Testowanie hipotez statystycznych

Test statystyczny to reguła postępowania do sprawdzenia prawdziwości hipotezy statystycznej na podstawie wyników próby losowej.

Zasady konstruowania testów Konstrując test statystyczny należy zdefiniować hipotezę zerową oraz hipotezę alternatywną. hipoteza zerowa oznaczana jest jako H0 . W tej hipotezie należy podać wartości które chcemy porównać. np. H0: m=m0.

Hipoteza alternatywna hipoteza alternatywna np. H1: mm0 H1: m > m0 H1: m < m0

Wybór statystyki testowej Zakładając, że hipoteza H0 jest prawdziwa tworzy się pewną statystykę testową Z, będącą funkcją wyników z próby losowej. Wszystkie hipotezy weryfikuje się przy założeniu, że hipoteza zerowa jest prawdziwa.

Poziom istotności  To obrane z góry, najczęściej małe prawdopodobieństwo popełnienia błędu polegającego na odrzuceniu testowanej hipotezy prawdziwej.

Obszar krytyczny Obszar krytyczny zawiera takie wartości zmiennej Z, jakie musiałaby ona przyjąć, aby było to "mało prawdopodobne", tzn. aby prawdopodobieństwo zaistnienia tych wartości było małe, równe poziomowi istotności.

Podjęcie decyzji Jeśli wartość statystyki testującej Z znajdzie się w obszarze krytycznym, to wystąpiło zdarzenie bardzo mało prawdopodobne, a to oznacza, że nie jest spełnione założenie o prawdziwości hipotezy zerowej.

Testy istotności To taki rodzaj testów statystycznych, w których na podstawie wyników próby losowej podejmuje się jedynie decyzję odrzucenia hipotezy sprawdzanej lub stwierdza się, że brak jest podstaw do jej odrzucenia.

Testy istotności dla jednej próby (Model I) Założenia: Populacja generalna ma rozkład normalny N(m, ) o nieznanej wartości średniej m oraz znanym odchyleniu standardowym . Stawiamy hipotezę: H0: m=m0 (gdzie m0 jest konkretną wartością hipotetyczną średniej) H1: mm0 lub m>m0 lub m<m0

Weryfikacja hipotezy na podstawie wyników z próby Aby zweryfikować postawioną hipotezę pobieramy próbę losową i tworzymy statystykę. m=m0 Jeśli różnice pomiędzy wartością średnią z próby i wartością hipotetyczną są duże czyli istotne, wówczas wartość tej statystyki znajdzie się w obszarze krytycznym. Jeśli różnice są małe czyli nieistotne wówczas nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

Poziom istotności Przyjmujemy poziom istotności równy alfa czyli określamy jakie może być prawdopodobieństwo odrzucenia prawdziwej hipotezy zerowej.

Obszar krytyczny dla H1: mm0 Z tablicy dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego N(0,1) wyznacza się taką wartość krytyczną u, by dla założonego z góry małego prawdopodobieństwa  zachodziła równość P(|U| u) =  Zbiór wartości zmiennej U określony nierównością |u|  u tworzy obszar krytyczny tego testu

H1: mm0 obszar dwustronny W =(-, -u)  ( u, )

H1: m > m0, W = (u2, + )

Obszar krytyczny lewostronny H1: m < m0, W = (-, - u2)

Obszar krytyczny Ostatnim zadaniem w testowaniu hipotez jest interpretacja wyników. Gdy otrzymamy taką wartość statystyki u że znajdzie się w obszarze krytycznym, to hipotezę H0 odrzucamy, uznajemy zatem, że wartość średnia populacji różni się istotnie od wartości hipotetycznej m0 W przeciwnym wypadku nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0.

Testy istotności dla jednej próby (Model II) Założenia: Populacja generalna ma rozkład normalny N(m, ) o nieznanej wartości średniej m oraz nieznanym odchyleniu standardowym . Stawiamy hipotezę: H0: m=m0 (gdzie m0 jest konkretną wartością hipotetyczną średniej) H1: mm0 lub m>m0 lub m<m0

Obszar krytyczny dwustronny H1 : m  m0 W =(-, -t)  ( t, )

Obszar krytyczny lewostronny H1 : m < m0 Lewostronny obszar krytyczny W = (-, - t2)

Obszar krytyczny prawostronny H1 : m > m0 Prawostronny obszar krytyczny W = (t2, + )

Wartość p – prawdopodobieństwo komputerowe P- wartość – poziom prawdopodobieństwa p – najmniejszy poziom istotności, przy którym wyliczona wartość statystyki, doprowadza do odrzucenia hipotezy zerowej.

Obszar krytyczny prawostronny H1 : m > m0 Prawostronny obszar krytyczny W = (t2, + ) p

Wartość p- poziom prawdopodobieństwa Wartość p porównujemy z przyjętym poziomem istotności . Jeżeli p <  odrzucamy H0 i stwierdzamy istotną różnicę między średnimi. Jeżeli p >  to przy danym poziomie istotności alfa nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.