Trójkąt Pascala a geny kumulatywne - biomatematyka Autor: Wojciech Kotyczka VIII Liceum Ogólnokształcące im. Marii Skłodowskiej – Curie Katowice

Biomatematyka- Czym jest? Biomatematyką nazywamy ogół zastosowań matematyki w biologii.

O początkach biomatematyki, czyli króliki Fibonacciego Ile par królików można otrzymać z jednej pary po roku, jeśli: Na początku jest jedna para królików. Po miesiącu para dojrzewa, ale nie wydaje jeszcze potomstwa. Po upływie kolejnego miesiąca para rodzi potomstwo, czyli kolejną parę królików. Po miesiącu druga para dojrzewa, choć jeszcze nie rodzi, a pierwsza para wydaje na świat kolejną parę, itd.

Liczba par królików w poszczególnych miesiącach I: 1 para II: 1 para III: 1+1=2 pary IV: 2+1=3 pary V: 3+2=5 par … n: an-2+an-1 par

Ciąg Fibonacciego

Dzięki zastosowaniu ciągu Fibonacciego, szybko możemy obliczyć, że po 12 miesiącach będziemy mieli 144 pary królików.

Inne modele opisujące rozwój populacji model Malthusa, model Volterry (uwzględnia istnienie populacji drapieżcy i ofiary), model McKendrick’a i von Foerster’a.

KRZYŻÓWKI GENOWE

Dziedziczenie to sposób przekazywania genów potomstwu Dziedziczenie to sposób przekazywania genów potomstwu. Genem nazywamy podstawową jednostkę dziedziczności, odcinek DNA. Pierwsze prawo Mendla - prawo czystości gamet Drugie prawo Mendla - prawo niezależnej segregacji cech

Pierwsze prawo Mendla P: Aa x Aa A A a a GENOTYP – zespół genów danego osobnika (Aa, AABb, AaBbCc, …) P: Aa x Aa FENOTYP – wygląd danego osobnika, zespół jego cech A A GAMETA – komórka rozrodcza a a ALLEL – jedna z wersji genu (dominujący lub recesywny)

Drugie prawo Mendla A a B AB aB b Ab ab P: AaBb x AaBb Geny należące do jednej pary alleli są dziedziczone niezależnie od genów należących do drugiej pary alleli P: AaBb x AaBb Kolor oczu Kolor włosów A a B AB aB b Ab ab Każdy organizm może wytworzyć różnych gamet 11 11

KRZYŻÓWKI GENOWE Jakie cechy posiada potomstwo? Jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia danej cechy?

KRZYŻÓWKI GENOWE Liczba gamet pochodzących od ojca Liczba gamet pochodzących od matki Liczba kombinacji gamet rodziców w komórce potomnej

Przykłady Oczy niebieskie u ludzi determinuje recesywny gen b, oczy brązowe – dominujący gen B BB = oczy ciemne (homozygota dominująca) bb = oczy niebieskie (homozygota recesywna) Bb = oczy piwne (heterozygota)

Jakiego koloru będą oczy dzieci, jeżeli rodzice mają oczy piwne? ojciec matka B b BB Bb bb 25% oczy niebieskie 50% oczy piwne 25% oczy ciemne Otrzymujemy: 1:2:1

Geny współdziałające ze sobą w wytworzeniu jednej cechy nazywamy genami kumulatywnymi. Dziedziczenie poligeniczne – jest to dziedziczenie, w którym o danej cesze decydują więcej niż dwa geny, np. dziedziczenie u ludzi koloru skóry i wzrostu.

Małżeństwo mulatów o genotypie AaBb może mieć dzieci o różnych fenotypach – podaj stosunek liczbowy tych fenotypów. gamety ojca gamety matki AB Ab aB ab AABB AABb AaBB AaBb AAbb Aabb aaBB aaBb aabb Ilość alleli dominujących 4 3 2 1 Liczba potomstwa u której wystąpi dana cecha 6 rozrzut fenotypowy

Rozrzut fenotypowy 1:4:6:4:1 Liczba genów Liczba genotypów komórki potomnej 1:4:6:4:1 Rozrzut fenotypowy Rozkład prawdopodobieństwa wystąpienia danego fenotypu ilość alleli dominujących 4 3 2 1 prawdopodobieństwo wystąpienia danej cechy

Wzór dwumianowy Newtona

1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 1 4 6 4 1 n k

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 TRÓJKĄT PASCALA 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 7 21 35 35 21 7 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

TRÓJKĄT PASCALA

TRÓJKĄT PASCALA

TRÓJKĄT PASCALA 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 Aa AaBb AaBbCc AaBbCcDd

Dlaczego? 0, 1, 2, …, 2n Matka n genów n alleli dominujących Ojciec Organizm potomny otrzymuje allele dominujące spośród puli 2n alleli pochodzących od rodziców Organizm może otrzymać 0, 1, 2, …, 2n alleli dominujących Na odpowiednio: sposobów

„Dialog z przyrodą musi być prowadzony w języku matematyki, w przeciwnym razie przyroda nie odpowie na nasze pytania” Michał Heller

Bibliografia Portal PWN Encyklopedia PWN http://pl.wikipedia.org/wiki/Biomatematyka http://www.rozanski.gower.pl/mendelizm2002.htm http://www.math.us.edu.pl/prace/liczba/ - „Z liczbą przez wieki” http://www.uni.opole.pl/news/streszczenie_prof_dawidowicz.pdf http://www.rozanski.henryk.gower.pl/genetyka.htm http://luskiewnik.strefa.pl/index/index/p7.htm http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_biology http://pl.wikipedia.org/wiki/Trójkąt_Pascala http://pl.wikipedia.org/wiki/Dwumian_Newtona

Dziękuję za uwagę

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1