Zarządzanie Projektami Prowadzący: dr inż. Piotr Chwastyk e-mail: piotr.chwastyk@pwsz.nysa.pl www.chwastyk.pwsz.nysa.pl

Wprowadzenie do technik sieciowych Wykorzystanie metod sieciowych w planowaniu przedsięwzięć składa się z kilku etapów: Punktem wyjścia metod sieciowych jest sporządzenie listy czynności (zadań cząstkowych) składających się na przedsięwzięcie, ustalenie zależności pomiędzy nimi (kolejności ich wykonywania) i czasów ich trwania. W zależności od tego jak określone są czasy trwania czynności wyróżnia się m.in. metody sieciowe deterministyczne i stochastyczne. Deterministyczne modele sieciowe zakładają, że czasy trwania czynności są określone jednoznacznie (jedną liczbą), a najbardziej znaną jest tu metoda CPM (Critical Path Method) oraz jej rozszerzenie o analizę czasowo-kosztową CPM-COST. Modele stochastyczne zakładają, że czasy trwania czynności można określić tylko z pewnym prawdopodobieństwem a najpopularniejszą z nich jest PERT (Program Evaluation and Review Technique) oraz PERT-COST.

Wprowadzenie do technik sieciowych Następnie przedsięwzięcie przedstawia się w postaci wykresu sieciowego (sieci zależności, sieci czynności). Podstawowymi elementami każdego wykresu sieciowego są: czynności i zdarzenia. Czynność to dowolnie wyodrębniona część przedsięwzięcia charakteryzująca się czasem trwania i zużywaniem środków. Obrazem graficznym czynności są strzałki (wektory). Kierunek strzałki (łuku) wskazuje kierunek przebiegu czynności w czasie (kolejność ich wykonywania): Czynność pozorna, to szczególny typ czynności, dla których charakterystyczne jest to, że nie zużywają czasu (czas ich trwania jest równy zeru) ani środków, a służą jedynie do przedstawienia zależności między czynnościami. Graficznym obrazem czynności pozornej jest strzałka przerywana:

Wprowadzenie do technik sieciowych Zdarzenie w modelu sieciowym oznacza osiągnięcie stanu zaawansowania prac przy realizacji przedsięwzięcia, jest to moment rozpoczęcia bądź zakończenia jednej lub więcej czynności. Zdarzenia przedstawiamy graficznie za pomocą kółek (lub innych figur geometrycznych, np. prostokąta, rombu): Zdarzeniom przyporządkowuje się zwykle kolejne numery i = 1, 2, ..., n, natomiast czynność charakteryzuje para wskaźników i-j, gdzie i jest numerem zdarzenia, w którym czynność się rozpoczyna, a j — numerem zdarzenia w którym czynność się kończy.

Wprowadzenie do technik sieciowych Przy konstrukcji sieci obowiązują pewne reguły. Wymaga się mianowicie, aby w modelu sieciowym przedsięwzięcia: istniał dokładnie jeden wierzchołek (zdarzenie) początkowy i jeden wierzchołek końcowy (postulat ten można spełnić wprowadzając tzw. czynności pozorne) wierzchołki i łuki (zdarzenia i czynności) były odpowiednio uporządkowane, tzn. każdy poprzednik ma mieć mniejszy numer lub wcześniejszą literę od następnika (zatem numerując zdarzenia należy zwracać uwagę na to, by zdarzenie wcześniejsze miało mniejszy numer i < j); wymóg ten w praktyce wyklucza wystąpienie cyklu (tzn. sytuacji, gdy wychodząc z jednego wierzchołka i poruszając się po krawędziach, można do tego wierzchołka wrócić); dwa zdarzenia były połączone tylko jedną czynnością; jeżeli kilka czynności wykonywanych równolegle poprzedza jedną, należy wprowadzić czynności pozorne; strzałki obrazujące czynności nie przecinały się.

Wprowadzenie do technik sieciowych Wyznaczenie podstawowych charakterystyk sieci dotyczących zarówno poszczególnych czynności i zdarzeń, jak i całego projektu (najwcześniejszych możliwych i najpóźniej szych dopuszczalnych momentów zaistnienia zdarzeń, zapasów czasu dla zdarzeń i czynności). Wyznaczenie terminu końcowego realizacji całego przedsięwzięcia oraz ścieżki krytycznej.

Metoda CPM - przykład Rozważmy przykład zamontowania silnika do samochodu. Czynności składające się na to przedsięwzięcie, kolejność ich wykonywania oraz czasy trwania (w minutach) ustalone przed konstrukcją projektu zestawiono w tabeli. Przeprowadzić analizę sieciową tak sformułowanego przedsięwzięcia, przyjmując jako kryterium optymalności minimalizację czasu realizacji projektu.

Czynności poprzedzające Metoda CPM - przykład Czynności Opis czynności Czas trwania Czynności poprzedzające a zaczepić silnik hakami uchwytu 3 — b podnieść silnik do góry 2 c opuścić silnik na poduszki zawieszenia silnika 4 d podnieść skrzynię biegów wraz z tylną poprzeczką 5 e zamocować poprzeczkę do podłogi 7 c, d f przykręcić wspornik rury wydechowej do skrzynki biegów i do rury wydechowej 10 g połączyć linkę napędu licznika km do przekładni napędu prędkościomierza e, f h przykręcić linkę wyłącznika sprzęgła do widełek i przykręcić przewód masy i przyłączyć przewody elektryczne do wyłącznika świateł cofania 8 g.h j podnieść wał napędowy k przyłączyć drążek zmiany biegów do dźwigni l zamontować przewód doprowadzający paliwo do pompy m przyłączyć przewód serwa podciśnieniowego n przyłączyć przewody gumowe łączące silnik z nagrzewnicą k, 1, m o założyć chłodnicę na wspornik w nadwoziu p zamocować chłodnicę u góry do szkieletu nadwozia r przyłączyć przewody gumowe do termostatu i pompy wodnej s przyłączyć wszystkie przewody elektryczne 17 t napełnić układ chłodzenia płynem niezamarzającym u sprawdzić, czy kurki spustowe są dobrze zakręcone 1 w założyć filtr powietrza na gaźnik wraz z oprzyrządowaniem 30 n, u x dokonać regulacji silnika s, w v sprawdzić poprawność instalacji elektrycznej y sprawdzić poprawność montażu 15 v, x z wykonać test silnika na hamowani 23

Metoda CPM - przykład Dla każdego zdarzenia w sieci wyznacza się: najwcześniejszy możliwy moment zaistnienia zdarzenia (t), najpóźniejszy dopuszczalny moment zaistnienia zdarzenia (T), zapas czasu (L). Charakterystyki te wpisuje się do zdarzeń zazwyczaj w następujący sposób, przy czym i jest numerem zdarzenia:

Metoda CPM - przykład Rozważmy fragment analizowanego przedsięwzięcia, a mianowicie czynności k, 1, m i n. Czynność n musi być poprzedzona wykonaniem czynności k, 1, m. Ze względu na konieczność spełnienia przedstawionych wymagań (punkt c), czynności te nie mogą być narysowane równolegle pomiędzy zdarzeniami 13 i 17 jak to przedstawiono na rysunku. Dlatego wprowadzamy tzw. czynności pozorne odzwierciedlające tylko następstwo w czasie (czas ich trwania jest równy zeru) i wykres prawidłowo wygląda jak na rysunku.

Metoda CPM – przykład – analiza w przód Ponieważ zdarzenie można uznać za zrealizowane dopiero wówczas, gdy zostaną zakończone wszystkie prowadzące do niego czynności, dlatego w przypadku, gdy do zdarzenia dochodzi więcej niż jedna czynność — najwcześniejszy możliwy moment zaistnienia tego zdarzenia jest równy maksymalnej z tak obliczonych wielkości, czyli tj = max {ti + ti-j} i tak np. dla zdarzenia 4 t4 = max {5 + 4; 3 + 5} = 9 minut. Natomiast najwcześniejszy możliwy moment zaistnienia zdarzenia następnego (j) jest równy sumie najwcześniejszego możliwego momentu zaistnienia zdarzenia poprzedniego (i) oraz czasu trwania czynności prowadzącej do zdarzenia (czas trwania czynności i-j oznacza się zwykle jako ti-j). A zatem w naszym przykładzie dla zdarzenia 2: t2 = tl + t1-2 = 0 + 3 = 3. Analizę ilościową rozpoczynamy od określenia najwcześniejszych możliwych momentów zaistnienia każdego zdarzenia — ti (wypełnienia lewej ćwiartki). Przyjmuje się, że najwcześniejszy możliwy moment zaistnienia zdarzenia początkowego jest równy zeru, tzn. t1 = 0. Wyznaczając w ten sposób najwcześniejsze możliwe momenty zaistnienia wszystkich kolejnych zdarzeń, stwierdzamy, że najwcześniejszy możliwy moment zaistnienia zdarzenia końcowego (tn — t23) wynosi 130 min.

Metoda CPM – przykład – analiza w tył Jeżeli do zdarzenia dochodzi więcej niż jedna czynność — wybieramy wielkość najmniejszą, czyli Ti = min {Tj - ti-j} Przykładowo, dla zdarzenia 13 T13 = min {45-2; 45-3; 45 -8} = 37 minut, a więc najpóźniejszy dopuszczalny termin zdarzenia 13 wynosi 37 minut. Następnie wyznaczamy najpóźniejsze dopuszczalne terminy dla wszystkich pozostałych zdarzeń. Najpóźniejszy dopuszczalny moment zaistnienia zdarzenia poprzedniego (i) obliczamy odejmując od najpóźniejszego dopuszczalnego terminu zdarzenia następnego (j) czas trwania czynności i-j. Obecnie wyznaczać będziemy najpóźniejsze dopuszczalne momenty zaistnienia poszczególnych zdarzeń, zaczynając od zdarzenia końcowego i poruszając się w kierunku przeciwnym do zwrotu strzałek. Aby przedsięwzięcie zrealizować w najkrótszym możliwym czasie, przyjmuje się, że najpóźniejszy dopuszczalny moment zaistnienia zdarzenia końcowego jest równy najwcześniejszemu możliwemu terminowi jego zaistnienia, tzn. Tn = tn. Wielkość tę wpisujemy arbitralnie w prawej ćwiartce zdarzenia końcowego.

Metoda CPM – przykład – zapasy czasu Również dla poszczególnych czynności można wyznaczyć najwcześniejsze możliwe i najpóźniejsze dopuszczalne momenty rozpoczęcia i zakończenia oraz zapasy czasu. Zapasy czasu dla czynności wyznacza się według wzoru: Zi-j = (Tj – ti-j) - ti I tak np. dla czynności d (2-4) : Z2-4 = (9 - 5) - 3 = 1, dla czynności b (2-3): Z2-3 = (5 -2) - 3 = 0 Mając wyznaczone najwcześniejsze możliwe i najpóźniejsze dopuszczalne momenty zaistnienia zdarzeń (t oraz T), obliczamy zapasy czasu dla poszczególnych zdarzeń. Zapas czasu zdarzenia jest różnicą między najpóźniejszym dopuszczalnym a najwcześniejszym możliwym terminem jego zaistnienia, czyli: Lj = Tj – tj np.: L15 = T15 – t15 = 45 – 40 = 5 minut

Metoda CPM – przykład – ścieżka krytyczna Tak więc termin końcowy realizacji przedsięwzięcia Tk = 130 min (termin zamontowania silnika do samochodu), a na ścieżce krytycznej leżą następujące czynności a-b-c-f-h-i-j-k-n-w-x-y-z. Jak już zauważono, ścieżka krytyczna jest najdłuższą drogą w sieci, a czas jej trwania (suma czasów kolejnych czynności leżących na ścieżce krytycznej) jest równy terminowi końcowemu (w tym przypadku 130 min). Dla uzupełnienia należy zaznaczyć, że w sieciach może występować więcej niż jedna ścieżka krytyczna. Znając termin końcowy realizacji całego przedsięwzięcia należy jeszcze wyznaczyć ścieżkę krytyczną. Drogą albo ścieżką w sieci nazywamy ciąg czynności i zdarzeń umożliwiający przejście od początku do końca sieci (każda ścieżka krytyczna rozpoczyna się w zdarzeniu początkowym, a kończy w zdarzeniu końcowym). Ścieżką krytyczną nazywamy drogę, której czas przejścia jest najdłuższy (wszystkie czynności muszą być zakończone). Czynności i zdarzenia leżące na niej mają zerowe zapasy czasu.

Metoda CPM – przykład – ścieżka krytyczna Wyznaczenie ścieżki krytycznej ułatwia kontrolę przebiegu realizacji przedsięwzięcia i dotrzymanie terminu końcowego. Umożliwia także szybką ocenę, jak zmiany lub opóźnienia terminów rozpoczęcia czynności wpłyną na terminowe ukończenie przedsięwzięcia. Znajomość czynności krytycznych ułatwia planowanie, kierowanie i koordynację realizacji przedsięwzięcia, ponieważ przekroczenie terminu zakończenia którejkolwiek czynności krytycznej powoduje opóźnienie wykonania całego projektu. Warto jednak zauważyć, że nie można wyłączyć spod kontroli czynności leżących poza ścieżką krytyczną, bowiem ich opóźnienia nie mają wpływu na termin końcowy i ścieżkę krytyczną tylko wówczas, gdy opóźnienia te mieszczą się w granicach posiadanych zapasów czasu. Jeżeli natomiast zniknie zapas czasu dla jakiegokolwiek ciągu czynności niekrytycznych, natychmiast pojawi się nowa ścieżka krytyczna, która będzie wpływać na termin realizacji przedsięwzięcia. Ciągi czynności niekrytycznych, wykazujące nieznaczne zapasy czasu, określane są jako drogi podkrytyczne i przy analizie sieci czynności wymagają również szczególnej uwagi.

Metoda PERT- przykład Dla każdej czynności dane są trzy oceny czasu jej trwania: a - czas optymistyczny (czas trwania czynności w najbardziej sprzyjających warunkach), b - czas pesymistyczny (czas trwania czynności w najmniej sprzyjających warunkach), m - czas modalny, najbardziej prawdopodobny (czas, który najczęściej występuje przy wielokrotnym powtarzaniu czynności). Spełniona jest przy tym relacja: a ≤ m ≥ b. Na podstawie tych trzech ocen oblicza się oczekiwany czas trwania czynności te wg następującego wzoru: i wariancję czasu oczekiwanego: która określa spodziewane odchylenie rzeczywistego czasu trwania czynności od wyznaczonego czasu oczekiwanego.

Metoda PERT– przykład Mając dane czynności składające się na przedsięwzięcie P, ich następstwo oraz czasy trwania (tabela) należy określić: najkrótszy czas trwania przedsięwzięcia, prawdopodobieństwo dotrzymania założonego terminu td = 30 dni. Czynności i - j Czasy (w dniach) Czasy oczekiwane te a m b 1-2 1-3 1-4 2-5 2-7 3-5 3-6 4-5 5-6 5-7 6-7 6-8 7-8 1 3 2 5 6 4 10 8 7 9 15 14

Metoda PERT– przykład Tak więc wg wzoru podanego na początku tego podrozdziału obliczamy wariancje σ2i-j dla czynności krytycznych: Biorąc pod uwagę oczekiwane czasy trwania czynności te, podobnie jak przy metodzie CPM wyznaczamy najwcześniejsze możliwe i najpóźniejsze dopuszczalne terminy zaistnienia zdarzeń i oczekiwany termin realizacji przedsięwzięcia oraz ścieżkę krytyczną (przechodzącą przez te czynności i zdarzenia, których zapasy czasu są równe zeru). Na wykresie czynności krytyczne zaznaczono pogrubionymi strzałkami. W tym jednak wypadku termin zakończenia przedsięwzięcia jest wielkością losową, rzeczywisty termin końcowy może się od niego mniej lub bardziej różnić. Stąd niezbędna jest znajomość tego odchylenia — wariancji oczekiwanego terminu wykonania (czyli czasu trwania przedsięwzięcia). Wariancja terminu wykonania (σ2Tw) jest sumą wariancji czynności krytycznych. Z przeprowadzonych obliczeń wynika, że spodziewana wielkość odchylenia rzeczywistego terminu wykonania przedsięwzięcia od wyznaczonego z sieci terminu oczekiwanego (32 dni) wynosi ±2,78. Ścieżka krytyczna przebiega przez zdarzenia i czynności: 1 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8, a najwcześniejszy oczekiwany termin zakończenia przedsięwzięcia wynosi 32 dni. Ścieżka krytyczna jest zaznaczona pogrubionymi strzałkami

Metoda PERT– przykład Znając oczekiwany termin wykonania oraz jego wariancję można także obliczyć prawdopodobieństwo, że przedsięwzięcie będzie zakończone w pewnym narzuconym z góry (dyrektywnyni) terminie td. Aby określić to prawdopodobieństwo oblicza się statystykę daną następującym wzorem: gdzie: td jest narzuconym z góry terminem, tw — oczekiwanym terminem wykonania przedsięwzięcia (najwcześniejszym możliwym terminem zdarzenia końcowego), a σ2Tw - wariancją terminu wykonania. Dla obliczonego współczynnika x z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego odczytuje się prawdopodobieństwo dotrzymania narzuconego z góry terminu, tzn.

Metoda PERT– przykład a F(-0,71) = 0,236651 W rozpatrywanym przykładzie tw= 32, a załóżmy, że interesuje nas prawdopodobieństwo dotrzymania terminu td = 30. Wobec tego a F(-0,71) = 0,236651 Jeżeli wartości prawdopodobieństwa dotrzymania terminu planowanego znajdują się w granicach od 0,25 do 0,6, to dotrzymanie tego terminu jest realne. Jeśli F(x) ≤ 0,25 (tak jak w tym przykładzie), to istnieje znikoma szansa dotrzymania terminu dyrektywnego. Jeśli F(x) > 0,6, to istnieją nie wykorzystane moce produkcyjne (istnieje nadmiar zasobów siły roboczej, maszyn, urządzeń itp.) do wykonania przedsięwzięcia w terminie dyrektywnym.

Metoda PERT– przykład Omawiając metody planowania sieciowego, zwracaliśmy uwagę przede wszystkim na analizę ilościową. Niemniej ważnym zagadnieniem programowania sieciowego jest aspekt ekonomiczny i możliwość modyfikacji modelu przez kompresję sieci wynikającą ze zbyt długiego dla inwestora lub odbiorcy okresu realizacji przedsięwzięcia. Względy ekonomiczne sprawiają, że należy wówczas rozpatrzyć techniczne możliwości skrócenia terminu wykonania całego programu w taki sposób, aby koszty związane z jego realizacją były jak najniższe. A zatem określenie optymalnego terminu realizacji przedsięwzięcia wiązać się będzie z takim ułożeniem programu przyspieszenia, aby największa akceleracja przypadała na te czynności krytyczne, których koszty przyspieszenia będą najniższe. Wynika to z faktu, że każde przyspieszenie terminu wykonania czynności powoduje wzrost kosztów (wyłączając drobne usprawnienia organizacyjno-techniczne), a odbiorca oczekuje efektu przy minimum wzrostu kosztów.

Metoda CPM-COST - przykład Przed przystąpieniem do prezentacji analizy CPM-COST należy podać podstawowe określenia i oznaczenia: tn - normalny czas trwania czynności, któremu odpowiadają najniższe koszty wykonania czynności Kn, tgr - czas graniczny, najkrótszy możliwy ze względów technicznych i technologicznych czas wykonania czynności przy koszcie granicznym Kgr. Zakładając liniowy przebieg zależności kosztów wykonania czynności od czasu jej trwania, możemy wyznaczyć tzw. średni gradient kosztu S, wg następującego wzoru: Współczynnik ten określa przyrost kosztów wykonania czynności spowodowany skróceniem czasu jej wykonania o jednostkę.

Metoda CPM-Cost – przykład Algorytm kompresji sieci jest następujący: Na podstawie normalnych czasów trwania czynności wyznaczyć termin końcowy i ścieżkę krytyczną. Zestawić czynności krytyczne i obliczyć dla nich gradienty kosztów S. Wyeliminować z zestawienia te czynności krytyczne, dla których średni gradient kosztów nie istnieje, tzn. tn = tgr . Proces skracania rozpocząć od czynności krytycznej o najniższym gradiencie kosztów S. Przy skracaniu czasu trwania czynności należy czas o jak największą liczbę jednostek czasu (dni), dwa ograniczenia: czas graniczny danej czynności tgr,, pojawienie się nowej ścieżki krytycznej. Nowa ścieżka krytyczna pojawi się, jeżeli zniknie zapas czasu w ciągu czynności niekrytycznych. Jeżeli występują dwie lub więcej ścieżek krytycznych w sieci, należy skracać czas o tę samą wielkość na wszystkich równoległych ścieżkach krytycznych.

Metoda CPM-Cost – przykład Najkrótszy termin wykonania programu sieciowego uzyskuje się, gdy wszystkie czynności leżące na którejkolwiek drodze krytycznej osiągną czasy graniczne tgr.. Dalsze skracanie czasu wykonania programu jest wówczas niemożliwe. Koszty przyspieszenia na każdym etapie oblicza się jako iloczyn gradientu kosztów (S) dla danej czynności i liczby jednostek czasu (dni), o które dana czynność krytyczna została skrócona. Łączne koszty przyspieszenia są sumą kosztów poniesionych na poszczególnych etapach. Zaprezentowany algorytm do wyznaczania optymalnego programu akceleracji czynności i określenia najkrótszego czasu wykonania całego przedsięwzięcia przy minimum kosztów stosuje się zarówno do sieci CPM, jak i PERT.

Metoda CPM-Cost – przykład Mając dane charakteryzujące przedsięwzięcie P (tabela) dokonać skrócenia całkowitego czasu wykonania programu tak, aby koszt przyspieszenia terminu ukończenia przedsięwzięcia był jak najmniejszy. i-j tn tgr Kn Kgr S 1-2 8 6 280 400 60 1-4 10 5 100 150 2-3 4 300 50 3-6 12 260 20 4-5 15 — 5-6 2 200 360 1290 1780

Metoda CPM-Cost – przykład Po wykreśleniu siatki zależności (rysunek) wyznaczamy ścieżkę krytyczną, która przebiega przez zdarzenia 1 – 4 – 5 – 6. 5 20 26 14 8 6 5 20 30 18 12 4 i-j tn tgr Kn Kgr S 1-2 8 6 280 400 60 1-4 10 5 100 150 2-3 4 300 50 3-6 12 260 20 4-5 15 — 5-6 2 200 360 1290 1780 Czynnością, która znajduje się na ścieżce krytycznej, a której czas wykonania może jeszcze ulec przyspieszeniu, jest czynność 5 - 6. Czas graniczny dla tej czynności jest równy 2. Zauważmy jednak, że gdybyśmy czas trwania tej czynności skrócili do 2 dni, to i tak termin końcowy przedsięwzięcia wyniósłby 26 dni (bo tyle wynosi obecnie czas trwania drugiej drogi w sieci), a ponieślibyśmy niepotrzebne koszty. Dlatego na tym etapie czas wykonania tej czynności zostanie skrócony tylko do 6 dni (o 4 dni). Termin ukończenia ostatniego zdarzenia wyniesie 26 dni, a koszty wzrosną o: K2 — 4 · 20 = 80 jedn. pieniężnych. Rozpoczynamy od czynności o najmniejszym współczynniku wzrostu kosztów S, a więc od czynności 1—4, dla której S = 10. Czas trwania tej czynności możemy skrócić do 5 dni (tgr = 5 dni). Tym samym czas wykonania całego przedsięwzięcia zostanie skrócony do 30 dni, a wzrost kosztów spowodowany tym skróceniem wyniesie: K1 = S · Δt — 10 · 5 = 50 jedn. pieniężnych. Termin wykonania przedsięwzięcia wynosi 35 dni, a zapas czasu ciągu czynności niekrytycznych 1-2-3-6 wynosi 9 dni. Skrócenie czasu całkowitego wykonania programu można uzyskać dzięki skróceniu czasów trwania czynności krytycznych.

Metoda CPM-Cost – przykład 5 20 26 14 8 6 i-j tn tgr Kn Kgr S 1-2 8 6 280 400 60 1-4 10 5 100 150 2-3 4 300 50 3-6 12 260 20 4-5 15 — 5-6 2 200 360 1290 1780 Można skrócić czas czynności 5-6 jeszcze o 4 dni, aż do osiągnięcia czasu granicznego 2 dni. Równocześnie jednak należy skrócić o tyle samo czas wykonania czynności leżących na drugiej ścieżce krytycznej, a więc czynności 3-6 (o 2 dni) i 2-3 (o 2 dni). O kolejności skracania czasu czynności decyduje niższy gradient kosztów. Czas ukończenia całego przedsięwzięcia będzie zredukowany do 22 dni, a koszty związane ze skróceniem czasu na tym etapie wyniosą: 5 – 6 4 · 20 = 80 3 – 6 2 · 20 = 40 2 – 3 2 · 50 = 100 K3 = 220 W tej sytuacji powstaną dwie równoległe ścieżki krytyczne: 1 – 2 – 3 – 6 oraz 1 – 4 – 5 – 6 Od tego momentu skracania należy dokonywać równolegle na obydwu ścieżkach. Skracanie czasu wykonania programu jest nadal możliwe, bo na obu ścieżkach krytycznych znajdują się jeszcze czynności, które nie osiągnęły czasów granicznych.

Metoda CPM-Cost – przykład 3 Dalsze skracanie czasu programu jest niemożliwe, bowiem wszystkie czynności leżące na drodze krytycznej 1-4-5-6 osiągnęły czasy graniczne. Wykres sieciowy po dokonanych skróceniach przedstawiono na rysunku. Całkowity koszt przyspieszenia czasu wykonania przedsięwzięcia (Ko) z 35 do 22 dni jest równy sumie kosztów skracania poniesionych na kolejnych etapach i wynosi: Ko = K1 + K2 + K3 = 50 + 80 + 220 = 350 jedn. pieniężnych.