Treści multimedialne - kodowanie, przetwarzanie, prezentacja Odtwarzanie treści multimedialnych Andrzej Majkowski informatyka +

WIELOMIANY REALIZACJA METODĄ PROJEKTU Bronisław Pabich Agnieszka Rogalska pabich@interklasa.pl www.pabich.interklasa.pl

FUNKCJA KWADRATOWA Parabola Trójmian kwadratowy Parabola a trójmian kwadratowy Rola współczynników trójmianu kwadratowego Postać kanoniczna trójm. kwadr. Postać czynnikowa trójm. kwadr. Twierdzenia o funkcji kwadratowej FUNKCJE SZEŚCIENNE Rola współczynników funkcji trzeciego stopnia Funkcje typu WIELOMIANY Definicja wielomianu Dzielenie wielomianów Schemat Hornera Twierdzenie Bezoute’a Pierwiastki wymierne Zadania z rozszerzonej matematyki

Teksty poleceń do wykonania przez ucznia wyróżnione są Uwaga: Teksty poleceń do wykonania przez ucznia wyróżnione są niebieską czcionką.

LEKCJA 1 PARABOLA I FUNKCJA KWADRATOWA

ZADANIE KONSTRUKCYJNE: PARABOLA ZADANIE KONSTRUKCYJNE: Dana jest prosta k i punkt F nienależący do niej. Znajdź co najmniej cztery punkty, których odległość od prostej k jest taka sama jak od punktu F. Najpierw sprawdź, czy trzy punkty: P1, P2, P3 na poniższym rysunku spełniają taki warunek. P1 jest środkiem odcinka łączącego punkt F z jego rzutem prostokątnym na prostą k, a P2 i P3 są wierzchołkami odpowiednich kwadratów. uruchom konstrukcję 01.ggb

Trudniej znaleźć czwarty punkt P spełniający warunek zadania. Ponieważ, jego odległość od prostej k to długość odcinka PPk, gdzie Pk jest rzutem prostokątnym punktu P na prostą k, więc jeśli obierzemy dowolny punkt Pk na prostej k, wówczas punktu P możemy poszukiwać na prostej m prostopadłej do k, wystawionej w punkcie Pk.

Obierzmy zatem na kierownicy dowolny punkt Pk Obierzmy zatem na kierownicy dowolny punkt Pk. Ponieważ punkt P musi być tak odległy od punktu Pk jak od punktu F, to punkt P musi leżeć na symetralnej punktów F i Pk. Poszukiwany punkt P znajdujemy w przecięciu tej symetralnej z prostą m. Jeśli punkt Pk będziemy przesuwać po prostej k, wówczas punkt P zacznie poruszać się po pewnej krzywej. Ślad punktu P ujawnia jej kształt. Krzywa ta nosi nazwę parabola. uruchom konstrukcję 02.ggb

Poniższa animacja ilustruje kolejne kroki konstrukcji czwartego punktu, równo oddalonego od kierownicy i ogniska.

Parabola jest miejscem geometrycznym wszystkich punktów, równo oddalonych od stałej prostej i ustalonego punktu. Punkt F nosi nazwę ogniska paraboli (focus [gr] = ognisko), zaś prosta k to kierownica paraboli. Zbadaj w poniższej animacji, jak położenie ogniska paraboli wpływa na kształt paraboli. DEFINICJA

Wnioski z obserwacji animacji: Im odległość ogniska od kierownicy jest mniejsza, tym parabola ma szersze gałęzie. Jak się później okaże, parabola jest wykresem funkcji kwadratowej, którą już poznałeś na lekcjach algebry.

PARABOLA A FUNKCJA KWADRATOWA Skąd wiadomo, że krzywa, którą jest wykres funkcji kwadratowej, jest parabolą? Można to uzasadnić w następujący sposób: skoro parabola pokrywa się z wykresem funkcji kwadratowej g(x) = ax2, więc jej wierzchołek i pozostałe jej punkty muszą się pokrywać z wykresem tej funkcji. Wierzchołek paraboli leży na osi Ox bo b = c = 0. Zbadajmy, jaki związek zachodzi między wykresem funkcji kwadratowej a geometryczną krzywą, jaką jest parabola. Skoro wierzchołek paraboli leży na osi Ox i jest równo odległy od jej ogniska i kierownicy, więc ognisko F paraboli i jej kierownica są symetrycznie usytuowane względem osi Ox.

Wiemy już, że kształtem paraboli rządzi odległość jej ogniska od jej wierzchołka. Ta odległość to ogniskowa f paraboli. W poszukiwaniu związku pomiędzy ogniskową paraboli a współczynnikiem a funkcji kwadratowej posłużmy się odpowiednio przygotowanym plikiem GeoGebry. Komputer jest tu narzędziem wykrywającym tę relację. Umieśćmy ognisko paraboli w punkcie F(0,f), gdzie wartość f będziemy zmieniać za pomocą suwaka. Kierownicę umieśćmy równolegle do osi OX tak, by przechodziła przez punkt (0,-f). Sporządźmy wykres paraboli zgodnie z konstrukcją opisaną wcześniej. Utwórzmy drugi suwak dla współczynnika a i sporządźmy wykres funkcji g(x) = ax2. Teraz mamy możliwość odczytywania zarówno współczynnika a funkcji kwadratowej, jak również odległości f ogniska paraboli od osi OX, czyli długości ogniskowej paraboli.

Aby zobaczyć parabolę wykreśloną przez punkt P, poruszaj punktem Pk. Poszukajmy związku pomiędzy a i f. W tym celu w poniższej konstrukcji GeoGebry przesuwaj suwak współczynnika a. Uzyskasz jeden z wykresów funkcji kwadratowej. Dopasuj następnie tak suwak f, by dla wybranej wartości a wykresy obu paraboli pokryły się. Objawi się to faktem, że punkt P znajdzie się na niebieskim wykresie funkcji g(x)=ax2. Aby zobaczyć parabolę wykreśloną przez punkt P, poruszaj punktem Pk. uruchom konstrukcję 03.ggb

Wypełnij tabelę i wykryj związek funkcyjny pomiędzy a i f. Współczynnik a Długość ogniskowej f Iloczyn fa 1 0.5 0.25 0.125

LEKCJA 2 ROLA WSPÓŁCZYNNIKÓW A, B, C TRÓJMIANU KWADRATOWEGO

CO WIEMY JUŻ O FUNKCJI KWADRATOWEJ? Przypomnijmy sobie, co już wiemy o funkcji kwadratowej. Występowała ona w kilku postaciach: ogólnej postaci trójmianu kwadratowego: y = ax2 + bx + c postaci czynnikowej: y = a(x – x1)(x – x2) postaci kanonicznej: y = a(x – p)2 + q Pierwsza postać, zwana ogólną postacią trójmianu kwadratowego, zawiera trzy współczynniki a, b, i c, które mają wpływ na własności tej funkcji. Na jej podstawie można szybko ustalić liczbę miejsc zerowych tej funkcji i wyznaczyć je, o ile istnieją. Bez dodatkowych obliczeń trudno jednak naszkicować dokładnie jej wykres.

O liczbie miejsc zerowych trójmianu kwadratowego decyduje wielkość, zwana wyróżnikiem trójmianu kwadratowego, którą oznacza się symbolem . Jej wartość wyznaczamy ze wzoru:  = b2 – 4ac Gdy wyróżnik  jest dodatni, wówczas funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe, które obliczamy ze wzorów:

(zostaną one omówione dokładnie na kolejnych slajdach). Gdy wyróżnik  jest równy zero, wówczas, jak to wynika ze wzorów x1= x2 , trójmian ma jedno podwójne miejsce zerowe. Gdy wyróżnik  jest ujemny, wówczas wartość nie istnieje i trójmian kwadratowy nie ma miejsc zerowych. Aby utworzyć wykres trójmianu kwadratowego, nie wystarczą informacje o wartościach współczynników a, b i c. Już wiemy, że wykresem każdej z tych funkcji jest krzywa, którą jest parabola. Na jej kształt i położenie mają wpływ współczynniki a, b, i c. Uruchom poniższą konstrukcję GeoGebry, aby zbadać wpływ tych współczynników na wykres trójmianu kwadratowego. Zmieniaj położenie suwaków o nazwach a, b, i c i obserwuj skutki tych zmian (zostaną one omówione dokładnie na kolejnych slajdach). uruchom konstrukcję 04.ggb

ROLA WSPÓŁCZYNNIKÓW A, B I C W ostatniej konstrukcji można było dostrzec wpływ współczynnika a na wykres funkcji kwadratowej. Przyjmijmy dla ułatwienia b = 0 i c = 0. Widać, że współczynnik a decyduje o kształcie wykresu. Im wartość bezwzględna współczynnika a jest większa, tym ramiona paraboli są bardziej ostre, podobnie jak odległość ogniska paraboli od jej kierownicy miała wpływ na ten kształt. Wynika to bezpośrednio z ostatnio wykonywanego eksperymentu. Odkryłeś bowiem, że iloczyn af jest stały (wynosi 4). Skoro a staje się większe, tym f staje się mniejsze i parabola jest węższa. Zauważ, że znając wartość współczynnika a możesz w pamięci wyznaczyć ogniskową i kierownicę paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej y = ax2 Poćwicz to na poniższej konstrukcji GeoGebry – zmieniaj tylko współcz. A. uruchom konstrukcję 04.ggb

Teraz zbadamy, jak zachowuje się cała rodzina wykresów funkcji trójmianu kwadratowego w trakcie zmiany jej współczynników a, b i c. Przyjmiemy np. współczynnik a i b jako stały, a będziemy zmieniać wartości współczynnika b. Zobaczymy wówczas, co dzieje się w wykresami wszystkich funkcji kwadratowych, spełniających takie warunki.

Aby wykryć wpływ współczynnika b na położenie i kształt paraboli, będącej wykresem trójmianu kwadratowego y = ax2 +bx +c, skorzystaj z konstrukcji 05.ggb, w której poruszaj tylko suwakiem o nazwie b. uruchom konstrukcję 05.ggb

Jak widać, cały wykres porusza się w pewien niedający się opisać sposób, ale zwróćmy szczególną uwagę na położenie wierzchołków wszystkich wykresów tych funkcji. Wykreślają one pewną parabolę. W celu wykrycia jej równania wyznaczmy współrzędne wierzchołka wykresu trójmianu kwadratowego i uaktywnijmy go narzędziem Ślad:

Okazuje się, że wierzchołki wszystkich wykresów funkcji kwadratowej o zmieniającym się współczynniku b kreślą parabolę przystającą do paraboli y = ax2 , ale o gałęziach przeciwnie skierowanych. Oto dowód tego faktu: Wyrazimy rzędną wierzchołka paraboli, czyli wartość q jako funkcję jej odciętej p. Obliczmy: Równanie przedstawia funkcję kwadratową o współczynniku przy potędze drugiej równej –a i wyrazie wolnym c. Wykresem tego równania jest więc parabola o współczynniku –a przecinająca oś Y w punkcie (0,c).

Podobnie możemy badać, jak zachowują się wierzchołki wykresów wszystkich trójmianów kwadratowych, w których zmienia się współczynnik a, zaś b i c są stałe. Wykorzystajmy poprzednią konstrukcję programu GeoGebra i zmieniajmy w niej suwak o nazwie a. uruchom konstrukcję 05.ggb

Widać, że wierzchołki tych wszystkich wykresów układają się na pewnej prostej. Sprawdźmy, czy tak faktycznie jest i znajdźmy równanie tej prostej. Wystarczy ponownie wyrazić rzędną wierzchołka paraboli, czyli wartość q jako funkcję jej odciętej p pamiętając o tym, że zmienia się a. Obliczmy: Jak widać, wykresem równania jest prosta w współczynniku kierunkowym równym , przecinająca oś Oy w punkcie (0,c). Współczynnik c jako wyraz wolny decyduje o punkcie przecięcia wykresu trójmianu kwadratowego z osią Oy. Faktycznie, dla x = 0 g(x) = c.

LEKCJA 3 POSTAĆ KANONICZNA I CZYNNIKOWA TRÓJMIANU KWADRATOWEGO

POSTAĆ KANONICZNA TRÓJMIANU KWADRATOWEGO Każdy trójmian kwadratowy można sprowadzić do postaci, która informuje nas o tym, gdzie znajduje się wierzchołek trójmianu kwadratowego. To umożliwia szybkie wykreślenie wykresu tej funkcji. Stąd nazwa tej postaci, postać kanoniczna od słowa canon – [łac] =reguła, sposób. Postać tę uzyskujemy z najbardziej podstawowej funkcji kwadratowej o wzorze g(x) = a x2 przez przesunięcie jej wzdłuż osi Ox i osi Oy o wektory o długościach p (wzdłuż osi X) i q (wzdłuż osi Y). Funkcja g(x) po takim przesunięciu uzyska nowy wzór: h(x) = a(x – p)2 +q Poniższa konstrukcja GeoGebry umożliwia manipulowanie współczynnikami p i q i odkrywać, jaki jest ich wpływ na wykres funkcji kwadratowej w tej postaci. uruchom konstrukcję 06.ggb

Zmieniaj wartość parametrów a, p i q przesuwając suwaki reprezentujące te współczynniki. Jaką rolę pełni para liczb p i q? Jak pewnie zauważyłeś, liczby p i q są współrzędnymi wierzchołka paraboli, która jest wykresem tej funkcji.

Przekształcając i redukując wzór funkcji h(x) otrzymamy: Otrzymaliśmy kolejną postać funkcji kwadratowej, którą możemy porównać z trójmianem kwadratowym, skąd otrzymamy: oraz Wyznaczając z tych związków p i q otrzymamy:

Podstawiając za p wyznaczoną wartość do wzoru dla q, otrzymamy: Pokazaliśmy, że współrzędne wierzchołka paraboli o równaniu h(x) = a(x – p)2 +q wynoszą: Stąd więc postać kanoniczną można sprowadzić do postaci, w której pojawiają się współczynniki a, b, c i  = b2 – 4ac (wspomniany już wyróżnik trójmianu kwadratowego).

POSTAĆ CZYNNIKOWA TRÓJMIANU KWADRATOWEGO Ostatnia postać, do której można sprowadzić trójmian kwadratowy to postać zwana postacią iloczynową, lub czynnikową. Jak sugeruje nazwa, chodzi o iloczyn pewnych wyrażeń. Postać ta: jest możliwa do utworzenia po uprzednim wyznaczeniu miejsc zerowych x1 i x2 trójmianu kwadratowego. Aby znaleźć wartości tych miejsc zerowych, przyrównajmy ostatni wzór postaci kanonicznej do zera.

Przekształcajmy kolejno to równanie: (*) Stąd: Czyli:

Podstawiając wyznaczone wartości x1 i x2 do równania (*) Otrzymamy poszukiwaną postać czynnikową:

Przykład: Znajdź postać kanoniczną i czynnikową funkcji kwadratowej: Wyznaczmy wartości p i q: Zatem postać kanoniczną przedstawia wzór:

Dla znalezienia postaci czynnikowej znajdźmy miejsca zerowe funkcji: Postać czynnikowa przyjmuje więc postać:

ax2 + 2bx + c, bx2 + 2cx + a, cx2 + 2ax + b Dla poszerzenia wiedzy o funkcji kwadratowej przedstawimy kilka mało znanych ale interesujących własności tej funkcji. Jeśli wybierzemy trzy dowolne liczby rzeczywiste a, b, i c, to zawsze co najmniej jeden z poniższych trójmianów: ax2 + 2bx + c, bx2 + 2cx + a, cx2 + 2ax + b ma dwa miejsce zerowe. Sprawdźmy to za pomocą konstrukcji GeoGebry 07.ggb, że niezależnie od wartości a, b, i c któryś z wykresów zawsze przecina oś Ox. Twierdzenie 1 uruchom konstrukcję 07.ggb

Zauważmy, że dla każdych a, b i c zawsze (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 > 0 Lewa strona tej nierówności po przekształceniu przyjmuje postać: a2 + b2 – 2ab + b2 +c2 – 2bc + c2 + a2 – 2ca = 2(a2 + b2 + c2 – ab – ac – cb) i jest nadal dodatnia. Zatem również 4(a2 + b2 + c2 – ab – ac – cb) >0 A to oznacza, że 3a2 + 3b2 + 3c2 + a2 + b2 + c2 – 4ab – 4ac – 4cb > 0 3a2 + 3b2 + 3c2 + a2 – 4cb+ b2 – 4ac + c2 – 4ab >0 Ponieważ 3a2 + 3b2 + 3c2 > 0 Więc a2 – 4cb+ b2 – 4ac + c2 – 4ab >0 czyli 1 + 2 + 3> 0, gdzie 1, 2, 3 są wyróżnikami poszczególnych trójmianów. A to oznacza, ze przynajmniej jeden z wyróżników tych trójmianów jest dodatni, czyli co najmniej jeden z trójmianów ma dwa miejsce zerowe.

trójmianu ma również miejsce zerowe. Twierdzenie 2 Jeśli trójmian kwadratowy ax2 + bx + c ma jedno miejsce zerowe, to trójmian, którego współczynniki k, l i m są sześcianami współczynników pierwszego trójmianu ma również miejsce zerowe. Znowu sprawdźmy to w konstrukcji programie GeoGebra. Ponieważ pierwszy trójmian ma mieć zawsze miejsce zerowe, to jednym z suwaków musi być suwak . Jego wartości muszą być dodatnie, więc ustawiamy zakres suwaka od 0 do dowolnej liczby dodatniej. Pozostałe dwa współczynniki a, b mogą być dowolne, natomiast c wyliczamy ze wzoru na . uruchom konstrukcję 08.ggb

Drugi trójmian a3x2 + b3x + c3, którego współczynniki k, l i m są sześcianami współczynników pierwszego trójmianu. Jak widać, niezależnie od wartości a, b i  drugi trójmian też ma zawsze co najmniej jedno miejsce zerowe. Ponieważ trójmian kwadratowy ax2 + bx + c ma co najmniej jedno miejsce zerowe, więc  > 0, czyli b2  4ac. Mamy udowodnić, że wyróżnik trójmianu a3x2 + b3x + c3 jest też dodatni. Wynosi on: Skoro b2  4ac, to może się zdarzyć, że ac <0 i wówczas (b3)2> 4a3c3. Gdyby ac  0, wówczas (b3)2 = (b2)3 = ((4ac)2)3 > 4a3c3, a to oznacza, że wyróżnik trójmianu a3x2 + b3x + c3 jest dodatni. Twierdzenie to nie jest prawdziwe dla kwadratów współczynników a, b, c, (na przykład dla a = b = 1 i c = –2) natomiast jest zawsze prawdziwe dla dowolnych potęg nieparzystych tych współczynników.

LEKCJA 4 FUNKCJE TRZECIEGO STOPNIA

ROLA WSPÓŁCZYNNIKÓW A, B, C, I D Funkcja trzeciego stopnia przyjmuje postać: f(x)= a3 + bx2+ cx + d Załóżmy, że współczynniki b = c = d = 0 i zbadajmy rolę, jaką pełni współczynnik a w konstrukcji wykresu funkcji f(x) = ax3. uruchom konstrukcję 09.ggb

Współczynnik a podobnie jak dla trójmianu kwadratowego decyduje o tym, czy gałęzie wykresu są skierowane w górę czy w dół. Dla a < 0 funkcja ta jest malejąca i jej wykres znajduje się tylko w II i IV ćwiartce. Dla a > 0 funkcja ta jest rosnąca i jej wykres znajduje się tylko w II i III ćwiartce.

Ustalmy współczynnik a i zmieniajmy współczynnik b. Zauważamy, że wykresy wszystkich tych funkcji są środkowo symetryczne względem pewnego punktu. Można sprawdzić, że jego odcięta wynosi a/ a = 0 b/ a = –2.6 c/ a = 2.2 uruchom konstrukcję 10.ggb

Ciekawy ma wpływ współczynnik c Ciekawy ma wpływ współczynnik c. Obejrzyjmy wykresy funkcji w(x) = ax3 + cx. a > 0, c < 0 a < 0, c > 0 a > 0, c > 0 a > 0 , c < 0 uruchom konstrukcję 11.ggb

Dla a > 0 Gdy c < 0, funkcja ma 3 miejsca zerowe, x1 = 0 oraz x2 = –x3, Gdy c > 0, funkcja ma 1 miejsce zerowe x = 0. Można to łatwo wyjaśnić, bowiem poszukując miejsc zerowych tej funkcji otrzymamy równanie: skąd Podobnie jest dla a < 0, tylko że na odwrót. Gdy c > 0, funkcja ma 3 miejsca zerowe, x1 = 0 oraz x2 = –x3, Gdy c < 0 to funkcja ma 1 miejsce zerowe x = 0.

punktu przecięcia wykresu z osią Oy. Współczynnik d jak zawsze wyraz wolny każdej funkcji, to wartość rzędnej punktu przecięcia wykresu z osią Oy. Natomiast łatwo zauważyć, że przecięcie wykresu funkcji w(x) = ax3 + d z osią Ox to punkt Jeśli bowiem to uruchom konstrukcję 12.ggb

LEKCJA 5 FUNKCJE TYPU

Wiemy już, że wykres każdego trójmianu kwadratowego, który ma dwa miejsca zerowe można zapisać w postaci czynnikowej a(x – x1)(x – x2) i narysować go w układzie współrzędnych. O położeniu tego wykresu decyduje współczynnik a oraz miejsca zerowe trójmianu kwadratowego. Pamiętamy, że gdy a > 0 wówczas gałęzie są skierowane w górę, gdy a < 0 – w dół.

Dla utrwalenia tego faktu wykonaj kilka eksperymentów z poniższymi plikami GeoGebry 13a.ggb i 13b.ggb. uruchom konstrukcję 13b.ggb uruchom konstrukcję 13a.ggb

Co się stanie, gdy dojdzie jeszcze jedno miejsce zerowe x3? Zbadajmy to na pliku GeoGebry 14.ggb. Zmieniaj suwakami wartości a i miejsc zerowych. Jak widać, wykres przecina teraz oś Ox w trzech punktach: x1, x2, x3. O tym, jak przebiega krzywa w układzie współrzędnych, decyduje współczynnik a. uruchom konstrukcję 14.ggb

Liczne doświadczenia z plikiem GeoGebry wskazują na to, że: jeśli a > 0, wówczas dla argumentów x większych od ostatniego (największego) miejsca zerowego funkcja jest zawsze dodatnia, jeśli a < 0, wówczas dla tych argumentów funkcja jest ujemna. Często mówimy językiem nieformalnym, że idąc wzdłuż osi Ox w kierunku nieskończoności funkcja wzrasta do nieskończoności, gdy a > 0, zaś maleje do minus nieskończoności, gdy a < 0. Tak więc, aby sporządzić wykres dowolnej funkcji postaci: wystarczy zaznaczyć na osi Ox jej miejsca zerowe i uwzględnić wartość współczynnika a.

Możesz wybrać maksymalnie 5 miejsc zerowych tej funkcji. Spróbuj naszkicować wykres dowolnej takiej funkcji na kartce papieru a następnie sprawdź swoje rozwiązanie z rozwiązaniem uzyskanym na poniższym pliku 15.ggb GeoGebry. Ustaw odpowiednio suwaki, by dopasować wartości współczynnika a i miejsc zerowych wybranej przez siebie funkcji. Możesz wybrać maksymalnie 5 miejsc zerowych tej funkcji. uruchom konstrukcję 15.ggb

Wykonaj kilka doświadczeń i obserwacji z poniższym plikiem GeoGebry: Teraz odkryjesz, co się stanie, gdy jeden z wyrażeń podniesiemy do potęgi o wykładniku parzystym. Wykonaj kilka doświadczeń i obserwacji z poniższym plikiem GeoGebry: włączaj za pomocą przycisków wykresy trzech funkcji: w1, w2, w3, za każdym razem obserwuj punkty przecięcia każdego wykresy z osią Ox, obserwuj, jak zachowuje się krzywa w tych punktach, kiedy odbija się od osi Ox. Zapisz odpowiednie wnioski i przekaż je swojemu nauczycielowi. Jak sądzisz, co się stanie, gdy jednej z wykładników potęg wyrażeń będzie nieparzysty? Sprawdź swoje przypuszczenie na poniższym przykładzie GeoGebry. uruchom konstrukcję 16.ggb

uruchom konstrukcję 17.ggb

Myślę, że nabyłeś umiejętności w wykonywaniu dowolnych wykresów typu:

Mając dany wykres funkcji typu: możesz rozwiązać nierówność typu: Pomoże Ci w tym poniższa konstrukcja GeoGebry. Zmieniaj położenie argumentu m, umieszczonym na osi Ox. Z nim przesuwa się również odcinek prostopadły do osi Ox wskazujący wartość funkcji dla m.

funkcja przyjmuje wartości dodatnie, zaś czarny, że przyjmuje wartości Wywołaj poniższą konstrukcję 18.ggb. Kolor zielony odcinka m oznacza, że funkcja przyjmuje wartości dodatnie, zaś czarny, że przyjmuje wartości ujemne. Zmieniaj miejsca zerowe, wartość współczynnika a i odczytuj rozwiązania różnych nierówności, które możesz generować na przykładzie tej konstrukcji GeoGebry. uruchom konstrukcję 18.ggb

przybierają wówczas barwę zieloną) oraz ujemne (barwa czarna punktów). Drugim sposobem szybkiego rozwiązywania nierówności jest zaznaczanie na osi tych wartości x, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie (punkty te przybierają wówczas barwę zieloną) oraz ujemne (barwa czarna punktów). Przesuwaj punkt m w konstrukcji 19.ggb. uruchom konstrukcję 19.ggb

A co zrobić, jeśli w nierówności pojawi się trójmian kwadratowy, którego wyróżnik  jest ujemny i nie ma on miejsc zerowych. Skoro nigdy się nie zeruje, więc jest dla każdego x albo dodatni, albo ujemny. O tym decyduje oczywiście współczynnik a tego trójmianu. Wówczas pomijamy ten trójmian i tworzymy stosowną nierówność. Dla przykładu, rozwiązując nierówność: (– 3x2 + 2x – 5)(x – 1)(x + 3)2(x – 6) ≤ 0 możemy pominąć trójmian kwadratowy (– 3x2 + 2x – 5), rozwiązując nierówność: (x – 1)(x + 3)2(x – 6) ≥ 0, gdyż trójmian te jest stale ujemny (a = –3,  = –56). Zmieniamy kierunek nierówności na przeciwny tak, jakbyśmy mnożyli lub dzielili przez liczbę ujemną.

LEKCJA 6 DEFINICJA WIELOMIANU

DEFINICJA WIELOMIANU Jeżeli wykonamy działania w wyrażeniu algebraicznym w postaci czynnikowej: W(x) = (x + 2)(x – 3)2(x + 4), wówczas otrzymamy kolejno wyrażenia algebraiczne postaci: W(x) = (x + 2)(x2 – 6x + 9)(x + 4) W(x) = (x3 – 6x2 + 9x + 2x2 – 12x +18)(x + 4) W(x) = (x3 – 4x2 – 3x + 18)(x + 4) W(x) = x4 – 4x3 – 3x2 + 18x + 4x3 – 16x2 – 12x + 72 Po uporządkowaniu otrzymamy wyrażenie: W(x) = x4 – 19x2 + 6x +72

Wyrażenie to jest sumą czterech wyrażeń algebraicznych zwanych jednomianami. Jednomian jest iloczynem liczby rzeczywistej zwanej współczynnikiem Jednomianu przez potęgę zmiennej (tutaj zmienną jest x). Wykładnik tej potęgi jest stopniem jednomianu. Np. Jednomian x4 ma współczynnik 1 i jest stopnia czwartego, zaś jednomian – 19x2 jest stopnia drugiego i jego współczynnik wynosi –19. W naszym przykładzie w wielomianie brak jednomianu stopnia trzeciego. Wyraz wolny72 to też jednomian, ale stopnia zerowego. Tak więc widać, że wielomian jest sumą algebraiczną jednomianów. Stopniem wielomianu nazywamy najwyższy ze stopni jego jednomianów. Liczby występujące przed potęgą zmiennej x nazywamy współczynnikami wielomianu i oznaczamy symbolami a1, a2, a3, …, przy czym dolny indeks w symbolu przypisuje współczynnik do tego jednomianu, którego zmienna występuje w tej potędze, co wskaźnik. Wielomian W(x) = x4 - 19x2 + 6x + 72 jest stopnia czwartego, a jego współczynniki wynoszą: a4 = 1, a3 = 0, a2 = –9, a1 = 6, a0 = 72

Expand[(x + 2)(x – 3)2(x + 4)], Wyrażenie postaci można sprowadzić do wielomianu używając programu GeoGebra. Służy do tego polecenie Expand[ ], gdzie w nawiasie umieszczamy wyrażenie. Gdy zastosujmy dla wyrażenia (x + 2)(x – 3)2(x + 4) polecenie: Expand[(x + 2)(x – 3)2(x + 4)], wówczas na ekranie algebry programu GeoGebra pojawi się wielomian: x4 – 19x2 + 6x +72. Gdy do tego wyrażenia zastosujemy polecenie Factors(x4 – 19x2 + 6x +72) to otrzymamy postać czynnikową tego wyrażenia.

Postać nosi nazwę postaci czynnikowej wielomianu. Wiemy już, że pozwala ona sporządzić wykres wielomianu w układzie współrzędnych. Jeżeli chcemy narysować wykres wielomianu, musimy go najpierw sprowadzić do postaci czynnikowej: Zatem: Każdy wielomian można sprowadzić do postaci czynnikowej, w której występują czynniki co najwyżej stopnia drugiego. Twierdzenie to w matematyce nosi nazwę zasadniczego twierdzenia algebry. Umiejętność sprowadzania wielomianów do ich postaci czynnikowej jest niezbędna do kreślenia wykresów funkcji wielomianowych, oraz rozwiązywania równań i nierówności stopnia wyższego niż 2.

Znane są cztery metody rozkładania wielomianów na czynniki: grupowanie wyrazów, wyciąganie wspólnego czynnika przed nawias, stosowanie wzorów skróconego mnożenia, wykorzystanie twierdzenia Bezoute’a. Najbardziej uniwersalną i praktyczną jest ostatnia z nich. Zanim ją poznasz, musisz najpierw poznać sposób dzielenia wielomianu przez dwumian postaci (x – k), gdzie k jest liczbą rzeczywistą.

LEKCJA 7 DZIELENIE WIELOMIANU PRZEZ DWUMIAN

DZIELENIE WIELOMIANU PRZEZ DWUMIAN Podobnie jak w szkole podstawowej uczyłeś się dzielenia liczby przez inną liczbę, teraz nauczysz się dzielenia wielomianu przez dwumian (x – k). Metoda postępowania według pewnego sposobu nazywa się w przedmiotach ścisłych algorytmem. Takie algorytmy może wykonywać komputer, jeśli go wcześniej tego nauczymy. Nie zawsze jednak mamy go pod ręką i dlategomusimy umieć w odpowiednim momencie posłużyć się na kartce papierualgorytmem. Teraz poznasz algorytm dzielenia wielomianu przed dwumian (x – k). Uruchom film, który przeprowadzi Cię krok po kroku przez wszystkie etapy tej czynności. uruchom film dzielenie_wielomianów.avi

Dla utrwalenia tego algorytmu, prześledź ponownie całą czynność dzielenia na poniższym rysunku.

William George Horner (1786-1837) był angielskim matematykiem. SCHEMAT HORNERA Dzielenie wielomianu można również wykonać stosując inny algorytm, zwany schematem Hornera. William George Horner (1786-1837) był angielskim matematykiem. Sposób ten prezentuje poniższy film: uruchom film 18.ggb

Oto powtórzenie przebiegu schematu Hornera: Podzielmy jeszcze raz wielomian W(x) = przez dwumian (x + 1) Konstruujemy tabelę, w której: miejsce zerowe dwumianu (liczbę –1) wpisujemy w drugiej kolumnie w drugim wierszu współczynniki przy kolejnych potęgach zmiennej x wielomianu W(x), czyli liczby: 7, 3, 5, 9, 1 wpisujemy w pierwszym wierszu tabeli w trzecim wierszu w pierwszej kolumnie pisujemy iloraz współczynników przy najwyższej potędze dzielnej i dzielnika, czyli 7/1 = 7

liczbę –7 w drugim wierszu trzeciej kolumny wyznaczamy mnożąc miejsce zerowe dwumianu (–1) przez współczynnik 7 , czyli –7 = 7  (–1) liczba –4 to suma liczb 3 i (–7) mnożymy –4 przez miejsce zerowe dwumianu (–1) wynik 4 umieszczamy w drugim wierszu po liczbie -7 Sumę 9 liczb (5 + 4) wpisujemy w trzecim wierszu po liczbie –4 Mnożymy (–1) przez 9 i wynik wpisujemy do drugiego wiersza po liczbie 4

sumę 0 liczb –9 i 9 wpisujemy w trzecim wierszu po liczbie 9 mnożymy (–1) przez 0 i wynik 0 wpisujemy w ostatniej komórce drugiego wiersza sumę liczb 1 i 0, czyli 1 wpisujemy w ostatniej pozycji trzeciego wiersza i liczba ta jest resztą z dzielenia W(x) przez dwumian (x – 1) Kolejne liczby w trzecim wierszu: 7, –4, 9, 0 są współczynnikami poszukiwanego ilorazu tych wielomianów. Zatem iloraz dzielenia wielomianu W(x) = przez dwumian (x + 1) wynosi: 7x3 – 4x2 + 9x

Warto sprawdzić poprawność dzielenia przez pomnożenie dzielnika przez iloraz i dodania do wyniku reszty z dzielenia. Otrzymamy wówczas: (7x3 – 4x2 + 9x +1) (x+1) + 1 = ……. Proszę to działanie dokończyć i upewnić się, że dzielenie zostało wykonane poprawnie. W podobny sposób dzielimy wielomian przez inny wielomian. Oczywiście należy pamiętać, aby stopień dzielnej był wyższy lub w najgorszym wypadku równy stopniowi dzielnika.

Ogólnie prawdziwe jest twierdzenie: Dla dowolnych wielomianów W(x) i Q(x), gdzie Q(x) nie jest wielomianem zerowym, możemy wykonać dzielenie W(x) przez Q(x) otrzymując jako iloraz wielomian P(x) oraz resztę, która jest albo wielomianem zerowym (dzielenie wykonane bez reszty), albo wielomianem R(x), którego stopień jest mniejszy od stopnia dzielnika Q(x). czyli: W(x) = Q(x) P(x) + R(x)

Podzielmy wielomian 2x3 + 8x – 1 przez wielomian x2 + x + 3 Obserwując powyższy zapis spróbuj samodzielnie odkryć sposób postępowania przy dzieleniu wielomianu przez wielomian. Przeanalizuj ten schemat myślowy podobnie jak dla ilorazu wielomianu przez dwumian. Następnie sprawdź jego poprawność przez mnożenie.

LEKCJA 8 TWIERDZENIE BEZOUTA

W(–1) = 7 (–1)4 + 3 (–1)3 + 5 (–1)2 +9 (–1) +1 = 7 – 3 + 5 – 9 +1 = 1 TWIERDZENIE BEZOUTA Umiejętność dzielenia wielomianu przez dwumian postaci (x – k) jest niezwykle przydatna w praktyce do rozkładania wielomianu na czynniki i rozwiązywania równań i nierówności stopnia wyższego niż 2. Spróbujemy odkryć to twierdzenie: Gdy dzieliliśmy wielomian W(x) = 7x4 + 3x3 + 5x2 + 9x +1 przez dwumian (x + 1), to miejsce zerowe dzielnika wynosiło x = –1, a reszta z dzielenia dała wynik 1. Obliczmy wartość dzielnej W(x) dla wartości –1 miejsca zerowego dwumianu. Otrzymamy: W(–1) = 7 (–1)4 + 3 (–1)3 + 5 (–1)2 +9 (–1) +1 = 7 – 3 + 5 – 9 +1 = 1 Okazuje się, że wartość reszty z dzielenia wielomianu przez dwumian jest wartością dzielnej dla miejsca zerowego tego dwumianu. Zależność tę odkrył francuski matematyk Etienne Bezout.

W(x) = (x – k) · Q(x) + R  R = W(k) TWIERDZENIE BEZOUTA Jeśli wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x – k) z resztą R, to reszta ta jest równa wartości tego wielomianu dla miejsca zerowego k dwumianu (x – k). Oznacza to, że W(x) = (x – k) · Q(x) + R  R = W(k) Stąd wniosek, że wielomian jest podzielny przez dwumian (x – k), gdy wartość tego wielomianu dla liczby k jest równa zeru. Ettiene Bezout (1739 – 1783).

Własność Bezouta wykorzystamy praktycznie do wyznaczania miejsc zerowych wielomianu i sprowadzania go do postaci czynnikowej. ZADANIE: Sprawdź, czy wielomian W(x) = x4 + 2x3 – 13x2 – 14x + 24 jest podzielny przez dwumian (x – 2). Jeśli nie jest podzielny, to wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez ten dwumian. Rozwiązanie: Miejsce zerowe dwumianu (x – 2) wynosi 2. Obliczymy W(2): W(2) = 24 + 2 · 23 – 13 · 22 – 14 · 2 + 24 = 16 + 16 – 52 – 28 + 24 = –24 Liczba –24 jest resztą z dzielenia tego wielomianu przez (x – 2). Wielomian ten nie jest więc podzielny przez dwumian (x – 2). Zauważmy natomiast, że W(1) = 1 + 2 + –13 – 14 + 24 = 0, a to oznacza, że wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x – 1), gdyż reszta z tego dzielenia wynosi 0.

Podzielmy więc wielomian W(x) = x4 + 2x3 – 13x2 – 14x + 24 przez dwumian Zróbmy to metodą Hornera: Wynikiem dzielenia jest wielomian P(x) = x3 + 3x2 – 10x – 24 To oznacza, że x4 + 2x3 – 13x2 – 14x + 24 = (x3 + 3x2 – 10x – 24)(x – 1) Tym sposobem rozłożyliśmy wielomian W(x) na dwa czynniki: (x3 + 3x2 – 10x – 24) oraz (x – 1) Ponieważ na podstawie zasadniczego twierdzenia algebry każdy wielomian W(x) można rozłożyć na czynniki stopnia co najwyżej drugiego, to oznacza, że czynnik (x3 + 3x2 – 10x – 24) można dalej rozłożyć na czynniki.

Aby rozłożyć wielomian P(x) = x3 + 3x2 – 10x – 24 na czynniki, musimy znać dwumian postaci (x – k), przez który dzieli się on bez reszty. Czyli musimy sprawdzić, dla jakiej liczby k jego wartość jest równa zero. Twierdzenie: Jeśli wielomian W(x) o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek całkowity, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu. Okazuje się więc, że miejsca zerowe danego wielomianu należy poszukiwać wśród dzielników jego wyrazu wolnego. Wyrazem wolnym wielomianu P(x) jest liczba –24. Jej dzielnikami są liczby: {1, –1, 1, –1, 3, –3, 4, –4, 6, – 6, 12, –12, 24, –24}. Obliczmy, dla którego z nich zeruje się wielomian P(x). Zacznijmy od najmniejszego dzielnika: W(1) = 1 + 3 – 10 – 24 ≠ 0 W(–1) = –1 + 3 +10 – 24 ≠ 0 W(2) = 8 + 12 – 20 – 24 ≠ 0 W(–2) = –8 + 12 + 20 – 24 = 0

Ostatnia informacja jest dla nas bardzo ważna. Wiemy już, że miejscem zerowym (pierwiastkiem) wielomianu x3 + 3x2 – 10x – 24 jest liczba –2. Zatem na podstawie twierdzenia Bezouta możemy ten wielomian podzielić przez dwumian x + 2. Wykonajmy to ponownie metoda Hornera: Wynikiem dzielenia jest wielomian x2 + x – 12. Ten wielomian jest trójmianem kwadratowym i jego miejsca zerowe wyznaczymy tradycyjnie za pomocą wzorów:

Zatem znaleźliśmy miejsca zerowe wielomianu x1 = –1, x2 = –2, x3 = –4, x4 = 3 i jego postać czynnikową: (x + 1)(x + 2)(x – 3)(x + 4) Możemy na tej podstawie sporządzić wykres wielomianu W(x). Ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc wielomian dla argumentów x większych od największego miejsca zerowego (czyli liczby 3) przyjmuje wartości dodatnie. Drugą informacją są miejsca zerowe, czyli przecięcia wykresu wielomianu z osią Ox. To wystarczy, by wykreślić przybliżony wykres wielomianu W(x). Dokładny wykres sporządzono w pliku 20.ggb. Wykres ten można zobaczyć w kolejnym slajdzie.

uruchom konstrukcję 20.ggb

Kolejna lekcja pokaże, co zrobić w sytuacji, gdy mimo usilnych starań i wielu obliczeń żaden z dzielników wyrazu wolnego nie zeruje wielomianu.

LEKCJA 9 PIERWIASTKI WYMIERNE

PIERWIASTKI WYMIERNE Wielomiany oprócz całkowitych miejsc zerowych mogą mieć miejsca zerowe wymierne w postaci ułamkowej , gdzie p i q są względnie pierwsze. Wówczas p jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a q dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze. Rozwiążmy równanie 2x3 + 3x2 + 3 · x + 1 = 0 Dzielnikami wyrazu wolnego są 1, –1, zaś wyrazu pierwszego 2, –2. Zatem pierwiastkami tego równania mogą być ułamki typu: Obliczamy W( ) = oraz W( ) = 0 Pierwiastkiem wymiernym tego wielomianu jest liczba . Aby znaleźć pozostałe pierwiastki tego równania dzielimy wielomian 2 · x3 + 3 · x2 + 3 · x + 1 przez dwumian (x + ) i postępujemy tradycyjnie.

Dzieląc wielomian 2x3 + 3x2 + 3x + 1 przez dwumian (x + ) otrzymamy iloraz 2x2 + 2x + 2 czyli 2(x2 + x + 1) . Ostatni wielomian x2 + x + 1 nie ma miejsc zerowych. Zatem jedynym rozwiązaniem tego równania jest liczba

LEKCJA 10 ZADANIA Z MATEMATYKI ROZSZERZONEJ

Teoria i przykłady przytaczane dotychczas dotyczyły wiedzy podstawowej z teorii wielomianów. Zadania z matematyki na poziomie rozszerzonym wymagają znacznie więcej wiedzy. Tym zadaniom poświęcony jest niniejszy rozdział. Poszerzona wiedza zostanie przedstawiona tu od strony praktycznej, czyli na bazie konkretnych zadań.

W(x) = Q(x)(x – 3)(x + 1) + ax +b ZADANIE 1 Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x – 3) jest równa 8, zaś reszta z dzielenia tego wielomianu przez (x + 1) wynosi 4. Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez (x – 3)(x + 1). Rozwiązanie. Jeśli wielomian W(x) jest podzielny przez iloczyn (x – 3)(x + 1), to znaczy, że istnieją takie wielomiany Q(x) i R(x), że W(x) = Q(x)(x – 3)(x + 1) + R(x). Reszta z dzielenia, czyli wielomian R(x) musi być albo stopnia pierwszego albo zerowego, gdyż dzieliliśmy przez wielomian stopnia drugiego. Stąd reszta ma postać R(x) = ax + b, gdzie a, b są liczbami rzeczywistymi. Zatem W(x) = Q(x)(x – 3)(x + 1) + ax +b Skoro z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumiany (x – 3) i (x + 1) otrzymaliśmy reszty odpowiednio 4 i 8, więc otrzymujemy układ równań:

Wstawiając za x odpowiednie wartości otrzymamy: W(–1) = Q(x)·(–1 – 3)(–1 + 1) + a(–1) + b = 4 W(3) = Q(x)·(3 – 3)(3 + 1) + a3 + b = 8 Rozwiązując układ: otrzymamy a = 1, b = 5 Zatem resztą z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x – 3)(x + 1) jest wielomian x + 5.

k > 0 oraz (k – 1)2 – 4k(k – 1) < 0 ZADANIE 2 Dla jakich wartości parametru k nierówność kx2 + (k – 1)x + (k – 1) > 0 jest spełniona dla wszystkich wartości rzeczywistych x. Nierówność występująca w tym zadaniu jest nierównością kwadratową. Skoro ma być spełniona dla wszystkich wartości x, więc wykres funkcji musi znaleźć się nad osią Ox, a zatem współczynnik k musi być dodatni i funkcja ta nie może mieć miejsc zerowych (czyli wyróżnik  < 0). Zatem: k > 0 oraz (k – 1)2 – 4k(k – 1) < 0 drugi warunek to nierówność kwadratowa równoważna nierówności: –3k2 + 2k + 1 < 0, której rozwiązaniem jest suma przedziałów Z uwagi na spełnianie pierwszego warunku (k > 0) rozwiązaniem jest zbiór

Skorzystajmy z gotowej konstrukcji. Zmieniając parametr k Rozwiązanie tego zadania można wizualizować używając programu GeoGebra. W tym celu wprowadzamy do programu suwak k o wartościach z przedziału (–100, 100), który symuluje zmiany parametru k, oraz sporządzamy wykres funkcji zadanej wzorem: f(x) = kx2 + (k – 1)x + (k – 1) Skorzystajmy z gotowej konstrukcji. Zmieniając parametr k możemy obserwować, kiedy ta funkcja jest dodatnia. uruchom konstrukcję 21.ggb

Widać wyraźnie, że gdy suwak przyjmuje wartość k = 1 , wówczas funkcja ma jedno miejsce zerowe. Dla k > 1 wykres funkcji unosi się nad osią OX, co oznacza, że dla tych wartości parametru k funkcja przyjmuje stałe wartości dodatnie niezależnie od parametru k. f(x) = kx2 + (k – 1)x + (k – 1)

ZADANIE 3 Dla jakich wartości parametru m reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian (x – 1) jest równa 3? Skoro wielomian dzieli się przez dwumian z reszta 3, to znaczy, że wartość tego wielomianu dla x = 1 wynosi 3. W(1) = 117 – m115 + (m – 2)110 + 2 · 1 + m2 – 2 = 3 Co po redukcji daje równanie: m2 – 1 = 3, skąd m2 = 4 Zatem m = 2 lub m = –2

ZADANIE 4 Z kartonu w kształcie kwadratu o boku długości 7,2 cm wycięto w rogach cztery kwadraty o boku x, po czym zagięto je w celu uzyskania otwartego pudełka. Jak należy wyciąć kwadraty, by pudełko miało największą objętość? Rozwiązanie. Wyznaczmy najpierw długości krawędzi otwartego pudełka. Wynoszą one: a = 7,2 – 2x b = 7,2 – 2x h = x Objętość pudełka wynosi więc V(x) = (7,2 – 2x)x Patrząc jednak na załączoną poniżej animację widać, że zmienna x nie może przekroczyć wartości 3,6 cm, gdyż dla x = 3,6 pudełko staje się odcinkiem.

Wykonajmy wykres funkcji objętości V(x) = (7 Wykonajmy wykres funkcji objętości V(x) = (7.2 – 2x)2x w programie GeoGebra – otwórz plik 22.ggb Przesuwaj w tej konstrukcji punkt x po osi Ox i odczytaj tę wartość x, dla której objętość pudełka jest największa.

Wymiary pudełka wynoszą: (7.2 – x), (7.2 – x), x, a zatem jego objętość wyraża się wzorem: V(x) = (7.2 – x)2x = x3 – 14.4x2 + 51.84x Wprowadzając ten wzór do GeoGebry otrzymamy wykres funkcji objętości w zależności od zmiennej x.

uruchom konstrukcję 22.ggb

Program GeoGebra pozwala wyznaczyć i odczytać wartości ekstremum oraz argumenty x, dla których funkcja przyjmuje to ekstremum. Okazuje się, że pudełko przyjmuje maksimum objętości dla wyciętych kwadratów o boku długości w przybliżeniu x = 1.2 cm.

ZADANIE 5 Do stożka, o stałym promieniu podstawy r, w którym zmienia się kąt 2 nachylenia tworzącej do podstawy wpisano kulę. Wyraź objętość kuli jako funkcję kąta 2. Wykorzystując poniższą animację, obserwuj, jak zachowuje się stosunek objętości stożka do objętości kuli. Kiedy jest najmniejszy?

Na podstawie przekroju osiowego stożka zachodzą zależności:

Wyraźmy objętość stożka i kuli się poprzez kąt  : Obliczmy stosunek objętości stożka do objętości kuli. Z podglądu animacji widać, że stosunek ten zmienia się w zależności od kąta . Wydaje się również, że jego najmniejsza wartość wynosi 2. Czy tak jest faktycznie?

Obliczmy ten stosunek: Wartość tego stosunku będzie najmniejsza, gdy wartość mianownika będzie największa. Przyjmijmy oznaczenie: tg = x. Wówczas mianownik jest wielomianem stopnia czwartego: W(x) = 2x2 (1 – x2) = –2x4 + 2x2 Zobaczmy jego wykres.

Wykres tego wielomianu można otrzymać w programie GeoGebra Wykres tego wielomianu można otrzymać w programie GeoGebra. Program ten pozwala również odczytać wartości minimalne i maksymalne wykreślonej funkcji wielomianowej. Służą do tego polecenia: Ekstremum[W(x)] uruchom konstrukcję 23.ggb Wartości ekstremalne (są w punktach A i B) funkcji W(x) wynoszą odpowiednio: y1 = 0.5 dla x1= –0.71 oraz y2 = 0.5 dla x2 = 0,71

Zatem najmniejsza wartość funkcji jest odwrotnością liczby 0.5, czyli wynosi 2. To potwierdza nasze obserwacje animacji stożka i stosunku jego objętości do objętości kuli. Stosunek ten jest najmniejszy dla tg = 0.70710678118654. Kąt, którego tangens przyjmuje taką wartość ma miarę 35.2643896º. Zatem miara kąta 2 wynosi 70.52877937º. Odkryliśmy więc interesujące : Z wszystkich kul wpisanych w stożek największą objętość ma ta kula, której objętość stanowi połowę objętości stożka. Twierdzenie

ZAKOŃCZENIE Jak widać, wiedza o wielomianach jest przydatna w różnych nietypowych sytuacjach, nawet przestrzennych i związanych z trygonometrią. Ich znajomość to podstawa i narzędzie rozwiązywania wielu, bardziej złożonych problemów matematycznych.