Analiza współzależności zjawisk

Analiza współzależności Punktem wyjścia do badania współzależności cech są dane, w których dla każdej jednostki statystycznej określono wartości dwóch cech: X i Y. Mamy więc zbiór n jednostek i przyporządkowane im pary cech (xi, yi), i = 1, 2, ... n.

Szereg szczegółowy dla dwóch obserwowanych cech

Tablica korelacyjna

Przykład

Zależność – ilość osób y od ilości metrów x

Dane pogrupowane w tablicy korelacyjnej

Współzależność występująca między cechami może być dwojakiego rodzaju: funkcyjna (dokładna) stochastyczna (probabilistyczna). Szczególnym przypadkiem zależności stochastycznej jest zależność korelacyjna (statystyczna).

Współzależność funkcyjna Polega na tym, że zmiana wartości jednej zmiennej powoduje ściśle określoną zmianę wartości drugiej zmiennej. Określonej wartości jednej zmiennej X odpowiada jedna i tylko jedna i tylko jedna wartość drugiej zmiennej Y.

Tablica korelacyjna W tablicy korelacyjnej zawarte są dwa rodzaje rozkładów: brzegowe i warunkowe. Rozkład brzegowy prezentuje strukturę wartości jednej zmiennej (X lub Y) bez względu na kształtowanie się wartości drugiej zmiennej. Rozkład brzegowy zmiennej X tworzy pierwsza i ostatnia kolumna tablicy, natomiast rozkład brzegowy zmiennej Y - pierwszy i ostatni wiersz.

Rozkład brzegowy zmiennej X - powierzchnia użytkowa mieszkań (m2)

Rozkład brzegowy zmiennej Y - liczba mieszkańców

Cechy mierzalne 1. Kowariancja dla szeregu szczegółowego

dla szeregu w tablicy korelacyjnej

Kowariancja Jest to: miara symetryczna; przyjmuje wartości z przedziału <‑SxSy, SxSy>; informuje o kierunku korelacji między zmiennymi.

Współczynnik korelacji liniowej Pearsona: Jest to: miara symetryczna; przyjmuje wartości z przedziału <‑1,1>; informuje o sile oraz kierunku korelacji liniowej między zmiennymi.

Testowanie współczynnika korelacji

Kierunek zależności rxy= 0 świadczy o braku korelacji liniowej między badanymi cechami (możliwe, że istnieje między nimi korelacja krzywoliniowa!), rxy> 0 informuje nas, że mamy do czynienia z korelacją dodatnią (wraz ze wzrostem wartości jednej cechy wzrasta średnia warunkowa drugiej), rxy< 0 korelacja jest ujemna (wzrostowi wartości jednej cechy towarzyszy spadek średniej warunkowej drugiej). przy rxy= 1 lub -1 mamy liniową zależność funkcyjną.

W analizach statystycznych zwykle przyjmuje się, że jeżeli rxy wynosi: mniej niż 0,2 - praktycznie brak związku liniowego między badanymi cechami, może występować korelacja krzywoliniowa; <0,2-0,4) - zależność liniowa wyraźna, lecz niska; <0,4-0,7) - zależność umiarkowana; <0,7-0,9) - zależność znacząca; <0,9-1> zależność bardzo silna.

3. Współczynnik korelacji kolejnościowej (rang) Spearmana Rxy miara korelacji, wygodna i użyteczna dla niezbyt długich szeregów szczegółowych z dwoma cechami mierzalnymi (lub przynajmniej posiadającymi pewien naturalny porządek pozwalający na ustawienie wartości rosnąco lub malejąco) . Wartość Rxy należy do przedziału <-1,1> i mówi o sile oraz kierunku korelacji.

Współczynnik rang Spearmana Rxy gdzie di są różnicami między kolejnymi numerami (rangami) nadawanymi w kolejności niemalejącej (lub nierosnącej) osobno dla każdej cechy od 1 do n. Jeżeli kilka elementów w szeregu ma taką samą wartość jednej cechy, to nadaje im się rangi będące średnią arytmetyczną przypadających na te elementy rang.

Test niezależności chi-kwadrat Stawiamy hipotezę zerową o braku zależności między cechami, hipotezą alternatywną jest istnienie zależności miedzy cechami. Cechy mogą być zarówno mierzalne lub niemierzalne. Tworzymy tablicę korelacyjną. Na podstawie tej tablicy obliczamy wartość statystyki:

Statystyka ta ma rozkład chi-kwadrat o (k-1)(l-1) stopniach swobody Statystyka ta ma rozkład chi-kwadrat o (k-1)(l-1) stopniach swobody. Dla ustalonego alfa tworzymy obszar krytyczny

Współczynnik zbieżności V Cramera

Przykład:W 600-osobowej losowo dobranej grupie ludzi przeprowadzono badanie ankietowe mające na celu uzyskanie odpowiedzi na pytanie: „Czy istnieje zależność między wykształceniem telewidzów a rodzajem programu, który najchętniej oglądają?” Otrzymane dane przedstawiono w empirycznej tablicy korelacyjnej:

Wartość statystyki χ2=12,59 Hipotezę o braku zależności odrzucamy na rzecz hipotezy alternatywnej Współczynnik zbieżności Cramera: