Wytrzymałość materiałów (WM II – wykład 2)

SPRAWY ORGANIZACYJNE Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW - II Prowadzący: dr hab. inż. Mirosław K. Gerigk, prof. nadzw. PG e-mail: mger@pg.gda.pl Wydział Mechaniczny PG Katedra Mechaniki i Mechatroniki, p. 107 WM Konsultacje: Czw. 13.00-15.00

TEMATY WYKŁADÓW: … (zbiór dodatkowy) Złożone przypadki wytrzymałości pręta prostego – przykłady prętów

Złożone przypadki wytrzymałości pręta prostego – pręty proste w budownictwie

Złożone przypadki wytrzymałości pręta prostego – inne zastosowania prętów

Złożone przypadki wytrzymałości pręta prostego – złożone konstrukcje prętowe ale nie tylko prętowe

Złożone przypadki wytrzymałości pręta prostego – podstawy analizy

Złożone przypadki wytrzymałości pręta prostego – inne zastosowanie

TEMATY WYKŁADÓW: … (zbiór dodatkowy) Złożone przypadki wytrzymałości pręta prostego - Zginanie ukośne pręta - Skręcanie wraz ze zginaniem i rozciąganiem lub ściskaniem pręta o przekroju kołowym - Pręt krzywy płaski zginany i rozciągany lub ściskany - Przykłady obliczeniowe - Przykłady praktyczne W PREZENTACJI WYKORZYSTANO MATERIAŁY AUTORSTWA: prof. dr hab. inż. Krzysztofa Kalińskiego

Zginanie ukośne pręta Rozkład naprężeń normalnych w przekroju pręta dla przypadku zginania ukośnego opisuje poniższa zależność: z Mg y B(yB,zB) A(yA,zA) Mgz Mgy c max r max linia obojętna ß φ Równanie osi obojętnej: Jest to prosta przechodząca przez środek geometryczny przekroju i nachylona do osi y pod kątem , określony wzorem:

Zginanie ukośne pręta Z zależności tej wynika, że jeśli , to w przypadku zginania ukośnego linia obojętna nie pokrywa się z kierunkiem wektora momentu gnącego, ponieważ . W dotychczas rozważanych złożonych przypadkach wytrzymałości pręta nie było potrzeby stosowania hipotez wytężenia, ponieważ mieliśmy do czynienia z jednoosiowym niejednorodnym stanem naprężenia. .

Skręcanie wraz ze zginaniem i rozciąganiem lub ściskaniem pręta o przekroju kołowym Obecnie, w przekroju pręta występuje: moment skręcający Ms, moment gnący Mg i siła normalna N. Rozkład naprężeń pochodzących od poszczególnych sił wewnętrznych pokazano na rysunku. Maksymalne wytężenie panuje w punktach leżących na jednej z dwóch tworzących, najbardziej odległych od płaszczyzny obojętnej. Składowe płaskiego stanu naprężenia w dowolnym punkcie tej tworzącej wynoszą: x y τxy=τyx σx σy z N Mg Ms

Skręcanie wraz ze zginaniem i rozciąganiem lub ściskaniem pręta o przekroju kołowym Naprężenie zredukowane oblicza się ze wzoru: - hipoteza maksymalnych naprężeń stycznych - hipoteza energii właściwej odkształcenia postaciowego Dla N = 0 i dla przekroju kołowego Ws = 2W: Pręt skręcany i zginany liczy się tak, jakby był zginany momentem zredukowanym Mred, który dla hipotezy maksymalnych naprężeń stycznych oraz energii odkształcenia postaciowego wynosi:

Skręcanie wraz ze zginaniem i rozciąganiem lub ściskaniem pręta o przekroju kołowym Przykład Osadzony w łożyskach wałek z dwoma kołami przenosi moc N = 18kW, wykonując n = 200 obr/min. Wymiary wynoszą: a = 200mm, b = 400 mm, c = 150 mm, D1 = 400 mm, D2 = 600 mm. Obliczyć średnicę d wałka, przyjmując dop = 60 MPa. Zastosować hipotezę wytężenia energii właściwej odkształcenia postaciowego.

Skręcanie wraz ze zginaniem i rozciąganiem lub … y z F1 F2 x C F c b a A B D1 D2 d Wykres Ms RAy RFy przedziały 1 2 MgzB MgzC Wykres Mgz RAz RFz MgyB MgyC Wykres Mgy

Skręcanie wraz ze zginaniem i rozciąganiem lub ściskaniem pręta o przekroju kołowym Moment skręcający w przekroju pręta na odcinku BC: Siły F1 i F2 wyznaczamy z poniższych zależności: Rozważmy kolejno zginanie wałka wywołane siłami F1 i F2, które działają we wzajemnie prostopadłych płaszczyznach xy oraz xz. Momenty gnące oznaczymy odpowiednio Mgz oraz Mgy, jako że są one prostopadłe do płaszczyzn działania obciążeń. Reakcje podpór spowodowane siłą F1 wyznaczymy z następujących warunków równowagi:

Skręcanie wraz ze zginaniem i rozciąganiem lub ściskaniem pręta o przekroju kołowym Równania momentów gnących Mgz w przedziałach zaznaczonych na rysunku mają postać: Przedział I ( ) dla dla Przedział II ( ) dla dla dla

Skręcanie wraz ze zginaniem i rozciąganiem lub ściskaniem pręta o przekroju kołowym Reakcje podpór spowodowane siłą F2 wyznaczamy z następujących warunków równowagi: Równania momentów gnących Mgy w przedziałach zaznaczonych na rysunku mają postać: Przedział I ( ) dla dla dla Przedział II ( ) dla dla

Skręcanie wraz ze zginaniem i rozciąganiem lub ściskaniem pręta o przekroju kołowym Z analizy wykresów sił wewnętrznych wynika, że więc trzeba rozstrzygnąć, w którym z przekrojów wałka czy B, czy C całkowity moment gnący jest większy: Moment zredukowany Mred w przekroju niebezpiecznym B belki, obliczony zgodnie z hipotezą energii odkształcenia postaciowego, wynosi: Z kryterium wytrzymałości wyznaczamy bezpośrednio średnicę d wałka:

Pręt krzywy płaski zginany i rozciągany lub ściskany Ograniczymy się do rozważenia pręta, którego oś jest odcinkiem okręgu o promieniu r, a w każdym jego przekroju występuje moment gnący Mg oraz siła normalna N. Moment gnący Mg będziemy uważali za dodatni, jeżeli będzie powodował zwiększenie krzywizny pręta. Przyjmijmy, że przekrój pręta po odkształceniu pozostaje płaski, a występują w nim tylko naprężenia normalne. Pręt można traktować jako wiązkę włókien o przekroju dA, które nie oddziałują mechanicznie na siebie. Załóżmy, że pręt jest wykonany z materiału liniowo-sprężystego. y σdA D N B x r ρ dφ-δdφ C dφ -δdφ F Mg dA z linia obojętna y0 σ

Pręt krzywy płaski zginany i rozciągany lub ściskany σdA D N B x r ρ dφ-δdφ C dφ -δdφ F Mg dA z linia obojętna y0 σ Sformułujemy trzy grupy zależności koniecznych do znalezienia rozkładu naprężeń normalnych  w przekroju pręta krzywego. Warunki równowagi: Ponieważ osie y i z są głównymi centralnymi osiami bezwładności przekroju pręta, mamy do czynienia ze zginaniem prostym, dla którego ostatnie równanie równowagi jest spełnione tożsamościowo.

Pręt krzywy płaski zginany i rozciągany lub ściskany Warunek geometryczny Na skutek odkształcenia kąt między przekrojami końcowymi nieskończenie małego odcinka pręta zmieni się z d na d - d (ujemny znak przy d wynika z przyjętego układu osi x i y). Warstwa zawierająca oś pręta doznała odkształcenia 0, a odległa od niej o y warstwa cylindryczna – odkształcenia . Odcinek BC oraz DF można wyrazić w odniesieniu do układu nieodkształconego oraz odkształconego, co prowadzi do zależności: - dla BC - dla DF Dzieląc drugą równość przez pierwszą możemy wyznaczyć :

Pręt krzywy płaski zginany i rozciągany lub ściskany Związek fizyczny Ponieważ poszczególne włókna można traktować jako pręty rozciągane lub ściskane, związkiem fizycznym jest proste prawo Hooke’a: które przyjmie postać: Po podstawieniu do dwóch pierwszych równań równowagi: - ponieważ oś z przechodzi przez środek geometryczny przekroju.

Pręt krzywy płaski zginany i rozciągany lub ściskany Wprowadzamy nową charakterystykę geometryczną przekroju i krzywizny pręta: Wprowadzając przekształcenie: Warunki równowagi można zapisać następująco:

Pręt krzywy płaski zginany i rozciągany lub ściskany Z powyższych zależności można wyprowadzić zależność określającą rozkład naprężeń normalnych w przekroju pręta krzywego zginanego i rozciąganego lub ściskanego: Jest to rozkład nieliniowy. Jeśli czyli tak jak dla pręta prostego. Jeśli N = 0, czyli pręt jest tylko zginany: Równanie linii obojętnej otrzymamy dla :

Pręt krzywy płaski zginany i rozciągany lub ściskany dla przekroju prostokątnego: Wyznaczymy wielkość h b y dy z Po scałkowaniu otrzymamy: Dla przekroju kołowego o promieniu R (rozwiązanie przybliżone):

Pręt krzywy płaski zginany i rozciągany lub ściskany Są to zależności dla pręta prostego. Z tego względu przyjmuje się, że jeśli (gdzie h wysokość przekroju pręta), to rozkład naprężeń normalnych w jego przekroju można w przybliżeniu uznać za liniowy. Taki pręt określa się jako słabo zakrzywiony.

Pręt krzywy płaski zginany i rozciągany lub ściskany Przykład Pręt o przekroju prostokątnym jest zgięty w kształcie podkowy o promieniu krzywizny r = 7 cm. W odległości a = 12 cm od środka przekroju środkowego działają siły F = 10 kN. Znaleźć największe naprężenia rozciągające i ściskające w środkowym przekroju pręta, gdy b = 4 cm, h = 6 cm. F r B C a h z b y Punkt B: Punkt C:

Dziękuję za uwagę !!! 2019-05-02 12:15:54