Podstawy teorii spinu ½ Mechanika Kwantowa II. Teoria spinu WYKŁAD 4 Podstawy teorii spinu ½

Plan wykładu orbitalny magnetyczny moment dipolowy, postulaty teorii Pauliego, własności spinu ½, macierze Pauliego i operatory spinu ½, spin w dowolnym kierunku, spinory, operatory a spinory.

Magnetyczny moment dipolowy Rozważania klasyczne 1. Kwadratowa ramka o powierzchni S, w której płynie prąd elektryczny o natężeniu I, umieszczona w polu magnetycznym o indukcji B. S m

Magnetyczny moment dipolowy Moment magnetyczny: Moment siły: Energia potencjalna:

Magnetyczny moment dipolowy 2. Cząstka o masie m i ładunku q krążąca po orbicie kołowej o promieniu r.

Magnetyczny moment dipolowy Moment magnetyczny: l - moment pędu cząstki Stosunek giromagnetyczny: Dla elektronu: gdzie: Magneton Bohra:

Postulaty teorii Pauliego Wyniki doświadczalne wskazujące na istnienie spinu: Doświadczenie Sterna-Gerlacha; Rozszczepienie linii widmowych atomów; Anomalny efekt Zeemana.

Postulaty teorii Pauliego Aby wyjaśnić wyniki doświadczalne należy założyć, że elektron posiada wewnętrzny moment pędu (spin) taki, że związany z nim moment magnetyczny określony jest związkiem: gdzie: magneton Bohra

Dynamika spinu Wyniki doświadczalne pokazują, że: Obliczenia teoretyczne:

Postulaty teorii Pauliego Do istniejących już postulatów należy dodać nowe: Wielkość fizyczna zwana spinem jest momentem pędu. Odpowiadająca jej obserwabla jest wektorem którego składowe spełniają relacje komutacyjne: Tak więc istnieją stany spinowe spełniające równania własne:

Postulaty teorii Pauliego Cząstka danego typu ma jednoznacznie określoną liczbę kwantową s. Mówimy, że cząstka ta ma spin s. Istnieją cząstki ze spinem równym zeru (cząstki bezspinowe). Do opisu takich cząstek wystarcza „zwykła” funkcja falowa. W przypadku cząstek o niezerowym spinie, pojęcie funkcji falowej należy rozszerzyć. Stan takiej cząstki opisuje wektor stanu będący złożeniem stanu orbitalnego i spinowego.

Postulaty teorii Pauliego Zmienne spinowe z definicji komutują z obserwablami działającymi w przestrzeni charakteryzowanej zmiennymi orbitalnymi Elektron ma spin i moment magnetyczny (spinowy magnetyczny moment dipolowy) dany wzorem:

Postulaty teorii Pauliego Cząstki o spinie połówkowym nazywamy fermionami Cząstki o spinie całkowitym nazywamy bozonami

Postulaty teorii Pauliego Spin jest wielkością czysto kwantową i nie ma żadnego odpowiednika klasycznego. Spin elektronu jest jego własnością, w tym samym sensie co masa czy ładunek.

Własności spinu ½ Bazę w przestrzeni stanów tworzą dwa wektory: Przestrzeń stanów jest 2-wymiarowa, ponieważ

Własności spinu ½ Własności wektorów stanu: zupełność: ortonormalność: dowolny wektor należący do przestrzeni stanów możemy zapisać jako:

Własności spinu ½ spełnione są związki: dla operatorów podnoszącego i obniżającego: otrzymujemy:

Macierze Pauliego i operatory spinu ½ Przyjmujemy odpowiedniość: Otrzymamy wtedy dla dowolnego wektora z rozważanej przestrzeni:

Macierze Pauliego i operatory spinu ½ Iloczyn skalarny ma postać: Warunek unormowania:

Macierze Pauliego i operatory spinu ½ Przestrzeń operatorów dla s=1/2 jest 4-wymiarowa Jako bazę w przestrzeni operatorów można przyjąć macierz jednostkową oraz (trzy) macierze Pauliego Operatorem spinu ½ jest wówczas:

Macierze Pauliego i operatory spinu ½ Własności macierzy Pauliego

Spin w dowolnym kierunku Kierunek w przestrzeni wyznaczony jest wektorem: Operator spinu na kierunek n ma postać: Wektory własne operatora Sn:

Spinory Uwzględnienie spinu powoduje, że przestrzeń zmiennych określających stan cząstki wzrasta. W reprezentacji położeniowej możemy napisać: Występująca tu wielkość jest uogólnieniem „zwykłej” funkcji falowej

Spinory Uwzględniając zależność od ms możemy napisać: Powyższy wektor, charakteryzujący stan układu, nazywamy spinorem dla cząstki o spinie s.

Spinory W przypadku s=0 spinor redukuje się do kolumny z jednym wierszem, a więc jest „zwykłą” funkcją falową.

Spinory Spinor sprzężony do Iloczyn skalarny:

Spinory Dla elektronu mamy:

Spinory W przypadku, gdy część przestrzenna i spinowa rozdzielają się, tzn.: gdzie mamy:

Operatory a spinory Zakładamy, że wielkość A jest operatorem orbitalnym (w reprezentacji położeniowej) zaś S jest operatorem spinowym. Złożenie tych dwóch operatorów oznaczamy jako: Działanie takiego operatora (złożenia) na spinor definiujemy jako:

Operatory a spinory Przypadki szczególne

Przypadki szczególne Dla: mamy: Operatory a spinory Przypadki szczególne Dla: mamy:

Operatory a spinory Przypadki szczególne