Wytrzymałość materiałów (WM II – wykład 11 – część B)

SPRAWY ORGANIZACYJNE Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW - II Prowadzący: dr hab. inż. Mirosław K. Gerigk, prof. nadzw. PG e-mail: mger@pg.gda.pl Wydział Mechaniczny PG Katedra Mechaniki i Mechatroniki, p. 107 WM Konsultacje: Czwartki: 13.00-15.00

TEMATY WYKŁADÓW: … (zbiór dodatkowy) WYKŁAD W11 – część B: Drgania prętów liniowo-sprężystych - Wytrzymałościowe aspekty drgań pręta nieważkiego - Drgania pręta sprężystego o masie rozłożonej w sposób ciągły - Drgania podłużne pręta - Drgania skrętne pręta - Drgania giętne pręta - Techniczne równanie drgań poprzecznych belki   - Przykłady obliczeniowe - Przykłady praktyczne W PREZENTACJI WYKORZYSTANO MATERIAŁY AUTORSTWA: prof. dr hab. inż. Krzysztofa Kalińskiego

DRGANIA PRĘTÓW LINIOWO-SPRĘŻYSTYCH Wytrzymałościowe aspekty drgań pręta nieważkiego Pominięcie zjawiska rozproszenia energii (tłumienia) drgań, które łagodzi skutki dynamicznego działania sił. Uproszczenie zwiększające pewność oceny wytrzymałości. Drgania pręta o jednym stopniu swobody Drgania podłużne pręta – masa skupiona m połączona z nieważkim liniowo-sprężystym prętem rozciąganym i ściskanym, wykonująca ruch okresowy Drgania poprzeczne (giętne) – masa skupiona m połączona z nieważkim liniowo-sprężystym prętem zginanym, wykonująca ruch okresowy Drgania skrętne pręta – ciało o masowym momencie bezwładności Im połączone z prętem skręcanym, wykonujące ruch okresowy.

DRGANIA PRĘTÓW LINIOWO-SPRĘŻYSTYCH Współrzędna uogólniona u(t) określająca położenie masy skupionej bądź ciała w dowolnej chwili t ruchu jest odpowiednio wydłużeniem pręta, ugięciem w miejscu występowania masy skupionej lub kątem skręcania pręta (obrotu ciała). x u(t) u(t) x x EI, l m GIS, l m EA, l l/2 l/2 drgania podłużne pręta x Im m EI u(t) drgania poprzeczne (giętne) pręta drgania skrętne pręta Wydłużenie, ugięcie bądź kąt skręcenia jako uogólnione przemieszczenie ustat, które spowodowała odpowiadająca mu siła uogólniona F, przyłożona w sposób quasi-statyczny do liniowo-sprężystego pręta, jest określone wzorem:

DRGANIA PRĘTÓW LINIOWO-SPRĘŻYSTYCH Liczba wpływowa f11 – przemieszczenie ustat dla siły uogólnionej F = 1. Drgania podłużne lub poprzeczne – siła skupiona przyłożona do masy i mająca odpowiednio kierunek równoległy lub prostopadły do osi pręta. Drgania skrętne – moment skręcający przyłożony do ciała, które wykonuje ruch obrotowy. Po wychyleniu masy z położenia równowagi lub nadaniu jej pewnej prędkości początkowej wykonuje ona drgania swobodne (własne): a, φ – amplituda i kąt fazowy drgań swobodnych (zależne od warunków początkowych) 0 – częstość kołowa drgań swobodnych (pulsacja).

DRGANIA PRĘTÓW LINIOWO-SPRĘŻYSTYCH φ/0 u T = 2π/0 Częstość kołowa drgań własnych podłużnych lub poprzecznych a skrętnych: Częstość kołowa 0 jest związana z okresem drgań T zależnością:

DRGANIA PRĘTÓW LINIOWO-SPRĘŻYSTYCH Na skutek działania okresowo zmiennej siły uogólnionej F=F0 cosωt na masę (ciało), wykonuje ona drgania wymuszone opisywane równaniem: A,  – amplituda i kąt przesunięcia fazowego drgań wymuszonych, ω – częstość kołowa siły wymuszającej. Istotnym efektem dynamicznego działania okresowo zmiennej siły o amplitudzie F0 jest zwiększenie amplitudy drgań wymuszonych A w stosunku do ustat, spowodowanego statycznym działaniem siły F. Współczynnik wzmocnienia amplitudy drgań wynosi:

DRGANIA PRĘTÓW LINIOWO-SPRĘŻYSTYCH Zależy on od ilorazu częstości siły wymuszającej ω i częstości drgań własnych 0. Gdy ω = 0, następuje rezonans i nieskończenie duże wzmocnienie amplitudy drgań wymuszonych. Tłumienie (linia przerywana) w rzeczywistym układzie drgającym łagodzi wzrost amplitudy μ = A/ustat drgania nietłumione drgania tłumione 1 ω/ ω0 1 Wzmocnienie μ amplitudy przemieszczeń powoduje proporcjonalne zwiększenie amplitudy naprężeń zmiennych w pręcie.

DRGANIA PRĘTÓW LINIOWO-SPRĘŻYSTYCH Częstość siły wymuszającej ω jest zwykle znana. Częstość drgań własnych ω0 stanowi cechę drgającego pręta (układu liniowo-sprężystego. Wyznaczenie częstości drgań własnych – podstawowe zadanie teorii drgań. Przykład. Częstość drgań własnych ω0 dla jednorodnego pręta rozciąganego/ściskanego z zawieszoną na końcu masą skupioną a następnie Drgania są jedną z przyczyn niebezpiecznego zjawiska, zwanego zmęczeniem materiału.

DRGANIA PRĘTÓW LINIOWO-SPRĘŻYSTYCH Drgania pręta sprężystego o masie rozłożonej w sposób ciągły Opis drgań pręta liniowo-sprężystego o masie rozłożonej w sposób ciągły, jako układu o nieskończenie wielu stopniach swobody, jest o wiele bardziej skomplikowany. Istnieje w tym przypadku nieskończony ciąg częstości kołowych drgań własnych, a więc możliwe jest nieskończenie wiele rezonansów. Pręty pokazane na rysunkach są wykonane z jednorodnego materiału o gęstości ρ oraz stałych materiałowych (modułach sprężystości E i G). Przekrój każdego z tych prętów zmienia się słabo wzdłuż osi x i jest określony funkcją A(x) (x jest współrzędną określającą położenie przekroju w pręcie nieodkształconym). W przypadku drgań skrętnych pręt ma przekrój kołowy, w przypadku drgań giętnych przekrój jest symetryczny względem osi y. Zakłada się, że w trakcie odkształcania prętów ich przekroje pozostają płaskie.

DRGANIA PRĘTÓW LINIOWO-SPRĘŻYSTYCH Zewnętrzne, rozłożone obciążenie osiowe q(x, t) (t oznacza czas) powoduje drgania wzdłużne pręta. Opisuje je funkcja u(x, t), określająca przemieszczenie osiowe u każdego przekroju pręta w dowolnej chwili t ruchu. Zewnętrzne, rozłożone obciążenie momentami osiowymi m(x, t) powoduje drgania skrętne pręta. Opisuje je funkcja φ(x, t), określająca kąt obrotu φ każdego przekroju pręta (kąt skręcenia) w dowolnej chwili t ruchu. Zewnętrzne, rozłożone obciążenie prostopadłe do osi pręta q(x, t) wzbudza jego drgania giętne (poprzeczne). Opisuje je funkcja (x, t), określająca ugięcie (przemieszczenie prostopadłe do osi x pręta)  środka geometrycznego każdego przekroju pręta w dowolnej chwili t ruchu.

DRGANIA PRĘTÓW LINIOWO-SPRĘŻYSTYCH q(x,t ) x drgania wzdłużne x u(x,t ) φ(x,t ) m(x,t ) x drgania skrętne x q(x,t ) (x,t ) x drgania giętne (poprzeczne) x y

DRGANIA PRĘTÓW LINIOWO-SPRĘŻYSTYCH Równanie drgań podłużnych pręta. Rozważmy element dx pręta wykonującego drgania podłużne. Równanie równowagi elementu pręta o długości dx, na który działa obciążenie zewnętrzne q(x, t), siła normalna N(x, t) oraz siła bezwładności d’Alemberta dB(x, t), będzie miało postać: gdzie: Naprężenia normalne w pręcie określa funkcja σ(x, t), a odkształcenia względne ε(x, t). Siłę normalną N(x, t) oraz jej pochodną można z zastosowaniem prawa Hooke’a wyliczyć następująco:

DRGANIA PRĘTÓW LINIOWO-SPRĘŻYSTYCH x dx q(x,t) N(x,t) dB u(x,t) Równanie drgań podłużnych pręta o masie rozłożonej: Po wprowadzeniu oznaczenia , oraz uwzględnieniu A = const,:

DRGANIA PRĘTÓW LINIOWO-SPRĘŻYSTYCH Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego drugiego rzędu ze względu na czas t, oraz powyższe zależności, musi spełniać dwa następujące warunki początkowe: gdzie - określa przemieszczenia, a - prędkości wszystkich przekrojów pręta w chwili początkowej ruchu t=0. Ponieważ równanie drgań podłużnych pręta o masie rozłożonej, jak i kolejne, jest również równaniem różniczkowym drugiego rzędu ze względu na x, jego rozwiązanie ogólne musi spełniać dwa warunki brzegowe. W przypadku pręta o długości l utwierdzonego lewym końcem i ze swobodnym końcem prawym będą one miały postać:

DRGANIA PRĘTÓW LINIOWO-SPRĘŻYSTYCH Pierwszy warunek brzegowy – przekrój na lewym utwierdzonym końcu pręta nie może się przemieszczać Drugi warunek brzegowy –w przekroju na prawym swobodnym końcu pręta nie może być naprężeń (a więc także siły osiowej). Równanie drgań skrętnych pręta. Rozważmy element o długości dx pręta wykonującego drgania skrętne. Równanie równowagi elementu pręta o długości dx, na który działa zewnętrzny moment skierowany osiowo o intensywności m(x), moment skręcający Ms(x, t) oraz moment sił bezwładności dMB(x, t), będzie miało postać:

DRGANIA PRĘTÓW LINIOWO-SPRĘŻYSTYCH przy czym: IS(x) – biegunowy moment bezwładności przekroju. m(x,t) Ms x dMB x dx Równanie drgań skrętnych pręta o masie rozłożonej:

DRGANIA PRĘTÓW LINIOWO-SPRĘŻYSTYCH Po wprowadzeniu oznaczenia , oraz IS(x) = IS = const, Rozwiązanie ogólne równania drgań skrętnych pręta o masie rozłożonej, musi spełniać dwa następujące warunki początkowe: φ0(x) – kąt obrotu wszystkich przekrojów pręta w chwili t = 0, – prędkość kątowa obrotu wszystkich przekrojów pręta dla t = 0. Rozwiązanie ogólne równania drgań skrętnych pręta o masie rozłożonej musi spełniać ponadto dwa warunki brzegowe.

DRGANIA PRĘTÓW LINIOWO-SPRĘŻYSTYCH Pręt o długości l utwierdzony lewym końcem, ze swobodnym końcem prawym: Pierwszy warunek brzegowy – przekrój na lewym utwierdzonym końcu pręta nie może się obrócić. Drugi warunek brzegowy –w przekroju na prawym swobodnym końcu pręta nie może być momentu skręcającego (a więc także naprężeń stycznych). Drgania podłużne i drgania skrętne pręta opisywane są formalnie analogicznymi równaniami różniczkowymi

DRGANIA PRĘTÓW LINIOWO-SPRĘŻYSTYCH Równanie drgań giętnych pręta. Niech q(x, t) będzie rozłożonym obciążeniem prostopadłym do osi pręta, T(x, t) – siłą poprzeczną, a Mg(x, t) – momentem gnącym w przekroju pręta. I(x) – moment bezwładności przekroju pręta względem linii obojętnej zginania. Równanie różniczkowe zmieniającej się w czasie osi ugiętej belki Mg T x y

DRGANIA PRĘTÓW LINIOWO-SPRĘŻYSTYCH Zależność między T(x, t) i Mg(x, t): Rozważmy element o długości dx. Warunek równowagi rzutów sił na oś y, z uwzględnieniem siły bezwładności d’Alemberta dB(x, t) przy czym:

DRGANIA PRĘTÓW LINIOWO-SPRĘŻYSTYCH Po podstawieniu otrzymamy równanie drgań giętnych (poprzecznych) pręta (belki) o słabo zmiennym przekroju i masie rozłożonej oraz równanie drgań poprzecznych belki o stałym przekroju Powyższe dwa równania noszą nazwę technicznego równania drgań poprzecznych belki, w celu odróżnienia od równania, w którym uwzględnia się wpływ odkształceń postaciowych spowodowanych siłą poprzeczną oraz momentów sił bezwładności od obrotu elementów belki wokół osi z. Techniczne równanie drgań poprzecznych jest dostatecznie dokładne dla belek, których długość jest równa lub większa od dziesięciu wysokości przekroju belki.

DRGANIA PRĘTÓW LINIOWO-SPRĘŻYSTYCH Ponieważ techniczne równanie drgań poprzecznych jest równaniem różniczkowym drugiego rzędu ze względu na t i czwartego rzędu ze względu na x, jego rozwiązanie ogólne musi spełnić dwa warunki początkowe i cztery warunki brzegowe – na każdym brzegu po dwa. Warunki początkowe będą miały postać: gdzie - określa przemieszczenie (ugięcie), a - prędkość środka masy każdego przekroju belki w chwili początkowej ruchu t = 0. Najczęściej spotykane przypadki warunków brzegowych:

DRGANIA PRĘTÓW LINIOWO-SPRĘŻYSTYCH Przypadek 1 – końcowa podpora przegubowa, która y x uniemożliwia ugięcie i powoduje, że Mg = 0 Przypadek 2 – utwierdzenie końca pręta, które y x uniemożliwia ugięcie oraz obrót przekroju pręta Przypadek 3 – swobodny koniec pręta, na którym nie y x może wystąpić moment gnący, ani siła poprzeczna

Dziękuję za uwagę !!!