Fizyka cząstek elementarnych Tadeusz Lesiak

Rudymenty kwantowej teorii pola T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych WYKŁAD II Rudymenty kwantowej teorii pola T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych

Kinematyka relatywistyczna T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych Szczególna Teoria Względności STW)  dwa postulaty: równoważność opisu ruchu w różnych inercjalnych układach odniesienia; niezależność prędkości światła od ruchu obserwatora. Transformacja Lorentza – odpowiada za przejścia między układami inercjalnymi w STW. Czynnik Lorentza Niezmienniki (invariants) – wielkości, które są takie same we wszystkich inercjalnych układach odniesienia; inaczej: są niezmiennicze względem transformacji Lorentza. Najważniejsze niezmienniki: Interwał (odległość w pseudo-euklidesowej przestrzeni Minkowskiego, x=x0,x,y,z): Kwadrat czterowektora energii-pędu p = (E,px,py,pz) = kwadrat masy cząstki: T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych

Kinematyka relatywistyczna T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych Relatywistyczność, niezmienniczość lorentzowska – podstawą wszystkich teorii pola HEP. Dwa najważniejsze układy odniesienia: Środka masy (CM) Laboratoryjny (LAB) Przykład potęgi niezmienników Efekty STW manifestują się na co dzień w eksperymentach HEP: relatywistyczny wzrost masy, dylatacja czasu, skrócenie Lorentza etc. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych

T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych Kwantowa teoria pola Kwantowa teoria pola (QFT, Quantum Field Theory) dostarcza opisu obiektów kwantowych poruszających się z relatywistycznymi prędkości. QFT stanowi syntezę mechaniki kwantowej (quantum mechanics, QM) i szczególnej teorii względności (STW). Koncepcja pola (klasycznego) narodziła się w XIXw. wraz z rozwojem elektromagnetyzmu i została następnie z powodzeniem zastosowana do opisu grawitacji. Pole klasyczne zostało wprowadzone jako „medium” pośredniczące w oddziaływaniach, uwalniając fizykę od konieczności traktowania oddziaływań jako zachodzących na odległość z nieskończoną prędkością (niezgodność z STW). Zakładając iż przestrzeń między oddziałującymi cząstkami jest wypełniona polem, można każdemu punktowi przypisać funkcję (lub wektor funkcji) zwaną natężeniem pola i opisującą ilościowo jak oddziaływanie przenosi się między cząstkami (ze skończoną prędkością propagacji).  Pole fizyczne jest obiektem o nieskończenie wielkiej liczbie stopni swobody.  Istnieją pola wektorowe i skalarne. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych

T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych Filary mechaniki kwantowej 1. Obserwable fizyczne są operatorami. Np. operator położenia: operator pędu: 2. Zasada nieoznaczoności. Dla operatorów: położenia i pędu - funkcja falowa Dla parametrów: energii i czasu 3. Reguły komutacji operatorów. Np. dla operatorów położenia i pędu: T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych

Problem nierelatywistycznej mechaniki kwantowej Zasada nieoznaczoności dla energii i czasu w połączeniu z równaniem prowadzą do wniosku iż: Cząstki i antycząstki mogą być tworzone parami, jeśli tylko dostępna energia jest dostatecznie duża oraz gdy nie zabrania tego zachowanie innych liczb kwantowych. W wysoko energetycznych procesach kwantowych liczba cząstek nie jest ustalona. Z dokładnością do obowiązujących zasad zachowania, mogą się także zmieniać ilości cząstek każdego typu. Brak ustalonej liczby cząstek jest nie do pogodzenia z nierelatywistyczną mechaniką kwantową (NRQM). W NRQM układ kwantowy charakteryzuje funkcja falowa ψ, a jego dynamikę opisuje równanie Schrödingera: (dla ruchu jednowymiarowego w potencjale V = V(x)) Równanie Schrödingera nie dostarcza żadnej możliwości zmiany liczby cząstek i/lub modyfikacji ich typu występuje. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych

T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych Pojęcie pola kwantowego Rozwiązanie powyższego problemu: zastąpienie funkcji falowej pojęciem pola kwantowego. Pole = operator, który może kreować i anihilować cząstki. Jest on określony w każdym punkcie czasoprzestrzeni (x,t) (lub w jej części). Operatory pola muszą spełniać pewne reguły komutacji np: - operator pola - operator pędu pola Uwaga: położenie jest operatorem w NRQM ale pełni rolę parametru (liczby) w QFT. Przyjrzyjmy się najpierw polom klasycznym φ (funkcją zmiennych przestrzennych i czasowej) Przejście pole klasyczne  pole kwantowe = zamiana funkcji na operator: T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych

T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych Lagranżjan i działanie Mechanika klasyczna Klasyczna teoria pola Jeden punkt materialny o masie m, opisany przez współrzędną uogólnioną i prędkość: Jedno pole, opisane przez jedną współrzędną uogólnioną w każdym punkcie przestrzeni : Lagranżjan (T – energia kinetyczna, V – energia potencjalna) Gęstość Lagranżjanu  Działanie Zasada najmniejszego działania (Hamiltona): Równania ruchu (Lagrange’a): Równania pola: T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych

T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych Kwantyzacja Kwantyzacja: przejście od pola klasycznego do kwantowego. Pierwsza kwantyzacja (kanoniczna): Położenie i pęd (funkcje współrzędnych)  operatory 2. Między tak określonymi operatorami wprowadzone zostają reguły komutacji Kwantowaniu podlegają zmienne dynamiczne takie jak położenie i pęd. Uwaga: czas nie podlega tej procedurze; pozostaje parametrem: W tym podejściu nie istnieje „operator czasu”: T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych

T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych Kwantyzacja Druga kwantyzacja: Kwantowaniu podlegają same pola, a nie zmienne dynamiczne takie jak położenie i pęd. Pola oraz kanonicznie sprzężone do nich pędy (funkcje współrzędnych)  operatory. Między tak określonymi operatorami pól oraz sprzężonych do nich pędów wprowadzone zostają „kanoniczne” reguły komutacji dla tej samej chwili czasu. Operatory pola działają na stany pola, tworząc lub anihilując cząstki. Liczba cząstek nie jest określona; mogę one być tworzone lub anihilowane. Tworzone są pary cząstka-antycząstka; do ich powstania potrzebna jest energia równa co najmniej 2x mc2 Położenie i pęd nie są operatorami, lecz liczbami. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych

T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych Kwantyzacja pola skalarnego Rzeczywiste, swobodne pole skalarne spełnia równanie Kleina-Gordona (RKG): Rozwiązaniem RKG jest pole swobodne: dla h=1 ωk – częstość kołowa k – wektor falowy Rozwinięcie (transformata) Fouriera dla RKG: Kwantyzacja: promocja pola φ do rangi operatora Dokonuje się ona przez zamianę transformat Fouriera pól φ i φ* na operatory kreacji i anihilacji: T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych

T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych Kwantyzacja pola skalarnego Kwantyzacja pędu pola skalarnego (kanonicznie sprzężonego do pola): Gęstość Lagranżjanu dla swobodnego pola skalarnego: Definicja pędu pola: Operator pędu pola powstaje przez różniczkowanie względem składowej czasowej wyrażenia na operator pola z poprzedniego slajdu: Relacje komutacji między operatorami pola i pędu: delta kroneckera  delta Diraca Uwaga: komutatory są obliczane dla tej samej chwili czasu: T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych

T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych Kwantyzacja a oscylator harmoniczny Hamiltonian oscylatora harmonicznego prostego w nierelatywistycznej QM: Definicja operatorów anihilacji i kreacji dla oscylatora: Można pokazać, iż (korzystając z relacji: ) Definicja operatora liczby cząstek: - stan o liczbie cząstek n Operator kreacji podwyższa ilość cząstek o jeden: Operator anihilacji obniża ilość cząstek o jeden: T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych

T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych Kwantyzacja a oscylator harmoniczny Istnieje stan o najniższej (zerowej liczbie cząstek) – stan podstawowy, inaczej stan próżni |0>. Stan |n> można otrzymać z próżni poprzez kolejne działanie operatora kreacji: Interpretacja: NRQM: |n> to stan pojedynczej cząstki o energii ; operatory kreacji (anihilacji) podnoszą (obniżają) poziomy energii cząstki. QFT: |n> to stan pola zawierający n cząstek; operator kreacji dodaje pojedynczy kwant (cząstkę) do pola;. operator anihilacji niszczy jeden kwant (cząstkę) z pola Istnieją osobne operatory kreacji i anihilacji dla cząstek i antycząstek. Ważna uwaga: poziomy energetyczne oscylatora są równoodległe. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych

T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych Kwantyzacja pola skalarnego Co łączy oscylatory i pola skalarne? Fourierowskie rozwinięcie klasycznego pola skalarnego: jest RÓWNOWAŻNE rozwinięciu pola na nieskończoną sumę niezależnych oscylatorów harmonicznych. Każdy taki oscylator posiada częstość k oraz amplitudę φ (φ*) Kwantowanie pola  kwantowanie każdego z tych oscylatorów: Kwantowy oscylator o częstości k, znajdujący się w n-tym stanie wzbudzonym o energii ~k może być interpretowany jako zbiór n nierozróżnialnych cząstek, kwantów, wzbudzeń pola. Dokładniej każde pole kwantowe może być zapisane jako liniowa kombinacja operatorów kreacji opisujących powstawanie cząstek o masie mi oraz 4-pędzie k oraz operatorów anihilacji, opisujących znikanie powyższych cząstek. Liczba kwantów (wzbudzeń) pola może być dowolna  cząstki wirtualne powstają i zanikają. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych

T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych Cząstki wirtualne i realne Próżnia klasyczna: z definicji brak materii, pustka. Próżnia kwantowa: zgodnie z zasadą nieoznaczoności mogą tworzyć się pary witualnych cząstek i antycząstek. Ich obecność powoduje mierzalne efekty: przesunięcie Lamba, efekt Casimira … Dlatego cząstki można podzielić na RZECZYWISTE (mogące się swobodnie propagować, nawet na makroskopowych odległościach) oraz WIRTUALNE „istniejące inaczej” tylko w krótkich chwilach dozwolonych przez zasadę nieoznaczoności. Cząstka rzeczywista nigdy nie jest izolowana; jest zawsze otoczona przez „chmurę” wirtualnych cząstek. Fotony (max. zasięg) W,Z (10-18m) gluony (10-15m) piony (10-15m) T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych

Macierz rozpraszania S T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych Każdy proces kwantowy można traktować jako przejście od stanu początkowego: do końcowego: S – macierz rozpraszania (scattering) Macierz S jest unitarna – zachowuje prawdopodobieństwo: I - macierz jednostkowa W przestrzeni pędu macierz Sif dla przejścia if jest proporcjonalna do amplitudy Mif danego procesu: Funkcja delta Diraca  zachowanie czteropędu w procesie. Amplitudę Mif można obliczyć w kolejnych przybliżeniach (perturbacyjnie), stosując metodę diagramów Feynmana  następne slajdy. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych

Co mierzy fizyka cząstek elementarnych ? Przekrój czynny (cross section  [barn=10-24cm2]): miara prawdopodobieństwa danej reakcji. Także efektywna powierzchnia cząstki tarczy oddziałującej z cząstkami padającymi. Także szybkość danej reakcji na cząstkę tarczy na jednostkę strumienia cząstek padających. Klasyczna analogia z łucznikiem strzelającym do tarczy. Przekrój czynny zależy zarówno od struktury tarczy jak i od cech cząstki-pocisku. Z grubsza  ~1 / v - proporcjonalny do czasu jaki cząstka spędza w otoczeniu tarczy tj. odwrotnie proporcjonalny do jej prędkości. Jednostka przekroju czynnego: 1 barn (b) Przekrój czynny różniczkowy (differential) – prawdopodobieństwo reakcji względem jakiejś zmiennej kinematycznej np. kąta rozpraszania. Przekrój czynny całkowity (total) – wycałkowany po wszystkich zmiennych kinematycznych. Związek przekroju czynnego z amplitudą M = Mif – zwaną odtąd elementem macierzowym, podaje złota reguła Fermiego  T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych

Złota reguła Fermiego Fermi golden rule Normalizacja stanów kwantowych Przestrzeń fazowa (gęstość stanów kwantowych; liczba stanów dostępnych dla cząstek stanu końcowego w jednostkowym przedziale np. energii-pędu Ef, pf etc.) Kwadrat elementu macierzowego (dynamika) Dwa istotne składniki (faktoryzacja): DYNAMIKA: element macierzowy, amplituda Mif dla procesu i  f; może być wyliczony stosując metodę diagramów Feynmana ( poniżej) KINEMATYKA: dostępna w reakcji przestrzeń fazowa: zależy od mas, energii i pędów cząstek biorących udział w reakcji; odzwierciedla fakt, że jeden proces zdarza się z powodów kinematycznych częściej od drugiego; mierzy jak wiele jest „miejsca, przestrzeni” w danym stanie końcowym. Wyprowadzenie reguły Fermi’ego  dowolny podręcznik teorii pola. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych

Diagramy Feynmana - elementarz Doskonała graficzna wizualizacja procesów wszelakich oddziaływań ale nie tylko, także Potężna metoda rachunkowa pozwalająca na wyliczanie elementów macierzowych w kolejnych rzędach rachunku zaburzeń  poniżej. Analogia z analizą obwodów elektrycznych (prawa Kirchhoffa) – pokazuje jak dana cząstka oddziałuje z innymi; nie wdaje się w szczegóły np. wartości czteropędów. Najprostsze diagramy Feynmana składają się jedynie z jednej lub więcej linii zewnętrznych, reprezentujących cząstki stanu początkowego lub końcowego, połączonych wierzchołkiem np. proces rozpadu cząstki A na dwie inne B i C: Dwa sposoby wyboru współrzędnej czasowej. Druga oś = współrzędne przestrzenne. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych

Diagramy Feynmana - elementarz Cząstka natychmiastowo przemieszczająca się z jednego punktu do drugiego Nachylenie linii odpowiada ruchowi cząstki (brak ilościowego związku nachylenia z prędkością). Cząstka w spoczynku Cząstka poruszająca się w przód w czasie i przestrzeni T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych

Diagramy Feynmana - elementarz Diagramy rozpraszania, zawierające co najmniej jedną linię wewnętrzną, reprezentującą oddziaływanie cząstek stanu początkowego i końcowego. W każdym wierzchołku jest zachowany ładunek elektryczny i inne liczby kwantowe, zachowane w danym oddziaływaniu Diagram anihilacji/formacji Cząstki A i B zderzają się i anihilują do czystej energii; z niej formuje się rezonans X, który rozpada się do cząstek C i D Diagram wymiany Cząstka A rozprasza się na cząstce B z poprzez wymianę bozonu X; w wyniku tego A staje się B, a C przechodzi w D Nie wiemy czy to A wysłała X, zaabsorbowany następnie przez B, czy też było to dokładnie odwrotnie T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych

Diagramy Feynmana - elementarz Konwencje graficzne: Antycząstka = cząstka poruszająca się wstecz w czasie Każda linia na diagramie Feynmana reprezentuje (anty-)cząstkę obdarzoną pewnym 4-pędem. Każdy wierzchołek (miejsce spotkania cząstek) odpowiada oddziaływaniu. Przykład: diagram wymiany cząstki B między cząstką A i jej antycząstką A’: 4-pędy cząstek stanu początkowego i końcowego są oznaczane jako pi (i=1,2,3.). 4-pęd cząstki wymienianej jest oznaczany jako q. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych

T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych Diagramy Feynmana – cząstki rzeczywiste i wirtualne Cząstka rzeczywista – przychodząca lub wychodząca – „na powłoce masy” (on the mass shell) Cząstka wirtualna – jej propagacja jest ograniczona dwoma wierzchołkami - „poza powłoką masy” (off the mass shell) T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych

Diagramy Feynmana – cząstki wirtualne Masa cząstki wirtualnej jest różna od jej masy spoczynkowej – dwa przykłady q2 – kwadrat czteropędu fotonu: W układzie środka masy pary e+e-: E ( p) – zmiana energii (pędu) elektronu Rozpraszanie elastyczne   E = 0 Wtedy: urojona rzeczywista T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych

Diagramy Feynmana ilościowo Obliczenie amplitudy pojedynczego diagramu Wykorzystanie zachowania 4-pędu w każdym wierzchołku – poprzez wypisanie odpowiedniej funkcji delta Diraca np. Wypisanie stałej sprzężenia dla każdego wierzchołka np. dla elektromagnetyzmu stała ta wynosi: 3. Wypisanie propagatora dla każdej linii wewnętrznej: Propagator to funkcja opisująca przekaz (propagację) 4-pędu między cząstkami. Propagator dla cząstki skalarnej (o 4-pędzie q i masie m): Propagator dla cząstki o spinie 1/2: k – 4-pęd fotonu gμν – tensor metryczny Propagator dla fotonu (w tzw. cechowaniu Feynmana): T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych

Diagramy Feynmana ilościowo Obliczenie amplitudy pojedynczego diagramu Wycałkowanie po wszystkich 4-pędach linii wewnętrznych typowy czynnik całkowania dla jednej takiej linii o 4-pędzie q: Amplituda pojedynczego diagramu Feynmana jest iloczynem ściśle określonych czynników, z których każdy pojedynczy jest związany z jedną linią lub wierzchołkiem diagramu. Przykład B – bozon skalarny o masie mB Ad 1. Ad 2. Ad 3. Ad 4. Razem: Zachowanie 4-pędu T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych

Diagramy Feynmana ilościowo Obliczenie całkowitej amplitudy danego procesu (wiele diagramów): Narysuj wszystkie możliwe diagramy Feynmana dla zadanej konfiguracji cząstek początkowych i końcowych. Oblicz amplitudę dla każdego diagramu (Ma). Dodaj amplitudy obliczone dla indywidualnych diagramów : Weź moduł z sumarycznej amplitudy i podnieś go do kwadratu. Zastosuj złotą regułę Fermi’ego  przekrój czynny (prawdopodobieństwo procesu). T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych

Diagramy Feynmana ilościowo Obliczenie całkowitej amplitudy danego procesu (wiele diagramów) W praktyce tj. dla małych stałych sprzężenia obliczenia wykonuje się w sposób przybliżony, stosując rachunek zaburzeń: n – rząd diagramu = ilość jego wierzchołków np. dla n=4 α =g - stała sprzężenia. Amplituda każdego diagramu n-tego rzędu jest proporcjonalna do αn. Rozważmy przypadek gdy stała sprzężenia jest mała ( np. α ≈1/137 dla dla elektromagnetyzmu). Jedynie diagramy o najmniejszej liczbie wierzchołków wnoszą znaczący wkład do całkowitej amplitudy. Wystarczy uwzględnić co najwyżej kilka pierwszych rzędów aby uzyskać dokładność rzędu 10-10. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych

Diagramy Feynmana ilościowo ALE: ilość diagramów danego rzędu bardzo szybko rośnie z wartością tego ostatniego. Przykład: poprawki rzędu α3 dla anomalnego momentu magnetycznego elektronu. Przykład: diagramy z sześcioma fotonami T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych

Częstość rozpadu,czas życia… Częstość rozpadu (jego szerokość, „decay width”) jest proporcjonalna do kwadratu modułu amplitudy. Czas życia („particle lifetime”) cząstki – średni czas, po którym nietrwałą cząstka ulegnie rozpadowi - jest proporcjonalny do odwrotności kwadratu modułu amplitudy. N0 – liczba cząstek nietrwałych w chwili początkowej N(t) – liczba cząstek nietrwałych po czasie t Wartości częstości rozpadu (podawane w jednostkach energii np. MeV) i czasu życia są charakterystyczne dla rodzaju oddziaływania odpowiedzialnego za dany rozpad. Długość rozpadu („decay length”) cząstki – średnia odległość jaką przebywa cząstka przed rozpadem. Sposób (mod) rozpadu („decay mode”) cząstki – stan końcowy do jakiego rozpadła się cząstka (na ogół jest ich wiele). Stosunek rozgałęzień („branching ratio”, BR) – udział danego stanu końcowego (procentowy) w rozpadach cząstki. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych

Częstość rozpadu,czas życia… Przykład: Mezon K0S w 99.9% przypadków rozpada się na jeden z dwu następujących sposobów: Każdy z tych dwóch modów rozpadu posiada własną amplitudę (element macierzowy). Znając ją można wyznaczyć częściową szerokość na dany rozpad (partial decay width): Częstość rozpadu czyli inaczej jego całkowita szerokość: Stosunek rozgałęzień czyli procentowy udział rozpadów do danego stanu końcowego: T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych

T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych Masa niezmiennicza Przykład: Rozważmy rozpad: Masę cząstki, która uległa rozpadowi (w tym przypadku K0S) można zrekonstruować, znając 4-pędy produktów rozpadu: Podnosząc do kwadratu obie strony: Zrekonstruowana masa niezmiennicza cząstki K0S Jakie jest pochodzenie zdarzeń tła pod maksimum cząstki K0S ? T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych

T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych Rezonanse Przekrój czynny np. jako funkcja energii w układzie środka masy, wykazuje specjalne zachowanie w otoczeniu rezonansu – krótkożyciowego stanu związanego. Energia rezonansowa – wyróżniona wartość energii zderzenia, przy której pocisk i tarcza oddziałują w specjalny sposób formują krótko-życiowy stan związany, który następnie się rozpada. Nas najbardziej interesują rezonanse, które formują się i rozpadają poprzez oddziaływania silne; ich czas życia » 10-22 – 10-23 s - czas w jakim światło pokonuje odległość rzędu 1fm (rozmiar nukleonu).  absolutnie brak szans na rejestrację „toru lotu” takiego rezonansu Parametryzacja rezonansu: wzór Breita-Wignera (BW): Rezonans e+e- Brak korelacji Wartość średnia rozkładu BW = masa M  - szerokość rezonansu;  = 1/,  - czas życia rezonansu T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych

Metoda całek po trajektoriach Eksperyment z dwiema szczelinami – doskonała ilustracja zjawisk mechaniki kwantowej T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych

Metoda całek po trajektoriach Cząstka (elektron, foton, człowiek…) jest emitowana ze źródła A w chwili czasu t1 oraz, w chwili t2 jest ona obserwowana w detektorze w punkcie B. Pomiędzy punktami A i B znajduje się ekran z dwiema szczelinami. Zgodnie z mechaniką kwantową, prawdopodobieństwo P (liczba rzeczywista) znalezienia cząstki w punkcie B może być obliczone jako kwadrat modułu sumy dwóch zespolonych amplitud a1 i a2, po jednej dla każdej możliwej drogi „jaką może obrać cząstka między A i B”: Złożenie (superpozycja) tych dwóch zespolonych przyczynków daje na ekranie obraz interferencyjny (analogicznie jak dla innych fal). T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych

Metoda całek po trajektoriach Dodajmy drugi ekran, także z dwiema szczelinami. Obecnie cząstka może podążać czterema drogami: Kontynuujmy dodawanie ekranów i szczelin: Wówczas: T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych

Metoda całek po trajektoriach Przejście do granicy nieskończonej liczby szczelin i ekranów jest równoważne pustej przestrzeni. Nadal jednak należy dopuścić (wziąć do rachunku) wszystkie możliwe trajektorie; jedynie trzy przedstawiono na rysunku. Przyczynek od pojedynczej trajektorii: (S – działanie związane z daną trajektorią).  Metoda całek po trajektoriach stanowi podejście wariacyjne Prosty, jednowymiarowy przykład: Nieskończona suma = całka po trajektoriach Praca domowa: sprawdź w podręczniku do mechaniki kwantowej jak ta formuła prowadzi do równania Schrödingera. Metoda całek po trajektroriach  równanie falowe Schrödingera. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych

T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych Backup T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych

T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych Backup T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych

Diagramy Feynmana - ilościowo Dla najprostszej siły tj. elektromagnetyzmu jest sześć elementarnych wierzchołków Elektron emituje foton Elektron absorbuje foton Foton tworzy parę e+e- Para e+e- anihiluje do fotonu Pozyton emituje foton Pozyton absorbuje foton T.Lesiak symetrie i model kwarków