Politechnika Rzeszowska FIZYKA CIAŁA STAŁEGO Vitalii Dugaev Katedra Fizyki Politechnika Rzeszowska Semestr letni, rok 2013/2014

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 1 Ruch w polu magnetycznym Równanie dla przemieszczenia cząstek kuli Fermiego pod wpływem siły F Częstość cyklotronowa Przyjmujemy że H jest równoległe do osi z, E=0 i τ→∞ Rozwiązania: gdzie - częstość cyklotronowa swobodnego elektronu Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 1

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 2 Stałe magnetoprzewodnictwo Niech stałe pole magnetyczne E leży w płaszczyźnie xy, a H wzdłuż osi z W stanie ustalonym Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 2

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 3 Rozwiązując względem δvx, δvy otrzymamy Składowe gęstości prądu elektrycznego Składowa z prądu elektrycznego nie podlega działaniu pola magnetycznego skierowanego wzdłuż z: Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 3

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 4 Gęstość prądu możemy przedstawić w postaci macierzy: Z tych równań wynika że składowe σxx i σyy leżące na przekątnej tensora magnetoprzewodnictwa maleją monotonicznie ze wzrostem pola magnetycznego Wartości składowych, które nie leżą na przekątnych σxy i σyx, początkowo rosną, a później maleją, gdy pole magnetyczne H wzrasta Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 4

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 5 Efekt Halla Rozpatrzmy próbkę w kształcie pręta umieszczonego wydłuż linii pola elektrycznego Ex i prostopadle do linii pola magnetycznego H Hz Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 5

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 6 Ponieważ prąd nie może wypływać z próbki w kierunku y, to jy=0 Możliwo to jest wówczas kiedy powstanie poprzeczne pole elektryczne Ey o wartości Powstałe poprzeczne pole można zmierzyć. Jest ono znane pod nazwą pola Halla. Wielkość nazywana jest stałą Halla. Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 6

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 7 W słabym polu i ma wartość ujemną dla elektronów swobodnych. Im mniejsza jest koncentracja nośników prądu, tym większą wartość przyjmuje stała Halla. Pomiar RH jest metodą wyznaczania koncentracji nośników Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 7

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 8 Emisja termoelektryczna Elektrony, które opuszczają metal mają energie leżące w wysoko- energetycznej części rozkładu elektronów w stanie równowagi, czyli energię większą od potencjału chemicznego μ o wartość pracy wyjścia Φ Ponieważ to w tych warunkach dla wyparowanych elektronów W tym przedziale funkcja rozkładu Fermiego-Diraca przyjmie postać Jeżeli E1 jest energią elektronu odniesioną do poziomu energetycznego w próżni E0, wówczas E=E0+E1, E0–μ=Φ i Φ μ E0 gaz elektronowy w metalu próżnia x Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 8

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 9 Obliczymy gęstość nasyconego prądu elektronowego wyparowanego z metalu Szybkość, z którą elektrony w metalu w przedziale pędu między p a p+dp uderzają w jednostkę powierzchni metalu, wynosi gdzie n(p) jest liczbą elektronów w jednostce objętości w przestrzeni fazowej, którą wyrazić możemy jako Gęstość prądu emisji gdzie Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 9

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 10 Zazwyczaj θ>>1, wówczas logarytm możemy rozwinąć: Jest to równanie Richardsona-Duszmana. Możemy je napisać w postaci gdzie Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 10

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 11 PASMA ENERGETYCZNE Elektrony w kryształach rozmieszczone są w pasmach energetycznych, oddzielonych przedziałami energii, w których nie ma dozwolonych stanów elektronowych. Takie wzbronione przedziały nazywane zostały przerwami energetycznymi albo przerwami pasmowymi energia izolator metal półprzewodnik półprzewodnik Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 11

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 12 Model elektronów swobodnych gdzie dla periodycznych warunków brzegowych w ściance o boku L Funkcje falowe elektronu swobodnego przedstawiają fale bieżące niosące pęd Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 12

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 13 Model prawie swobodnych elektronów Rozważmy model liniowej sieci krystalicznej o stałej sieci a. Warunek Bragga (k+G)2=k2 dla dyfrakcji fali o wektorze falowym k w modelu jednowymiarowym przyjmuje postać gdzie G jest wektorem sieci odwrotnej Odbicie zachodzi dla k=±π/a, ponieważ fala odbita od jednego atomu sieci liniowej interferuje z fala odbitą od najbliższego atomu Obszar w przestrzeni zawarty między -π/a i π/a nazywa się pierwszą strefą Brillouina. W przypadku k=±π/a funkcje falowe nie są falami bieżącymi ponieważ każde odbicie Bragga zmienia kierunek rozchodzenia się fali na przeciwny drugie pasmo dozwolone Pierwsze pasmo wzbronione Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 13

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 14 Można utworzyć dwie fali stojące: Obu falom stojącym ψ(+) oraz ψ(-) odpowiada w sieci krystalicznej różne energii ponieważ gęstość prawdopodobieństwa tych fal odpowiada różnemu ułożeniu się elektronów (pomiędzy jonami dla ψ(-) i wokół rdzeni atomowych dla ψ(+). Dlatego energia potencjalna dla fali ψ(+) jest mniejsza niż dla fali ψ(-) i mamy przerwę energetyczną o szerokości Eg Energia potencjalna |ψ(-)|2 |ψ(+)|2 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 14

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 15 Równanie falowe elektronu w potencjale periodycznym Niech U(x) oznacza energię potencjalną elektronu w sieci liniowej o stałej a, U(x)=U(x+a) Możemy U(x) rozwinąć w szereg Fouriera sumowany na wszystkie wektory sieci odwrotnej Równanie Schrödingera Funkcję falową szukamy w postaci szeregu Fouriera Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 15

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 16 Przyjmując Otrzymamy Ciągły rozkład współczynników szeregu Fouriera C(K) nie występuje w danym ψk, natomiast występują tylko formy C(k-G), gdzie G jest wektorem sieci odwrotnej: gdzie Ponieważ uk(x) jest szeregiem Fouriera rozciągniętym na wektory sieci odwrotnej, to jest niezmiennicza względem translacji sieci krystalicznej T Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 16

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 17 Twierdzenie Blocha: Funkcje własne równania falowego dla potencjału periodycznego przyjmują postać funkcja Blocha gdzie uk(r) jest funkcją periodyczną o okresie równym stałej sieci krystalicznej Wszystkie jednoelektronowe funkcje w idealnym krysztale przyjmują postać funkcji Blocha Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 17

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 18 Pseudopęd elektronu Wskutek translacji sieci krystalicznej na wektor T a zatem eik·T jest czynnikiem fazowym, przez który jest mnożona funkcja Blocha przy translacjach Wartość k występuje w prawach zachowania dla procesów zderzeń elektronów w kryształach. Dlatego k jest nazywane pseudopędem elektronu Gdy elektron o wektorze falowym k zderza się z fononem o wektorze falowym q, to zgodnie z zasadą zachowania (fonon został zaabsorbowany) gdzie G jest wektorem sieci odwrotnej Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 18

schemat strefy zredukowanej Układ strefy zredukowanej Jest możliwe dobranie wskaźnika przy wektorze falowym k w funkcji Blocha tak, aby leżał on zawsze wewnątrz pierwszej strefy Brillouina. Ujęcie takie nazywa się układem strefy zredukowanej Jeśli funkcja Blocha jest napisana w postaci ψk’(r) z k’ poza pierwszą strefą, to możemy zawsze znaleźć odpowiedni wektor G taki, że k=k’-G z k leżącym wewnątrz pierwszej strefy Brillouina schemat strefy rozwiniętej schemat strefy zredukowanej pierwsza strefa Brillouina Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 19

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 20 Przybliżone rozwiązanie w pobliżu granicy strefy Załóżmy, że w modelu jednowymiarowym wartości energii potencjalnej UG, będące składowymi szeregu Fouriera, są małe w porównaniu z energią kinetyczną elektronu swobodnego λk W tym przybliżeniu dla k, leżącego na granicy strefy w punkcie G1/2, pozostawimy tylko dwa równania Dla wygody przyjmujemy, że U(x) jest funkcją parzystą x, a więc UG=U–G=U1 Warunek rozwiązania Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 20

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 21 czyli Istnieją dwa pierwiastki Ek Na granicy strefy: Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 21

Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 22 W pobliżu granicy strefy Definicja: Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 22