Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły ZESPÓŁ SZKÓŁ W ŻYCHLINIE ID grupy: 98_37_MF_G1_ILONA.WALERYSIAK 98_06_MF_G1_ALEKSANDRA.KAPISZKO Kompetencja: MATEMATYCZNO - FIZYCZNA Temat projektowy: LOGIKA Semestr/rok szkolny: V/2012

Skład grupy 98/6_MF_G1 Samanta Belkiewicz Dominik Błądek Martyna Gabrych Julia Kapiszka Daria Maciejak Dominik Majka Cezary Maślak Mateusz Witek Kaja Szulc Joanna Żukowska opiekun: Aleksandra Kapiszka

Skład grupy 98/37_MF_G1 Aleksandra Beinek Maria Bonkowska Nikola Brzęcka Szymon Chorzewski Martyna Glapińska Przemysław Gorzkowski Martyna Kujawa Adam Olejnik Tobiasz Szymczak Maria Ziemkiewicz Opiekun: Ilona Walerysiak Jakub Płóciennik Mikołaj Tarczewski Dawid Niewiadomski

CELE PROJEKTU Przedstawienie prawa logiki matematycznej Zapoznanie z metodą dowodu „nie wprost” Rozwijanie umiejętności posługiwania się symbolami literowymi Kształtowanie umiejętności gromadzenia, selekcjonowania i przetwarzania zdobytych informacji Rozwijanie zainteresowań i samokształcenie

Zadania projektu Wprowadzenie pojęcia wartości logicznej i pojęcia zdania w logice matematycznej Poznanie podstawowych typów zdań złożonych Poznanie podstawowych praw rachunku zdań Nauka logicznego myślenia na przykładzie teorii zbiorów Metoda dowodu matematycznego „nie wprost” Kwantyfikator ogólny i szczegółowy

LOGIKA MATEMATYCZNA I RACHUNEK ZBIORÓW

Podstawowe pojęcia dotyczące zbiorów Zbiór, to w matematyce pojęcie pierwotne. Oznacz to, że zbioru nie definiuje się, gdyż każda definicja musiałaby zawierać w nazwie słowo „zbiór”. Zbiór zawiera elementy. Elementem może być wszystko, co możemy sobie wyobrazić. Do zbioru może należeć skończona lub nieskończona liczba elementów. Do zbioru może nie należeć żaden element, taki zbiór nazywa się zbiorem pustym i oznacza symbolem Ø

Działania na zbiorach Na zbiorach, podobnie jak na liczbach możemy wykonywać działania. Działania te mają podobne nazwy, ale ich rezultat jest nieco inny niż w przypadku liczb.

Suma zbiorów AUB={x:Є A v xЄ B} Suma zbiorów to zbiór złożony ze wszystkich elementów należących do któregokolwiek z sumowanych zbiorów. AUB={x:Є A v xЄ B}

Przykład 1. Niech W będzie zbiorem liczb wymiernych a IW niech będzie zbiorem liczb niewymiernych. Wówczas W ∪ IW= R. R jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych. 2. Jeżeli A = {1,2,3} i B = {1,2,3,4,5}, to AUB = {1,2,3,4,5}. Pomimo tego, że 1 występuje w obu zbiorach, w sumie tych zbiorów występuje tylko jeden raz.

Różnica zbiorów Różnica zbiorów, to zbiór złożony z tych elementów zbioru A, które nie należą do zbioru B. A\B = {x: x  A Λ x  B

Przykład Niech N będzie zbiorem liczb naturalnych a P zbiorem parzystych liczb całkowitych. Wówczas N\ P jest zbiorem wszystkich nieparzystych liczb naturalnych. Jeśli A = {1,2,3} i B = {1,3,4}, to A\B = {2,5} Jedynym wspólnym elementem odydwu zbiorów jest liczba 1, więc otrzymany zbiór będzie bardzo podobny do zbioru A, lecz nie posiadający liczby 1.

Iloczyn zbiorów Iloczyn zbiorów to część wspólna, czyli zbiór zawierający tylko te elementy, które jednocześnie należą do zbioru A i do zbioru B. A  B = {x : x  A Λ x  B}

Przykład 1.Niech N będzie zbiorem liczb naturalnych a P zbiorem parzystych liczb całkowitych. Wówczas P  N jest zbiorem wszystkich parzystych liczb naturalnych. 2. Jeżeli A = {1,2,5} i B = {1,3,4}, to A  B = {1}. Liczba 1 jest jedynym wspólnym elementem tych zbiorów.

Dopełnienie zbioru Dopełnieniem zbioru A z przestrzeni U nazywamy zbiór wszystkich elementów nie należących do danego zbioru. A΄= {x : x  U Λ x  A}

Przykład 1.Dopełnieniem zbioru liczb wymiernych w zbiorze liczb rzeczywistych jest zbiór liczb niewymiernych. 2. Jeżeli A = {1,2,3}, a przestrzenią U jest zbiór wszystkich liczb całkowitych dodatnich, to dopełnieniem zbioru A będzie zbiór A΄= {4,5,6,7,8, …}.

Własności działań na zbiorach i prawa de morgana Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą prawa: (A  B)΄= A΄ B΄ - I prawo De Morgana (A  B = A΄  B΄ - II prawo De Morgana A  B = B  B - przemienność dodawania zbiorów A  B = B  A - przemienność mnożenia zbiorów (A  B)  C = A  (B  C) - łączność dodawania zbiorów (A  B)  C = A  (B  C) - łączność mnożenia zbiorów

A  (B  C) = (A  B)  (A  B) - rozdzielność dodawania zbiorów względem mnożenia A  (B  C) = (A  B)(A  C) - rozdzielność mnożenia zbiorów względem dodawania

przykład Jest zbiór A = {1,2,3,4}, B = {1,3,5}, C = {3,5,9}. Oblicz D = A  (B  C); D = A  (B  C) = (A  B)  (A  C) = ({1,2,3,4}  {1,3,5})  ({1,2,3,4}  {3,5,9}) = {1,3}  {3} = {1,3}

logika

Pojęcie zdania w logice W logice zdaniem logicznym nazywamy wyrażenie oznajmujące, o którym można powiedzieć, że jest prawdziwe lub fałszywe. Prawdę oznaczamy przez 1 a fałsz przez 0 Przykład: Zdanie „Księżyc krąży wokół Ziemi” jest prawdziwe, jego wartość logiczna wynosi 1. Zdanie „Pies ma osiem łap” nie jest prawdziwe, a jego wartość logiczna wynosi 0.

Nazwa zdania złożonego negacja (zaprzeczenie) Symbole logiczne Symbol logiczny Spójnik Nazwa zdania złożonego  i koniunkcja  lub alternatywa  nieprawda, że … negacja (zaprzeczenie)  jeżeli …, to … implikacja  wtedy i tylko wtedy, gdy … równoważność

koniunkcja Zdania połączone spójnikiem i nazywamy koniunkcją. Koniunkcja jest prawdziwa jedynie wtedy, kiedy obydwa zdania p i q są prawdziwe. Tabela prawdziwości zdania p  q w zależności od wartości logicznych zdań p i q. p q p  q 1

przykład Zdania proste: p – „Byłem w księgarni” q – „Kupiłem książkę” Zdanie złożone jest prawdziwe jedynie wtedy, kiedy rzeczywiście byliśmy w księgarni (p = 1) i kupiliśmy książkę (q = 1). Natomiast, jeśli któreś ze zdań p i q byłoby fałszywe, oznaczałoby to, że skłamaliśmy, czyli wartość logiczna zdania złożonego wynosiłaby 0.

alternatywa Zdania połączone spójnikiem lub nazywamy alternatywą. Alternatywa jest prawdziwa wtedy, kiedy zdanie p jest prawdziwe lub zdanie q jest prawdziwe oraz wtedy, gdy obydwa zadania p i q są prawdziwe. Tabela prawdziwości zdania p  q w zależności od wartości logicznych zdań p i q. p q p  q 1

przykład Zdania: p – „Dziś rano posprzątam w pokoju” q – „Dziś rano pooglądam telewizję” Zdanie złożone będzie prawdziwe, kiedy posprzątam w pokoju lub kiedy pooglądam telewizję. Nie skłamiemy również, jeśli posprzątaliśmy i pooglądaliśmy telewizję.

implikacja Implikację zdań oznaczamy za pomocą spójnika  Zdanie p jest warunkiem wystarczającym do tego, aby zaszło q, a q jest warunkiem koniecznym do tego, aby zaszło p. Tabela prawdziwości zdania p  q w zależności od wartości logicznych zdań p i q. p q p  q 1

przykład Zdania: p – „Będziesz grzeczny” q – „Dostaniesz czekoladę” Nie skłamiemy, jeśli ktoś był grzeczny i dostał czekoladę, jeśli był niegrzeczny i nie dostał czekolady oraz gdyby był niegrzeczny i dostał czekoladę. Kłamstwem by było, gdyby ktoś był grzeczny i nie dostał czekolady.

równoważność Równoważność zdań oznaczamy przez  „wtedy i tylko wtedy, gdy …” Tabela równoważności wygląda następująco: p q p  q 1

przykład Zdania: p – „Księżyc krąży wokół Ziemi” q – „Pies ma osiem łap” Wartość logiczna zdania p wynosi 1, a zdania q 0. Ponieważ obie wartości logiczne zdań podrzędnych nie są sobie równe, więc zdanie to jest fałszywe, jego wartość logiczna wynosi 0. Jednak gdyby zdanie brzmiało „Ziemia krąży wokół Księżyca wtedy i tylko wtedy, gdy pies ma osiem łap”, wówczas byłoby prawdziwe, ponieważ wartości logiczne obu zdań podrzędnych byłyby sobie równe i wynosiłyby 0.

Prawa rachunku zdań Prawem rachunku zdań nazywamy zdanie złożone, które jest zawsze prawdziwe. Prawo rachunku zdań nazywane jest też prawem logicznym lub tautologią.

przykład Zdanie p   q jest zawsze prawdziwe. Mówiąc „ Byłem w kinie lub nie byłem w kinie” nie skłamiemy.

Prawa de morgana dotyczące zaprzeczeń zdań złożonych I prawo De Morgana: (p  q)   p   q Zaprzeczenie alternatywy dwóch zdań jest równoważne koniunkcji zaprzeczeń tych zdań. II prawo De Morgana: (p  q)   p   q Zaprzeczenie koniunkcji dwóch zdań jest równoważne alternatywie zaprzeczeń tych zdań.

kwantyfikatory Kwantyfikatory umożliwiają zapisanie zdań w krótszej formie.

x X p(x) Kwantyfikator ogólny Kwantyfikator ogólny oznaczamy przez x , mówi on, że dane stwierdzenie jest prawdziwe dla każdego x. x X p(x) Dla każdego x należącego do zbioru X zdanie p(x) jest prawdziwe.

Kwantyfikator szczegółowy Kwantyfikator szczegółowy oznaczamy przez x, mówi on, że istnieje takie x, dla którego dane twierdzenie jest prawdziwe. x  X p(x) Istnieje takie x w zbiorze X, że zdanie p(x) jest prawdziwe.

Cierpliwi Chińczycy Przypuśćmy, że następujące zdania są prawdziwe:      1. Wszyscy Chińczycy są cierpliwi,    2. Pewni Chińczycy są nauczycielami,    3. Pewni nauczyciele nie są cierpliwi,    4. Wszyscy nauczyciele są wykształceni.      Wobec tego, które z następujących zdań muszą być prawdziwe, a które muszą być fałszywe:      5. Cierpliwi Chińczycy są nauczycielami,      6. Cierpliwi nauczyciele są Chińczykami,      7. Chińscy nauczyciele są cierpliwi,      8. Pewni nauczyciele nie są Chińczykami,      9. Pewni wykształceni nauczyciele nie są cierpliwi,      10. Cierpliwi nauczyciele nie są wykształceni.

Wyścigi Czterech chłopców urządziło wyścigi.      - W jakiej kolejności przybyliście do mety - spytał Jacek kolegów.      - Nie przybyłem ostatni - powiedział Artur. - Ja wyprzedziłem Janka - odrzekł Karol.      - Tak, lecz Janek przybiegł przed Arturem - powiedział Staszek.      - Aha, to już wiem, kto z was zajął pierwsze miejsce w tym wyścigu! - odparł po chwili namysłu Jacek "łamigłowa".     Pytanie: A czy wy też już wiecie, kto był zwycięzcą biegu?

Kto co pali? Państwo Kowalscy siedzą przy stole z ich miłym gościem. Mówią właśnie o papierosach i z rozmowy okazuje się, że dwie osoby palą Dukaty, dwie palą Giewonty i dwie Wczasowe. Pani nie pali Wczasowych, Giewontów, a kto nie pali Dukatów, nie pali także Giewontów.       Pytanie: Jakie papierosy pali każda z trzech osób?

W klasie...      Spośród uczniów w klasie:      50% ma czarne włosy,      25% ma blond włosy,      33% to dziewczynki,      67% to chłopcy.      a) Wszyscy uczniowie o włosach blond to chłopcy.      b) Niektórzy chłopcy mają czarne włosy.      c) Niektórzy uczniowie o włosach blond to dziewczynki.      d) Zarówno chłopcy, jak i dziewczynki mają czarne włosy.      Pytanie: Które z następujących zdań jest na pewno prawdziwe?

W pociągu       W pociągu pośpiesznym Warszawa-Poznań jadą maszynista, konduktor i palacz, o nazwiskach Kowalski, Piotrowski i Zawadzki oraz powracający z narady w Ministerstwie Zdrowia pasażerowie: dr Kowalski, dr Piotrowski i dr Zawadzki. Dr Kowalski mieszka w Warszawie (teraz jedzie do kolegi), konduktor mieszka dokładnie w połowie drogi między Poznaniem a Warszawą. Pasażer o nazwisku konduktora mieszka w Poznaniu. Dr Piotrowski zarabia kwartalnie 12 500 złotych, a pasażer mieszkający najbliżej konduktora zarabia dokładnie 3 razy więcej niż konduktor. Zawadzki wygrał w domu z palaczem partię szachów.      Pytanie: Jakie nazwisko nosi maszynista?

Prezenty Siedem przyjaciółek - Hania, Irka, Janka, Kasia, Zosia, Marysia i Ola - postanowiły wysłać wspólnym kolegom prezenty noworoczne. Hania wysłała najwięcej prezentów, Irka następną po niej ilość, a Ola najmniej. Paweł otrzymał najwięcej upominków, Stefan następną ilość, a Wacek najmniej.      Stefan, Henryk, Paweł, Antoś i Janek dostali prezenty od Hani. Stefan, Henryk i Czesiek od Irki. Czesiek i Janek od Janki. Dziewczęta wysłały szesnaście upominków.     Pytanie: Którym z dziewcząt powinien podziękować za upominki Paweł?

Odpowiedzi: Cierpliwi chińczycy: Zdania 7, 8, 9 muszą być prawdziwe, zdanie 10 musi był fałszywe. Wyścigi: Pierwsze miejsce w biegu zajął Karol. Prezenty: Paweł otrzymał prezenty od Hani, Kasi, Zosi, Marysi i Oli, a więc im powinien przesłać podziękowania. Kto co pali? Panowie palą wszystkie trzy gatunki papierosów, pani nie pali żadnych. W klasie: Prawidłowa jest odpowiedź b). Pociągi: Nazwisko maszynisty brzmi: Zawadzki.

bibliografia http://pl.wikiboks.org/wiki/Matematyka_dla_liceum/Logika/S p%C3B3jniki_logiczne http://www.math.edu.pl/kwantyfikatory http://matematyka.pisz.pl/strona/1116.html http://www.moskat.pl/szkola/matematyka/b_zbiory.php http://www.math.us.edu.pl/prace/2001/bp/strona4.html http://www.blogi.szkolazklasa.pl/?blog=3265 http://www.spmargonin.republika.pl/abacus.html