KONKURS ZANIM ROZPOCZNIEMY PREZENTACJĘ ZAPRASZAMY DO WZIĘCIA UDZIAŁU W KONKURSIE NA NAJSZYBSZE ROZWIĄZANIE UKŁADU RÓWNAŃ

ROZWIĄŻ PODANY UKŁAD RÓWNAŃ W JAK NAJKRÓTSZYM CZASIE

REBUS MATEMATYCZNY

REBUS MATEMATYCZNY

REBUS MATEMATYCZNY

REBUS MATEMATYCZNY

REBUS MATEMATYCZNY

Rozwiązywanie układów równań często sprawia uczniom problem Rozwiązywanie układów równań często sprawia uczniom problem. Nawet jeżeli rozwiążą układ równań to często nie mają pewności, że otrzymali poprawny wynik. Stąd pomysł stworzenia programu lub przynajmniej arkusza kalkulacyjnego, który rozwiązywałby układ równań za nas.

Aby stworzyć taki arkusz, który rozwiązuje za nas układ równań musieliśmy poznać jeszcze jedną metodę rozwiązywania układów równań – metodę wyznaczników.

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ – METODA WYZNACZNIKÓW. W jaki sposób rozwiązać układ równań metodą wyznaczników. Jest to materiał wykraczający poza podstawę programową gimnazjum, jednak opisana metoda nie jest wcale trudna. Przedstawimy tu samą metodę, bez zagłębiania się w teorię, która już taka łatwa nie jest.

WYZNACZNIK STOPNIA 2. Oto wyznacznik stopnia 2: a, b, c, d – dowolne liczby tworzące tzw. macierz Przykłady:

JAK ROZWIĄZAĆ UKŁAD RÓWNAŃ ZA POMOCĄ WYZNACZNIKÓW? Przykład: Rozwiąż układ równań: Najpierw tworzymy i obliczamy tak zwany wyznacznik główny W, którego pierwszą kolumnę tworzą współczynniki stojące przy x, a drugą współczynniki stojące przy y.

JAK ROZWIĄZAĆ UKŁAD RÓWNAŃ ZA POMOCĄ WYZNACZNIKÓW? Teraz tworzymy wyznacznik Wx , wstawiając do W w miejsce współczynników przy x wyrazy wolne (oznaczone w układzie kolorem fioletowym).

JAK ROZWIĄZAĆ UKŁAD RÓWNAŃ ZA POMOCĄ WYZNACZNIKÓW? Następnie tworzymy wyznacznik Wy , wstawiając do W w miejsce współczynników przy y wyrazy wolne (oznaczone w układzie kolorem fioletowym).

JAK ROZWIĄZAĆ UKŁAD RÓWNAŃ ZA POMOCĄ WYZNACZNIKÓW? Mamy zatem: W = -80, Wx = -320, Wy = 160. Obliczamy niewiadome: Rozwiązaniem układu równań jest para liczb x = 4, y = -2.

WZORY:

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 1.

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 2. Dla ułatwienia porządkujemy układ równań tak, żeby x stały pod x, y pod y a wyrazy wolne pod wyrazami wolnymi.

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 2-ciąg dalszy. Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb x = 2, y = 3.

WYZNACZNIK STOPNIA 3. Wyznacznik ten obliczamy tzw. metodą Sarrusa. Dopisujemy pod wyznacznikiem dwa pierwsze wersy i mnożymy po skosie. Iloczyny od lewej do prawej dodajemy, a od prawej do lewej odejmujemy.

WYZNACZNIK STOPNIA 3. Przykład: Oblicz wyznacznik + 3 ∙ 1 ∙ 3 = 9 + (-1) ∙ (-2) ∙ 1 = 2 + 4 ∙ 2 ∙ 2 = 16 - 1 ∙ 1 ∙ 4 = 4 - 2 ∙ (-2) ∙ 3 = -12 - 3 ∙ 2 ∙ (-1) = -6 = ========= 41 = 9 + 2 + 16 – 4 – (-12) – (-6) = 41

PRZYKŁAD. Rozwiąż układ równań metodą wyznaczników. W pierwszym równaniu nie ma z, a więc współczynnik przy tej niewiadomej jest równy 0. = 3 + 0 + (-1) – 0 – 2 – (-3) = 3 = 0 + 0 + (-9) – 0 – 0 – (-12) = 3 = 12 + 0 + 0 – 9 – 0 – 0 = 3

PRZYKŁAD. = 9 + 0 + (-4) – 0 – 8 – (-9) = 6 Rozwiązaniem układu równań jest trójka liczb x = 1, y = 1, oraz z = 2.

Głównym celem projektu było zapoznanie się z nową dla uczniów metodą rozwiązywania układów równań – metodą wyznaczników i stworzenie narzędzia, które na podstawie odpowiednich algorytmów rozwiąże układ równań i przedstawi nam wyniki.

„Matematyka podobna jest do wieży, której fundamenty położono przed wiekami, a do której dobudowuje się coraz wyższe piętra. Aby zobaczyć postęp budowy, trzeba iść na piętro najwyższe, a schody są strome i składają się z licznych stopni.” Hugo Steinhaus.

W prezentacji wykorzystano rebusy ze strony GWO.PL