Modelowanie układów dynamicznych Pojęcia podstawowe Układem nazywa się dowolny zbiór powiązanych ze sobą elementów o określonym przeznaczeniu. W naszych rozważaniach będzie się w skrócie nazywać układem dowolny układ fizyczny, umownie wyodrębniony z otoczenia (np. układ napędowy maszyny). Układy dostatecznie złożone, czyli układy układów, nazywa się systemami. Dynamika jest nauką zajmującą się procesami, czyli przebiegami zmian zachodzących w czasie w różnych układach pod wpływem warunków początkowych i oddziaływań zewnętrznych. W mechanice dynamika zajmuje się badaniem ruchu układów pod działaniem sił. Klasyczne zadania dynamiki dotyczą wyznaczenia sił zapewniających założony przebieg ruchu, lub na odwrót, wyznaczenia ruchu układu dla założonego przebiegu sił

Parametry – wielkości traktowane zwykle w przybliżeniu jako stałe, które charakteryzują pewne własności układu. Przykładami parametrów są masy i sztywności elementów występujących w modelu fizycznym układu mechanicznego oraz współczynniki równania różniczkowego opisującego ruch tego układu. Zmienne – wielkości fizyczne, których przebiegi w funkcji czasu charakteryzują zachowanie się układu (sygnały). Wielkości oddziałujące na układ p1(t), p2(t),…, pm(t), których przebiegi są generowane na zewnątrz tego układu (przez jego otoczenie) nazywane są sygnałami wejściowymi lub wymuszeniami. Wyróżnia się wśród nich sygnały sterujące o przebiegach zmienianych w sposób celowy oraz sygnały zakłócające podlegające zmianom przypadkowym.

Zmienne (sygnały) cd Wielkości oddziałujące na inne układy y1(t), y2(t),…, yp(t) (lub na otoczenie układu), za pośrednictwem których przekazywane są informacje o zachowaniu się rozważanego układu nazywane są sygnałami wyjściowymi lub odpowiedziami układu. Ważnym pojęciem, często abstrakcyjnym, jest stan układu. Jest to najmniejszy liczebnie zbiór wielkości x1(t), x2(t),…, xn(t) określających w pełni skutki przeszłych oddziaływań na układ. Znajomość stanu układu w chwili początkowej t0 oraz wymuszeń w przedziale [t0, t1] wystarcza do określenia przebiegów odpowiedzi oraz stanu układu w przedziale [t0, t1] Wielkości x1(t), x2(t),…, xn(t) tworzące stan układu nazywane są zmiennymi (współrzędnymi) stanu.

Zmienne przedstawia się zwykle w postaci wektorów, tzn.: Zmienne (sygnały) cd Zmienne przedstawia się zwykle w postaci wektorów, tzn.: wektora wymuszeń wektora odpowiedzi wektora stanu Wektor wymuszeń jest określony w m-wymiarowej przestrzeni wymuszeń P, wektor odpowiedzi jest określony w p-wymiarowej przestrzeni Y, wektor stanu jest określony w n-wymiarowej przestrzeni stanu X

Przestrzenie P, Y, X są zbiorami wszystkich możliwych wymuszeń, odpowiedzi oraz stanów układu. Zbiór wartości czasu, dla których wektory wymuszeń, odpowiedzi i stanu są określone jest przestrzenią czasu T. Jeśli przestrzeń czasu jest ciągła, to proces nazywa się procesem ciągłym w czasie. Jeżeli natomiast wymuszenie, stan oraz odpowiedź układu są określone tylko dla dyskretnych wartości czasu, to proces nosi nazwę dyskretnego w czasie lub impulsowego. Cyfrowym nazywa się proces (układ), w którym zarówno przestrzeń czasu jak i przestrzenie wymuszeń, stanów i odpowiedzi są dyskretne.

Układ, w którym nie można określić ani jednej zmiennej stanu jest nazywany układem statycznym. Układy statyczne są nazywane też bezinercyjnymi, ponieważ ich odpowiedzi na wymuszenia są natychmiastowe. Model matematyczny układów statycznych stanowią funkcje opisujące zależności między zmiennymi wejściowymi a wyjściowymi w każdej chwili czasu. Układy dynamiczne, składające się z elementów o parametrach skupionych, są opisywane przez równania różniczkowe zwyczajne, w których niezależną zmienną jest czas. Liczba niezależnych warunków początkowych, niezbędnych do wyznaczenia jednoznacznego rozwiązania tych równań (rząd układu), jest równa liczbie zmiennych stanu. Przykładem takiego układu jest układ mechaniczny składający się z punktów materialnych lub ciał sztywnych oraz nieważkich sprężyn i tłumików.

Modele fizyczne niektórych układów zawierają elementy o parametrach rozłożonych. Przykładem takiego elementu jest drgająca struna, w której nie można wyodrębnić sztywnych mas i nieważkich sprężyn. Procesy zachodzące w układach o parametrach rozłożonych są opisywane przez równania różniczkowe cząstkowe, w których jako zmienne niezależne obok czasu występują również współrzędne przestrzenne. Układ o parametrach rozłożonych można (w określonych przypadkach) zastąpić układem o parametrach skupionych. Taką czynność nazywa się dyskretyzacją, a otrzymany w ten sposób model – modelem dyskretnym. Do najbardziej rozpowszechnionych metod dyskretyzacji należy metoda różnic skończonych oraz metoda elementów skończonych.

Wzajemne oddziaływania zachodzące między rozważanym układem a innymi układami wygodnie jest przedstawić za pomocą schematu blokowego, w którym układ reprezentowany jest przez prostokąt, a linie za strzałkami obrazują przebiegi sygnałów. W powyższym schemacie blokowym układ jest traktowany jako „czarna skrzynka” przetwarzająca sygnały wejściowe na sygnały wyjściowe (tzw. model wejście wyjście). Schematy blokowe są wykorzystywane często do opisu złożonych układów (ilustracja modeli fizycznych), ponieważ w sposób przejrzysty przedstawiają powiązania występujące pomiędzy elementami lub podukładami.

Opis matematyczny sygnałów Przebieg sygnału w czasie można opisać w sposób analityczny, wykreślny lub tabelaryczny. Do opisu analitycznego oprócz funkcji elementarnych (potęgowych, wykładniczych, trygonometrycznych itp.) stosuje się często specjalne modele matematyczne sygnałów, do których zalicza się skok jednostkowy oraz impuls jednostkowy (delta Diraca).

http://vibrolab.simr.pw.edu.pl/lppwd00.pdf Widmo sygnału Oprócz opisu w dziedzinie czasu rozpowszechniony jest opis w dziedzinie częstotliwości, przy użyciu tzw. modeli widmowych, które wyznacza się na podstawie analizy częstotliwościowej Fouriera. Modele częstotliwościowe ułatwiają klasyfikację i analizę sygnałów, a także ocenę dokładności modelowania, ponieważ porównywanie widm jest znacznie prostsze i bardziej miarodajne od porównywania przebiegów czasowych. Szereg przydatnych informacji dotyczących podstaw analizy widmowej sygnałów oraz pomiarów wielkości dynamicznych można znaleźć tu: http://vibrolab.simr.pw.edu.pl/lppwd00.pdf

Suma dwóch lub więcej fal sinusoidalnych tworzy sygnał okresowy tylko w tym przypadku, gdy stosunki wszystkich możliwych par częstotliwości wyrażają się liczbami wymiernymi. Sygnały, dla których nie wszystkie ilorazy są liczbami wymiernymi nazywamy sygnałami prawie okresowymi (okres podstawowy jest równy nieskończoności).