? Jeżeli są, jak jest ich dużo ? W poprzedniej prezentacji wskazaliśmy, że „ dziur ” jest nieskończenie wiele, są to „ miejsca ” , w których powinny pojawić się liczby niewymierne. Niewiarygodne, niewyobrażalne „ dziur ” jest „ więcej ” niż czerwonych punktów ( choć między każdymi punktami jest nieskończenie wiele Innych punktów, to jeszcze są „ luki ” między nimi i tych „ luk ”, jest „ więcej ” niż punktów ). ( alef 1 ) ……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………. W Jeżeli na osi do zbioru liczb wymiernych „ dorzucimy ” liczby niewymierne, „ wypełnimy luki ” zbiór liczb rzeczywistych jest uporządkowany ciągle ( zbiory ograniczone z góry, mają górne kresy.)

Na podstawowe zbiory liczbowe popatrzyliśmy geometrycznie. Wróćmy do teorii liczb i spójrzmy na te zbiory jako na struktury algebraiczne. Matematycy długo mieli problemy ze zdefiniowaniem liczb naturalnych. Zagadnienia te zasygnalizowaliśmy w prezentacji @ Co to jest liczba ? @. Dla celów dydaktycznych , przypomnijmy pewne konstrukcje zbiorów liczb całkowitych i wymiernych. C ( Zahl ) : Szkic konstrukcji zbioru liczb całkowitych jako par liczb naturalnych. Bierzemy zbiór Między elementami tego zbioru, czyli między parami liczb naturalnych określamy relację „ ~ ”

Relacja ta jest zwrotna, symetryczna i przechodnia czyli relacja „ ~ ” jest równoważnościowa i dzieli zbiór na klasy abstrakcji ( warstwy ), które zapisujemy Zauważmy, że Ponadto oznaczmy gdzie Teraz w zbiorze klas [ ( n , m ) ] definiujemy działania Własności dodawania : jest przemienne, łączne, element neutralny element przeciwny

Własności mnożenia : jest przemienne, łączne, element neutralny Wykażcie, że nie istnieje element odwrotny i zachodzi rozdzielność mnożenia względem dodawania. Zbiór nazywamy zbiorem liczb całkowitych. Zbiór C ( tych nowych ) liczb całkowitych z dodawaniem i mnożeniem tworzy strukturę pierścienia. Korzystając z naszych oznaczeń, gdzie możemy zdefiniować relację „ ≤ ” która ten zbiór porządkuje liniowo. Podstawowe zbiory liczbowe Interpretowaliśmy, geometrycznie na osi liczbowej,

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ale poznaliśmy ciekawą interpretację liczby całkowitej jako klasę abstrakcji pewnych par liczb naturalnych. Liczba 3, to klasa abstrakcji - zbiór par liczb naturalnych to punkty kratowe prostej y = x – 3 w I ćwiartce układu współrzędnych. y =x–2 N0 y =x–3 y =x+2 • • • • • • • • • 5 • • • • • • • • 4 • [(0,4)] • • • • • • • • • 3 [(0,3)] • • • • • • • • • 2 [(0,2)] • • • • • • • • • 1 [(0,1)] • • 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 8 N0 [(0,0)] [(1,0)] [(2,0)] [(3,0)] [(4,0)] [(7,0)] [(8,0)] • • • • • [(5,0)] [(6,0)] • • • • • • • • C - 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5 6 7 8 Wyznaczmy klasę abstrakcji liczby 2. 0. i tak dalej … Liczba - 2 : Są to współrzędne punktów kratowych prostej y = x - 2 to punkty kratowe ( I ćw. układu ) prostej y = x + 2

W ( Quotient ) : Szkic konstrukcji zbioru liczb wymiernych jako par liczb całkowitych. Bierzemy W tym zbiorze definiujemy relację „ ≈ ” między parami liczb całkowitych Relacja ta jest zwrotna, symetryczna i przechodnia czyli relacja „ ~ ” jest równoważnościowa. i dzieli zbiór na klasy abstrakcji ( warstwy ), które zapisujemy Stąd i nazywamy liczbami wymiernymi, Wygodnie jest, zamiast rozpatrywać rozważyć zbiór par, gdzie drugim elementem jest liczba naturalna.

to liczby wymierne, na których zdefiniowaliśmy działania : Teraz kolej na badanie własności dodawania i mnożenia. Własności dodawania : jest przemienne, łączne, element neutralny element przeciwny Własności mnożenia : jest przemienne, łączne, element neutralny element odwrotny i zachodzi rozdzielność mnożenia względem dodawania. Zbiór nazywamy zbiorem liczb wymiernych. Zbiór W ( tych nowych ) liczb wymiernych z dodawaniem i mnożeniem tworzy strukturę pierścienia.

• • • • • • • • • • • W • • • • • • • • 1/2 Zaznaczmy punkty należące do klasy abstrakcji - ⅔ Przypomnijmy znaną, ciekawą interpretację liczby wymiernej 1/2 - 3 jako klasę abstrakcji pewnych par liczb całkowitych. • • 6 Są to punkty kratowe prostej Są to punkty kratowe prostej Są to punkty kratowe prostej 5 ( oprócz początku układu ). 4 • • 3 • 2 • • - ⅔ 1/2 5/2 • -3 • • • W 1 mamy oś x - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5 6 7 8 • - 1 • • • - 2 • - 3 • - 4 Wyznaczmy geometrycznie, klasę abstrakcji liczby 5/2 . Punkty te znajdziemy, wykonując operacje odwrotne. - 5 Kreślimy prostą y = 2/5 x • • - 6 Są to punkty kratowe tej prostej

Zainteresowanych własnościami relacji ( które są równoważnościowe, porządkujące ) zapraszam do sygnalizowanej już prezentacji : @ Relacje, ich własności, typy relacji @ Relacja „ < ” ma następujące własności : Dla dowolnych zachodzi np. trichotomia, przechodniość monotonia dodawania, monotonia mnożenia. Dzięki tej relacji mniejszości, w zbiorze liczb wymiernych, zbiór ten jest uporządkowany gęsto. Aksjomatyka zbioru liczb wymiernych : 1. ( W, + , ∙ , 0 , 1 ) jest ciałem prostym 2. Ciało liczb wymiernych W nie jest izomorficzne z ciałem reszt Zp dla żadnego p. Określenie krótkie, ale występują pojęcia nieznane licealiście.

R ( Real ) Szkic konstrukcji zbioru liczb rzeczywistych Czy określimy ten zbiór jako zbiór par liczb wymiernych ? W prezentacji @ Konstrukcja zbioru liczb rzeczywistych @ przestrzegałem „ nie idźcie ta drogą ”. Mam nadzieję, że zdołałem do tego wszystkich przekonać. Ale nie wmawiałem, że należy z tej drogi zrezygnować raz na zawsze. Jak wiemy z wymienionej wyżej prezentacji zbiór liczb rzeczywistych można skonstruować aksjomatycznie ( aksjomat ciągłości ) bądź za pomocą przekrojów Dedekinda, lub korzystając z ciągów Cauche’go. Zainteresowanych zapraszam do wymienionej prezentacji, w której kreślimy wskazane konstrukcje zbioru liczb rzeczywistych. Użyłem słowa „ kreślimy ”, bo wiele pojęć potrzebnych do konstruowania zbioru, nie ma w obowiązującym programie licealnym, stąd omawiane konstrukcje są tylko zasygnalizowane i daleko im od precyzyjnych sformułowań.

. . . . . I znowu powróćmy do geometrycznej interpretacji zbiorów liczbowych. R . . X b . . . R a 1 Ale w gimnazjum poznaliśmy układ osi liczbowych, zwany prostokątnym układem współrzędnych, w którym punktowi X przyporządkujemy parę liczb Czy macie jakieś skojarzenia, sugestie ? Skoro liczba całkowita to para liczb naturalnych liczba wymierna to para liczb całkowitych, dlaczego nie utworzyć liczby, która byłaby parą liczb rzeczywistych. Interpretacje geometryczną już mamy wyżej. Pytanie „ czy jest sens taką ( niby ) liczbę rozpatrywać ? ”. Zanim odpowiemy na to pytanie, zauważmy, że możemy wskazać inne interpretacje tej proponowanej „ nowej ” liczby, którą oznaczmy symbolem z .

. . . . . . . . . . . . Pokażmy narzucające się interpretacje liczby z x O a Pokażmy narzucające się interpretacje liczby z współrzędne punktu, wektor ( współrzędne ) para liczb wyrażonych trygonometrycznie . Te nowe liczby, nazywamy liczbami zespolonymi ( dawniej, nosiły nazwę urojonymi ; ciekawe, dlaczego ). y . . z1 = ( a , b ) Mamy liczby zespolone b . z Czy potrafimy zdefiniować . . . ich dodawanie ? c x O a Czy można dodawać punkty ? . . d z2 = ( c , d ) Trudno mieć jakieś pomysły, ale jak odwołamy się do interpretacji wektorowej. Pomysł wydaje się prosty, wręcz oczywisty. Dodawanie liczb zespolonych ( punktów ) powiązać z dodawaniem wektorów.

. . . . . . . . Dodawanie liczb zespolonych ( punktów ) powiążmy = ( a , b ) b . z = ( a + c , b + d ) . c . . Dodawanie liczb zespolonych x O a ( punktów ) powiążmy . . d z2 = ( c , d ) z dodawaniem wektorów. Teraz pozostaje ten pomysł zrealizować. Kto umie dodawać wektory ( pary liczb ) poda definicję dodawania liczb zespolonych a zainteresowanych mnożeniem i dalszymi operacjami na liczbach zespolonych, zapraszam do prezentacji : @ Czy gimnazjalista potrafi wykonywać działania na liczbach zespolonych ? @ @ Liczby zespolone a punkty @ @ Liczby zespolone a trygonometria @

. . . . . Przypomnijmy różne postacie liczby zespolonej poznane w wymienionych prezentacjach : y . . = ( a , b ) z b . r = | z | . . x O a Niech Nie bez przyczyny przypomnę moje porzekadła „ Matematyka na funkcji stoi, a geometria na przekształceniach wspiera się ”, bo właśnie liczby zespolone są wygodnym narzędziem do określenia i badania przekształceń i ich własności. Na płaszczyźnie zespolonej wzory na przekształcenia punktu są proste, np. translacja o wektor wyraża się wzorem

a obrót wokół początku układu współrzędnych o kąt O roli liczb zespolonych w wielu dyscyplinach nauki, świadczy fakt, że jeszcze kilkanaście lat temu ( przed zmianami programu matematyki w liceum ) uczniowie technikum elektronicznego poznawali liczby zespolone potrzebne, do matematycznej Interpretacji zagadnień elektronicznych. Pokazaliśmy, że liczby zespolone są wygodnym sposobem zapisu punktów płaszczyzny i przekształceń płaszczyzny. Analizą euklidesowej przestrzeni rzeczywistej zajmuje się w ogólności tzw. analiza wielowymiarowa zaś analizą przestrzeni zespolonej analiza zespolona. Liczby zespolone znajdują zastosowanie m.in. w w wyznaczaniu pierwiastków równań kwadratowych, których wyróżnik jest mniejszy od zera, teorii fraktali, analizie grafów,

Całkowite analizie obwodów elektrycznych prądu przemiennego, oraz rozwiązywaniu wielu problemów różniczkowych, zagadnień całkowych, przy użyciu transformacji Fouriera, w mechanice kwantowej, Zatem każdy kto na studiach będzie mieć zajęcia z matematyki, będzie musiał uczyć się działań na liczbach zespolonych. Jeszcze raz popatrzmy na konstrukcje zbiorów zaprezentowanych w tej prezentacji : Całkowite Mamy dany zbiór liczb naturalnych N. Bierzemy zbiór i relację „ ~ ” równoważnościową W zbiorze klas abstrakcji określamy działania : „ + ” , „ ∙ ” oraz relację „ ≤ ”. Pierścień liczb całkowitych uporządkowany liniowo.

Wymierne Rzeczywiste Zespolone Mamy zbiór liczb całkowitych C. Bierzemy zbiór i relację „ ≈ ” równoważnościową W zbiorze klas abstrakcji określamy działania : „ + ” , „ ∙ ” oraz relację „ ≤ ”. ciało liczb wymiernych uporządkowany gęsto. Rzeczywiste Jak wiemy zbiór liczb rzeczywistych w prezentowany sposób nie można zbudować. Zespolone Mamy zbiór liczb rzeczywistych R. Bierzemy W tym zbiorze określamy działania : „ + ” , „ ∙ ” ciało liczb zespolonych. Przy tym przeglądzie nasuwają się pytania : Czy takie konstrukcje można dalej budować ? Jeżeli tak, to dlaczego nie było takiej konstrukcji W × W ?

Zanim spróbujemy na te pytania odpowiedzieć, analizując konstrukcje, zauważmy różnice między nimi. W dwu pierwszych przypadkach, budując zbiór liczb całkowitych oraz wymiernych, tworzyliśmy zbiory klasy abstrakcji na tle pewnych relacji. W trzecim przypadku, już pojedyncze pary liczb rzeczywistych są liczbami zespolonymi. W tym zbiorze nie określiliśmy relacji porządkującej, bo takowej nie można wprowadzić. W tym momencie warto przypomnieć, że w prezentacji @ Czy 5 + 5 = 3 ? @ rozpatrywaliśmy zbiór liczb tygodniowych, który z dodawaniem i mnożeniem, ma strukturę ciała. Wykazaliśmy, że tego ciała liczb tygodniowych nie można uporządkować. Czy ciało liczb zespolonych można uporządkować ? Spróbujmy to zbadać.

Gdyby istniała relacja „ ≤ ” taka, że jest ciałem uporządkowanym to spełniałaby następujące warunki : Ponieważ „ ≤ ” jest porządkiem liniowym, więc dla każdego a, mamy W obu przypadkach Ale kwadratami 1 i i są 1 i -1, czyli co jest niemożliwe, bo Zatem w C nie można określić relacji „ ≤ ” . Fakt, że Z nie można uporządkować przez relacje „ ≤ ”, nie oznacza, że nie da się wprowadzić innego porządku. W zbiorze liczb zespolonych można zdefiniować porządek leksykograficzny.

є Czy według omawianego przepisu można konstruować dalsze zbiory liczbowe ? Spróbujmy. Weźmy ( pary liczb zespolonych ). є para liczb zespolonych dwie pary liczb rzeczywistych czwórka liczb rzeczywistych Takie obiekty w 1843 r. wprowadził W. Hamilton. Służyły mu one do opisu mechaniki w przestrzeni trójwymiarowej. Obiekty te ( czwórki liczb rzeczywistych ) nazywamy liczbami hiperzespolonymi lub krócej kwaternionami. Najprostszą postacią liczby zespolonej jest zapis Wygodna postać, bo dodawać, mnożyć, potęgować liczby zespolone tej postaci potrafią gimnazjaliści ( co uzasadniłem w prezentacji : @ Czy gimnazjalista potrafi wykonywać działania na liczbach zespolonych ? @ )

Również kwaterniony można przedstawić w różnych postaciach, z których najprostszą jest Z powyższych warunków natychmiast wynika, że mnożenie kwaternionów nie jest przemienne. Wykonywanie dodawanie, mnożenie kwaternionów podobne do działań na liczbach zespolonych. Niech Wtedy Żmudnie obliczając, można wykazać, że mnożenie jest łączne i zachodzi rozdzielność mnożenia względem dodawania.

Zbiór kwaternionów z dodawaniem tworzy grupę a ponieważ mnożenie jest łączne i zachodzi rozdzielność ( obustronna ) mnożenia względem dodawania to zbiór kwaternionów działaniami „ + ” i „ ∙ ” ma strukturę pierścienia nieprzemiennego. Co więcej : w zbiorze kwaternionów z działaniami spełnione są w nim wszystkie aksjomaty ciała  z wyjątkiem przemienności mnożenia. Zwróćmy uwagę, że kwaterniony postaci    można utożsamiać z liczbami rzeczywistymi, zaś zbiory kwaternionów możemy utożsamiać z ciałem liczb zespolonych. Kwaterniony znalazły zastosowanie w grafice komputerowej do wykonywania obrotów w przestrzeni trójwymiarowej.

Doskonałym przykładem wykorzystania kwaternionów w grafice komputerowej jest obraz wirującej Merkaby. A oto zbiór Julii z przestrzeni R 4, wygenerowany dzięki kwaternionom : Kwaterniony służą programistom gier do generowania obrotów i orientacji w przestrzeni 3D m.in. do kamer third person ( stosowane już w Tomb Raiderze I , II ). Zastosowania w matematyce są jednak o wiele szersze. Sam Hamilton używał kwaternionów do linearyzacji ( aproksymacja, przybliżone rozwiązanie ) równań różniczkowych m.in. w mechanice nieba.

Kwaternionów Hamiltona używa się do konstrukcji wiązek wektorowych w geometrii różniczkowej. Użyto ich też w teorii liczb do badania liczby przedstawień liczby naturalnej jako sumy czterech kwadratów liczb całkowitych ( co przydaje się w równaniach różniczkowych cząstkowych ). geometrii algebraicznej ( stożkowe jako rozmaitości Severi ), pojawiają się w teorii kohomologii Galois . Analizując warunki przy określeniu kwaternionów być może niektórym przyjdzie do głowy pytanie : czy tych warunków nie można zmienić ? Oczywiście nie byle jak, ograniczymy się tylko do znaków. Pomysł jest trafiony !

Tessaryny ( liczby dwuzespolone ) to liczby postaci : z czego wynika, że Tessaryny w 1848 r. i kokwaterniony w 1849 r. wprowadził J. Cockle, by wyizolować szereg cosinusa hiperbolicznego i sinusa hiperbolicznego z szeregu wykładniczego. Najbardziej znane są tessaryny postaci nazwane liczbami podwójnymi, użytecznymi w geometrii hiperboli. Kokwaterniony ( kwaterniony rozdzielne ) to liczby postaci

Kokwaterniony Dodawania, mnożenia kokwaternionów jest oczywiste i łatwo wykazać własności działań. Podobnie jak kwaterniony Hamiltona z mnożeniem, kokwaterniony kształtują czterowymiarową rzeczywistą przestrzeń wektorową,. a z dodawaniem i mnożeniem tworzy strukturę pierścienia ( nieprzemiennego ). W tej prezentacji czterokrotnie wykonaliśmy pewną konstrukcję dzięki której zbudowaliśmy zbiory liczb całkowitych, wymiernych, zespolonych i kwaternionów.

Zapraszam Koniec prezentacji Liczby otrzymane z liczb zespolonych za pomocą tej konstrukcji zwaną konstrukcją Cayleya-Dicksona nazywamy liczbami hiperzespolonymi. W tej prezentacji poznaliśmy liczby hiperzespolone. Czy są jeszcze inne liczby ? Są. Poznamy je następnej prezentacji. Zapraszam Opr. WWWęgrzyn i-lo. tarnów. Bardzo proszę o krytyczne przeanalizowanie prezentacji i przekazanie uwag, by po korekcie, można było ją uznać za poprawną. Z góry dziękuję. Koniec prezentacji tel. 14 690 87 61 belferww@ op.pl