Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001 Wykład 1 ALGEBRA ZBIORÓW Celem wykładu jest zdobycie umiejętności poprawnego wnioskowania i zrozumienie podstawowych pojęc matematycznych takich jak zbiór, funkcja, ciąg, relacja, graf itd. Tak się składa, że pojęcia te są również niezbędne z informatyce. Wykład będzie zawierał elementy logiki matematycznej, teorii mnogości algebry abstrakcyjnejm kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa. Wszystkie te tematy należą do działu, który od pewnego czasu zwie się Matematyką Dyskretną. Być może niektóre pojęcia i tematy poruszane w wykładzie będzą powtórzeniem materiału poznanego w szkole średniej. Niech to będzie okazją do ujednolocenia notacji przypomnienia pewnych definicji i poglebienia wiedzy. Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001

Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001 Zbiór Przykłady: zbiór studentów 1go roku PJWSTK zbiór książek w bibliotece zbiór liczb naturalnych (ozn. N) zbiór liczb rzeczywistych (ozn. R) zbiór słów nad alfabetem A (ozn. A*) Zamiast mówić, że 5 jest liczbą naturalną, mówimy, że 5 należy do zbioru liczb naturalnych i piszemy 5N. Symbol  nazywamy relacją należenia. Jeśli element nie należy do zbioru, np. -2.5 nie jest liczbą naturalną, tzn. -2.5 nie należy do zbioru N, tzn. -2.5 N. Dział matematyki, którego zadaniem jest badanie ogólnych własności zbiorów nazywamy Teorią Mnogości. Za jego twórcę uważa się George Cantora. Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001

Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001 Definiowanie zbiorów A = {a,b,c,d,e,f,g} przez wymienienie ich elementów przez podanie własności, które muszą spełniać elementy przez podanie sposobu wyliczania elementów Zbiór A nie jest pusty, bo należy do niego element a. A , bo aA. Jeśli jakiś obiekt nie należy do zbioru, to używamy symbolu , np. h A. Nie ma takiego obiektu, który należałby do zbioru pustego! B = {x : xN oraz x<6} C = {x2 + 1 : xN} Jeśli zbiór nie posiada żadnych elementów, to powiemy że jest pusty. Zbiór pusty oznaczamy przez . Przykład Jeśli A= {0,1}, to 000  A*, 010101  A*. Do zbioru A* zalicza się też ciąg pusty ozn.  Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001

Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001 Równość zbiorów Definicja Powiemy, że dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy gdy mają dokładnie te same elementy. A = B wttw dla dowolnego x, jeżeli x A, to x  B i odwrotnie jeżeli x B, to x  A . Przykład A = {5,50,500,5000} = {5* 10x: xN i x<4} A = {5000,5,50,500} AB wttw istnieje taki element zbioru A, który nie należy do B lub istnieje taki element zbioru B, który nie należy do A. Uwaga : Jeżeli A = B i B= C , to A = C. Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001

Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001 Relacja zawierania inkluzja Definicja Powiemy, że zbiór A zawiera się w zbiorze B, ozn. A B wttw dla dowolnego obiektu x, jeśli x A, to x  B. Jeśli A=B, to również AB. O zbiorze A mówimy, że jest podzbiorem zbioru B, a o B mówimy, że jest nadzbiorem A. Jeśli AB i A  B, to mówimy, że A jest właściwym podzbiorem zbioru B, ozn. A B. Zbiór B zawiera zbiór A B A jest zawarty w zbiorze B A Przykłady: N  R, Q  R, Z  R {d, a}  {a,b,c,d,e,f} Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001

Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001 Relacja zawierania Jeżeli zbiór A nie zawiera się w zbiorze B, tzn. nie jest prawdą, że zbiór A jest zawarty w zbiorze B, to musi istnieć taki obiekt (element), który należy do zboru A i jednocześnie nie należy do zbioru B. A A B B A B wttw istnieje takie x, że xA i x B. A B Przykład. Zbiór liczb podzielnych przez 2 nie jest podzbiorem zbioru liczb podzielnych przez 5, bo np. 4 jest podzielne przez 2 a nie jest podzielne przez 5. Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001

Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001 Własności inkluzji Twierdzenie Dla dowolnych zbiorów A,B,C :  A A A Jeśli A  B oraz B  C, to A  C. Jeśli A  B oraz B  A, to A = B. Jeśli A B, to non A  B lub non B  A. Uwaga Jeśli xA, to { x}  A. Zbiór, który składa się z wszystkich podzbiorów pewnego zbioru A nazywa się zbiorem potęgowym. Ozn. P(A) Przykład P() = {} Niech A={1,2,3}. Wtedy P(A) = {, {1},{2}, {3}, {1,2},{2,3},{1,3}, {1,2,3}} Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001

Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001 Suma zbiorów Definicja Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór, którego elementami są wszystkie elementy zbioru A i wszystkie elementy zbioru B. Sumę zbiorów A i B oznaczamy przez A B . x A B wttw x  A lub x  B A B Uwaga Kiedy x  A B? x  A B wttw x  A i x  B Przykład. A={3k: k  N}, B= {2k : k N}. A B = {n: n jest liczbą,, która dzieli się przez 2 lub przez 3. Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001

Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001 Własności sumy Twierdzenie Dla dowolnych zbiorów A,B,C :   A = A A  A = A A B = B  A (A  B)  C = A  (B  C) przemienność łączność Uwaga Powyższe równości można udowodnić wykazując, że jeżeli element należy do lewej strony równości, to należy do prawej strony i odwrotnie. Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001

Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001 Inkluzja a suma Twierdzenie Dla dowolnych zbiorów A, B, C: A  A  B oraz B  A  B Jeśli A  C i B  C , to A  B  C Jeśli A  B i C  D , to A  C  B  D A  B wttw A  B = B Dowód (4). Niech A  B oraz x A  B . Wtedy x należy albo do A lub do B. Na mocy założenia , jeśli x  A, to x  B. Zatem x  B .Ponieważ powyższe rozumowanie jest poprawne dla dowolnego x więc udowodniliśmy, że jeśli A  B to A  B= B. Odwrotnie, załóżmy, że A  B = B. Jeżeli x  A wtedy x  A  B, a ponieważ zbiory A  B i B są równe więc x B. Czyli A  B. Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001

Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001 Iloczyn zbiorów Definicja Iloczynem(przecięciem) zbiorów A i B nazywamy zbiór, którego elementami są te elementy zbioru A , które są równocześnie elementami zbioru B. x A B wttw x  A i x  B Kiedy element nie należy do iloczynu? B A x A B wttw x  A lub x  B Przykład. A={2i : i<16} B={3i : i<11} A B={0,6,12,18,24,30}= {6i : i < 6} Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001

Własności iloczynu = Twierdzenie Dla dowolnych zbiorów A,B,C : A  A = A A  B = B  A (A  B)  C = A  (B  C) przemienność łączność Diagramy Eulera-Venna A B A B = C C Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001

Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001 Iloczyn a suma Prawa absorbcji Twierdzenie Dla dowolnych zbiorów A,B,C : A  (A  B) = A (A  B)  B = B A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) Prawa rozdzielnosci Przykład dowodu (3): (A  B)  (A  C) A  (B  C) A B A B = C C Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001

Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001 Różnica symetryczna Róznicą symetryczną zbiorów A, B nazywamy zbiór A B taki, że x A lub x B ale x nie należy do obu zbiorów równocześnie. Przykład A= {2i : i<6} B= {3i : i<6} A  B = {2, 3,4,8,9,10,15} A B = {0,2,3,4,6,8,9,10,12,15} Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001

Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001 Różnica zbiorów Definicja Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór , którego elementami są te obiekty zbioru A, które nie są równocześnie elementami zbioru B.Różnicę zbiorów oznaczamy przez A\B. x A\B wttw x  A i x  B Przykład A= {1,2,3,4,5,6} B={ 2i+1: i<5} wtedy A\B = {2,4,6} B\A = {7,9} A B Uwaga x  A  B wttw x  A\B lub x  B\A. x  A\ B wttw x  A lub x  B . Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001

Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001 Własności różnicy Dowód (3) Twierdzenie Dla dowolnych zbiorów A,B,C : A\B  A A B wttw A\B =  Jeśli A  B, to C\B  C\A Jeśli A \(B C)= (A\B)\C. B C A B C A Dowód (4): x  A \(B C) wttw x  A i x (B C) wttw x  A i xB i xC wttw x  A\B i xC wttw x  (A \B)\C. A\(B C) = (A\B)  (A\C) A\(B C) = (A\B)  (A\C) Prawa de Morgana C\B  C\A Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001

Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001 Dopełnienie zbioru W zastosowaniach algebry zbiorów bardzo często ograniczamy się do podzbiorów pewnego ustalonego zbioru. Nazywać go będziemy uniwersum, lub przestrzenią. Definicja Dopełnieniem(Uzupełnieniem) zbioru A w przestrzeni U nazywamy zbiór -A, którego elementami są wszystkie elementy przestrzeni U nie należące do zbioru A, tzn. dla dowolnego x U i dowolnego podzbioru A przestrzeni U: x- A wttw x  A Oczywiście mamy U\A = -A U Przykład Niech uniwersum U=N oraz A={2i: i  N}. Wtedy -A jest zbiorem wszystkich liczb nieparzystych. A Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001

Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001 Własności dopełnień Twierdzenie Dla dowolnych zbiorów A,B pewnego uniwersum U : - = U -U =  -(-A ) = A Jeśli A  B, to - B  -A. Prawa de Morgana -(A  B) = -A  -B -(A  B) = -A  -B Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001

Działania nieskończone (tego nie było trzeba zrobić później) Definicja Niech będzie rodzina zbiorów A= {Ai : i  I}. Sumą nieskończonej rodziny zbiorów nazywamy zbiór  Ai taki, że x   Ai wttw istnieje takie i  I, że x  Ai . Iloczynem (lub przecięciem) nieskończonej rodziny zbiorów nazywamy zbiór  Ai taki, że x   Ai wttw dla wszystkich i  I, x  Ai Przykład. 1.Niech dla i  N, Ai = zbiór ciągów długości i o elementach z pewnego zbioru S. Wtedy zbiór  Ai = S*. 2. Ai = {x  R : x<i} dla i  N  Ai = R  Ai = {x  R : x<0} + x Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001